Primitives, équations différentielles

Ce que tu vas savoir faire

• Définir le vocabulaire essentiel du chapitre.
• Identifier une idée directrice dans un document ou une démonstration.
• Justifier une réponse par des éléments précis.
• Distinguer une affirmation, son explication et ses limites.
• Organiser une réponse courte et rigoureuse.
• Réviser à l’aide de questions et de cartes de mémorisation.

Avant de commencer

• Relire les définitions déjà rencontrées dans le parcours de Terminale.
• Prévoir un support pour reformuler les idées importantes.

Équation différentielle et notion de primitive

Une équation différentielle est une relation qui associe une fonction et ses dérivées. Par exemple, l'équation différentielle de base est de la forme y' = f , où y est la fonction inconnue et f est une fonction donnée de la variable indépendante. Une primitive d'une fonction f est une fonction F telle que F' = f . Trouver une primitive, c'est donc résoudre une équation différentielle du premier ordre. Les primitives ne sont pas uniques : si F est une primitive de f , alors toute fonction de la forme F + C , où C est une constante, est également une primitive de f .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre équation différentielle et notion de primitive ?

Primitives de fonctions de référence

Il est crucial de connaître les primitives des fonctions usuelles. Voici quelques exemples : Pour une fonction de la forme x \mapsto x^n , la primitive est x \mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1} si n \neq -1 . Pour la fonction exponentielle e^x , sa propre primitive est e^x . La primitive de \frac{1}{x} pour x > 0 est \ln|x| .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre primitives de fonctions de référence ?

Équations différentielles simples

Pour l'équation différentielle y' = ay , où a est un nombre réel, la solution générale est de la forme y = Ce^{ax} , où C est une constante qui peut être déterminée par une condition initiale. Si l'équation différentielle est y' = ay + b avec a \neq 0 et b \neq 0 , une solution particulière est y = -\frac{b}{a} , et la solution générale de l'équation homogène associée est ajoutée à cette solution particulière.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre équations différentielles simples ?

Démonstrations

Prenons l'exemple de l'équation différentielle y' = ay . Pour démontrer que y = Ce^{ax} est solution, on dérive cette dernière par rapport à x pour obtenir y' = aCe^{ax} . On constate alors que y' = ay , ce qui confirme que y = Ce^{ax} est bien une solution de l'équation différentielle donnée.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre démonstrations ?

Approfondissements possibles

Les équations différentielles peuvent être plus complexes et liées à des situations variées, telles que la croissance démographique, modélisée par l'équation logistique, ou le refroidissement d'un corps, suivant la loi de Newton du refroidissement. Pour ces situations, les équations différentielles peuvent prendre des formes non-linéaires ou dépendre de plusieurs variables. L'approfondissement de la théorie des équations différentielles implique l'étude de ces systèmes plus complexes et de leurs solutions souvent non explicites.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre approfondissements possibles ?

Exemple d'algorithme pour résoudre une équation différentielle

Un exemple classique de méthode numérique pour résoudre des équations différentielles est la méthode d'Euler. Elle est particulièrement utile quand la solution ne peut être exprimée sous forme fermée. Supposons l'équation différentielle y' = f(y,t) , où y est une fonction de t . La méthode d'Euler utilise une approximation linéaire pour avancer pas à pas depuis une condition initiale connue. Si on connaît la valeur de y à l'instant t , la valeur approchée de y à l'instant t + \Delta t sera : y(t + \Delta t) \approx y(t) + \Delta t \cdot f(y(t), t) On répète ce processus à partir de chaque nouveau point trouvé pour construire une solution approchée sur l'intervalle désiré.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre exemple d'algorithme pour résoudre une équation différentielle ?

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

• Une équation différentielle est une relation qui associe une fonction et ses dérivées. Par exemple, l'équation différentielle de base est de la forme y' = f , où y est la fonction inconnue et f est une fonction donnée de la variable indépendante. Une primitive d'une fonction f est une fonction F telle que F' = f . Trouver une primitive, c'est donc résoudre une équation différentielle du premier ordre. Les primitives ne sont pas uniques : si F est une primitive de f , alors toute fonction de la forme F + C , où C est une constante, est également une primitive de f .
• Il est crucial de connaître les primitives des fonctions usuelles. Voici quelques exemples : Pour une fonction de la forme x \mapsto x^n , la primitive est x \mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1} si n \neq -1 . Pour la fonction exponentielle e^x , sa propre primitive est e^x . La primitive de \frac{1}{x} pour x > 0 est \ln|x| .
• Pour l'équation différentielle y' = ay , où a est un nombre réel, la solution générale est de la forme y = Ce^{ax} , où C est une constante qui peut être déterminée par une condition initiale. Si l'équation différentielle est y' = ay + b avec a \neq 0 et b \neq 0 , une solution particulière est y = -\frac{b}{a} , et la solution générale de l'équation homogène associée est ajoutée à cette solution particulière.
• Prenons l'exemple de l'équation différentielle y' = ay . Pour démontrer que y = Ce^{ax} est solution, on dérive cette dernière par rapport à x pour obtenir y' = aCe^{ax} . On constate alors que y' = ay , ce qui confirme que y = Ce^{ax} est bien une solution de l'équation différentielle donnée.
• Les équations différentielles peuvent être plus complexes et liées à des situations variées, telles que la croissance démographique, modélisée par l'équation logistique, ou le refroidissement d'un corps, suivant la loi de Newton du refroidissement. Pour ces situations, les équations différentielles peuvent prendre des formes non-linéaires ou dépendre de plusieurs variables. L'approfondissement de la théorie des équations différentielles implique l'étude de ces systèmes plus complexes et de leurs solutions souvent non explicites.
• Un exemple classique de méthode numérique pour résoudre des équations différentielles est la méthode d'Euler. Elle est particulièrement utile quand la solution ne peut être exprimée sous forme fermée. Supposons l'équation différentielle y' = f(y,t) , où y est une fonction de t . La méthode d'Euler utilise une approximation linéaire pour avancer pas à pas depuis une condition initiale connue. Si on connaît la valeur de y à l'instant t , la valeur approchée de y à l'instant t + \Delta t sera : y(t + \Delta t) \approx y(t) + \Delta t \cdot f(y(t), t) On répète ce processus à partir de chaque nouveau point trouvé pour construire une solution approchée sur l'intervalle désiré.

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Sources et traçabilité

Dernière vérification : 2026-08-09

1. Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale, Ministère de l'Éducation nationale — consulté le 2026-08-09.