Pourquoi la fonction exponentielle transforme‑t‑elle une variation proportionnelle en modèle continu ?

La fonction exponentielle, notée $\text{exp}$, est définie comme l’unique fonction dérivable sur $\text{ℝ}$ telle que $\text{exp'=exp}$ et $\text{exp(0)=1}$. Au programme de Première, son existence et son unicité sont admises : on utilise cette caractérisation sans prétendre la démontrer à partir des seules règles déjà connues.

On pose $\text{e=exp(1)}$ puis $\text{eˣ=exp(x)}$. Ainsi $e^0\text{=1}$ et la pente de la courbe en chaque abscisse x vaut exactement son ordonnée $\text{eˣ}$. La condition initiale fixe l’échelle : sans elle, les fonctions $\text{x↦Ceˣ}$ vérifient aussi $\text{f'=f}$.

Pour tous réels x et y, $\text{eˣ⁺ʸ=eˣeʸ}$. En prenant $\text{y=−x}$, on obtient $\text{eˣ}{e}^{\mathrm{-}}\text{ˣ=1}$, donc $e^{\mathrm{-}}\text{ˣ=}\frac{1}{\text{eˣ}}$. Le quotient devient $\frac{\text{eˣ}}{\text{eʸ}}\text{=eˣ⁻ʸ}$. Ces lois prolongent celles des puissances entières à des exposants réels.

Le sens de transformation dépend de la tâche : regrouper $e^2{e}^3$ donne $e^5$ ; séparer $\text{eˣ⁺²}$ donne $e^2\text{eˣ}$ et rend visible un facteur constant. L’exponentielle d’une somme n’est jamais la somme des exponentielles. Après chaque transformation, compare les exposants et conserve les parenthèses.

L’exponentielle est strictement positive sur $\text{ℝ}$. Elle ne s’annule donc jamais et $\text{eˣ>0}$ pour tout réel x. Comme sa dérivée vaut elle-même, $\text{(eˣ)'=eˣ>0}$ : la fonction est strictement croissante sur $\text{ℝ}$.

La courbe passe par $\text{(0;1)}$ et $\text{(1;e)}$. La tangente en 0 a pour pente 1 et pour équation $\text{y=x+1}$. Pour $\text{a>0}$, $\text{eᵃ>1}$ ; pour , . Ces repères permettent de contrôler un graphique sans déduire une valeur exacte d’un simple dessin.

Pour simplifier un produit ou un quotient, regroupe les exponentielles en additionnant ou soustrayant les exposants. Pour comparer, utilise la croissance : implique . Pour étudier un signe, factorise par une exponentielle strictement positive ; elle ne change pas le signe du facteur restant.

Par exemple, $e^2\text{ˣ−3eˣ=eˣ(eˣ−3)}$. Puisque $\text{eˣ>0}$, le signe de l’expression est celui de $\text{eˣ−3}$. En Première, on peut comparer ou encadrer avec des valeurs numériques données sans introduire prématurément le logarithme. La forme choisie doit exposer l’opération suivante.

Pour un réel a, la fonction $\text{t↦eᵃᵗ}$ a pour dérivée $\text{t↦aeᵃᵗ}$. Avec une constante C, $\text{F(t)=Ceᵃᵗ}$ donne $\text{F'(t)=aCeᵃᵗ=aF(t)}$. Le coefficient a porte l’unité inverse de celle de t afin que l’exposant at soit sans dimension.

Si $\text{C>0}$, le signe de $\text{F′}$ est celui de a : croissance pour $\text{a>0}$, constance pour $\text{a=0}$, décroissance pour . Ne confonds pas $\text{eᵃᵗ}$ avec $\text{eᵃt}$ ni avec $\text{(eᵃ)t}$. Au niveau attendu, on traite l’exposant affine at explicitement, sans transformer cela en règle générale de composition non étudiée.

Pour $\text{F(t)=Ceᵃᵗ}$, avancer d’un pas $\text{Δt}$ multiplie la valeur par $\frac{\text{F(t+Δt)}}{\text{F(t)}}\text{=exp(aΔt)}$. Si l’on observe seulement les instants $\text{t=nΔt}$ avec n entier, les valeurs forment une suite géométrique de raison $\text{q=exp(aΔt)}$.

Le coefficient a et le facteur q ne sont donc pas le même objet : a est un coefficient continu par unité de temps ; q est un multiplicateur sans unité pour un pas précisé. Changer la durée du pas change q. Une hausse de 5 % par mois correspond au facteur mensuel 1,05, pas au coefficient continu 0,05 sans justification supplémentaire.

Un modèle exponentiel suppose que la variation instantanée est proportionnelle à la quantité présente avec un coefficient stable : $\text{F'=aF}$. Il convient par exemple à certaines phases de décroissance radioactive, de dilution ou de croissance d’un capital à règle fixe. Définis état, variable temporelle, unité, valeur initiale, coefficient et intervalle de validité.

Il ne convient pas automatiquement à une population soumise à une capacité, à une dette avec remboursements, ni à une série dont le taux change. Compare les prédictions aux observations et examine les écarts. Le signe de a qualifie croissance ou décroissance ; il ne prouve pas à lui seul le mécanisme réel ni la stabilité future.

La méthode d’Euler appliquée à $\text{y'=y}$ et $\text{y(0)=1}$ choisit un pas h puis répète $y_{\mathrm{n+1}}\text{=}{y}_n\text{+h}{y}_n\text{=(1+h)}{y}_n$. Après n pas de taille $\text{h=}\frac{1}{n}$ pour atteindre $\text{t=1}$, elle donne $y_n\text{=(1+}\frac{1}{n}\text{)ⁿ}$, approximation de $e$.

Avec n croissant, le pas diminue et l’approximation se précise : $\text{n=1}$ donne 2, $\text{n=2}$ donne 2,25, $\text{n=10}$ environ 2,5937, encore inférieur à $\text{e≈2,71828}$. L’algorithme doit afficher n, le pas, la valeur obtenue et l’erreur observée si une référence est fournie. Ici, itérer une croissance discrète de plus en plus fine construit le modèle continu.