Vérifier une solution avant de fixer sa constante

F est une primitive de f sur un intervalle lorsque $\text{F'=f}$ sur tout cet intervalle. Les primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Exemple guidé : Pour $\text{f(x)=3}{x}^2$, toutes les primitives sont $\text{F(x)=}{x}^3\text{+C}$.

La dérivation fournit le contrôle décisif : $\text{(}{x}^3\text{+C)'=3}{x}^2$ pour toute constante C. Réciproquement, si $\text{F'}$ et $\text{G'}$ sont égales sur un intervalle, alors $\text{(F−G)'=0}$ et $\text{F−G}$ y est constante. L’intervalle est nécessaire, notamment lorsque le domaine comporte plusieurs composantes.

Les tableaux de primitives s'utilisent avec le domaine et la structure de l'expression. Pour $\text{u'>0}$ ou non, une primitive de u'e⁽u⁾ est e⁽u⁾ ; une primitive de $\frac{\text{u'}}{u}$ est ln|u| sur un intervalle où u ne s'annule pas.

Exemple guidé : Une primitive de 2x e^(x²) est e^(x²).

Repère d’abord une composition et la dérivée de sa fonction intérieure. Dans 2x e^(x²), $\text{u=}{x}^2$ et $\text{u'=2x}$ : le motif u'e⁽u⁾ apparaît exactement. Pour $\frac{\text{u'}}{u}$, l’écriture ln|u| impose de travailler sur un intervalle où u ne s’annule pas ; la valeur absolue ne répare pas un passage par zéro.

Pour a réel, les solutions de $\text{y'=ay}$ sont $\text{y(x)=Ce^(ax)}$, avec C réel. La fonction nulle correspond à $\text{C=0}$.

Exemple guidé : Pour $\text{y'=2y}$, $\text{y(x)=Ce^(2x)}$ et sa dérivée vaut $\text{2Ce^(2x)=2y(x)}$.

La vérification évite d’accepter une famille incomplète : la dérivée de Ce^(ax) vaut aCe^(ax), donc ay. La constante C peut être positive, négative ou nulle. Il n’est pas permis de la remplacer d’emblée par e⁽k⁾, car cela exclurait les solutions négatives et la solution nulle.

Une condition $\text{y(}{x}_0\text{)=}{y}_0$ sélectionne une unique solution dans la famille Ce^(ax). On remplace x par $x_0$ puis on résout l'équation en C.

Exemple guidé : Si $\text{y'=2y}$ et $\text{y(0)=3}$, alors $\text{C=3}$ et $\text{y(x)=3e^(2x)}$.

Pour $\text{y(x)=Ce^(2x)}$, la condition $\text{y(0)=3}$ donne $\text{C×}{e}^0\text{=3}$, donc $\text{C=3}$. Si la condition est donnée en $x_0\text{≠0}$, on obtient $\text{C=}{y}_0\text{e^(−a}{x}_0\text{)}$. Une fois C calculée, remplace-la dans la fonction et vérifie séparément l’équation différentielle et la condition initiale.

Si $\text{a≠0}$, la constante $\text{−}\frac{b}{a}$ est une solution particulière. Toutes les solutions s'écrivent $\text{y(x)=Ce^(ax)−}\frac{b}{a}$.

Exemple guidé : Pour $\text{y'=−0,5y+10}$, l'équilibre vaut 20 et $\text{y(x)=Ce^(−0,5x)+20}$.

On cherche d’abord une solution constante ℓ : $\text{0=aℓ+b}$, d’où $\text{ℓ=−}\frac{b}{a}$. Puis $\text{z=y−ℓ}$ vérifie $\text{z'=az}$ et vaut Ce^(ax). Pour $\text{y'=−0,5y+10}$, l’équilibre 20 est bien constant car $\text{0=−0,5×20+10}$. La famille complète est donc $\text{Ce^(−0,5x)+20}$.

Le signe de a détermine le comportement : pour , le terme exponentiel tend vers 0 et la solution de $\text{y'=ay+b}$ tend vers l'équilibre $\text{−}\frac{b}{a}$.

Exemple guidé : Dans un modèle de température $\text{y'=−k(y−T)}$, $\text{k>0}$, la température tend vers T.

Dans $\text{y'=−k(y−T)}$, la différence $\text{y−T}$ vaut $\text{Ce^(−kx)}$. Elle tend vers 0 lorsque x augmente si $\text{k>0}$, donc y tend vers T. Le modèle n’autorise toutefois une prédiction que dans le domaine où ses paramètres restent pertinents ; une limite mathématique ne garantit pas à elle seule la validité physique à tout instant.