Croître à partir du taux
Compare exp(ax), sa dérivée et une évolution discrète.
Pour f(x)=exp(ax), f′(x)=a exp(ax). L’exponentielle est positive, y compris lorsque x ou a est négatif.
Retrouver la justification dans le coursPremière et Terminale, spécialité · Mathématiques complémentaires · Catégorie du laboratoire
Analyse avancée
Comment passer d’une courbe à une limite, une preuve ou un modèle d’évolution ?
Les questions à explorer
Le logarithme inverse l’exponentielle
Explore ln(x), son domaine et la solution de exp(at)=b.
Pour x>0, exp(ln x)=x. Pour a≠0 et b>0, exp(at)=b équivaut à t=ln(b)/a.
Retrouver la justification dans le coursApprocher sans atteindre
Compare a+b/x à son asymptote quand x devient grand.
Quand x→+∞, b/x→0, donc a+b/x→a. Pour b non nul, la valeur limite peut ne jamais être atteinte.
Retrouver la justification dans le coursUne limite au bord d’un trou
Factorise (x²−a²)/(x−a) avant de discuter sa limite.
Pour x≠a, (x²−a²)/(x−a)=x+a. Sa limite en a vaut 2a, mais la formule initiale n’est pas définie en a.
Retrouver la justification dans le coursUne majoration qui tend vers zéro
Trouve un rang garantissant a/n<ε, puis relie ce seuil à une convergence.
Si a>0 et ε>0, n>a/ε garantit 0≤a/n<ε. Ce contrôle pour chaque ε prouve la convergence vers zéro.
Retrouver la justification dans le coursEncadrer une solution
Dichotomise x²−a sur [0,a+1] et distingue existence et unicité.
x²−a est continue et strictement croissante sur [0,+∞[ pour a>0. Le changement de signe garantit une racine ; la croissance assure son unicité. Chaque étape de dichotomie divise l’intervalle par deux.
Retrouver la justification dans le coursDériver l’intérieur et l’extérieur
Calcule la dérivée de ln(bx+c) sur son domaine.
Pour bx+c>0, la dérivée de ln(bx+c) vaut b/(bx+c). La règle de chaîne compose les deux dérivées.
Retrouver la justification dans le coursLa courbe et sa tangente
Compare exp(ax) et sa tangente, puis examine sa dérivée seconde.
Pour f(x)=exp(ax), f″(x)=a²exp(ax)≥0. La fonction est convexe et reste au-dessus de ses tangentes.
Retrouver la justification dans le coursUne condition choisit la solution
Résous y′=−ay+b avec y(0)=c, puis vérifie l’équation.
Si a>0, y(t)=b/a+(c−b/a)exp(−at) vérifie y′=−ay+b et y(0)=c. La condition initiale fixe la constante.
Retrouver la justification dans le coursApprocher n’est pas résoudre exactement
Compare une approximation d’Euler à une solution exponentielle au même instant.
Pour y′=ay et y(0)=1, Euler donne yk+1=(1+ah)yk. La solution exacte vaut exp(at). L’erreur dépend du pas et du temps étudié.
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Familles explicitement choisies, pas de calcul formel général. L’échantillonnage d’une courbe ne démontre pas une limite. Les encadrements de dichotomie et erreurs d’Euler sont distingués des solutions exactes.
Sources et traçabilité
Dernière vérification : 2026-10-04 · Responsabilité éditoriale : Maxdecours.
- Première spécialité, programme 2026, Ministère de l’Éducation nationale, consulté le 2026-10-04.
- Terminale spécialité, programme 2019, Ministère de l’Éducation nationale, consulté le 2026-10-04.
- Terminale, mathématiques complémentaires, programme 2019, Ministère de l’Éducation nationale, consulté le 2026-10-04.