Fonction exponentielle : propriétés, dérivée et modèles

Ce que tu vas savoir faire

Utiliser la caractérisation exp′=exp et exp(0)=1 avec le bon statut logique.
Transformer des expressions grâce aux lois de l’exponentielle.
Justifier signe, variation et points repères de la courbe exponentielle.
Choisir une transformation qui rend l’expression ou la comparaison lisible.
Dériver t↦Ce⁽at⁾ et interpréter le signe et l’unité de a.
Relier coefficient continu et multiplicateur discret sur un pas donné.
Construire et auditer un modèle de croissance ou décroissance exponentielle.
Exécuter la méthode d’Euler et l’approximation (1+1/n)ⁿ de e.

Vérifie tes prérequis

Manipuler puissances, produits, quotients et exposants entiers.
Dériver une fonction et interpréter F′=aF.
Utiliser une suite géométrique et un algorithme itératif simple.

Le chapitre en bref

La fonction exponentielle exp est l’unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant exp′=exp et exp(0)=1 ; cette existence et cette unicité sont admises. On note e=exp(1) et eˣ=exp(x). La loi exp(x+y)=exp(x)exp(y) transforme une addition d’exposants en multiplication de facteurs ; elle entraîne e⁰=1, e⁻ˣ=1/eˣ et eˣ/eʸ=e⁽x−y⁾. L’exponentielle est strictement positive et croissante. Pour F(t)=C exp(at), F′(t)=aF(t) : le coefficient continu a mesure la variation instantanée relative par unité de temps, tandis que sur un pas Δt le multiplicateur discret est exp(aΔt). Le signe de a distingue croissance et décroissance. Le modèle exige une proportionnalité stable et un domaine annoncé. La méthode d’Euler construit des approximations pas à pas de la solution y′=y ; la suite (1+1/n)ⁿ fournit une autre approximation de e.

1. Quelle fonction reste inchangée quand on la dérive ?

La fonction exponentielle, notée $exp$ , est définie comme l’unique fonction dérivable sur $ℝ$ telle que $exp'=exp$ et $exp(0)=1$ . Au programme de Première, son existence et son unicité sont admises : on utilise cette caractérisation sans prétendre la démontrer à partir des seules règles déjà connues.

On pose $e=exp(1)$ puis $eˣ=exp(x)$ . Ainsi $e^{0} =1$ et la pente de la courbe en chaque abscisse x vaut exactement son ordonnée $eˣ$ . La condition initiale fixe l’échelle : sans elle, les fonctions $x↦Ceˣ$ vérifient aussi $f'=f$ .

Équation différentielle + condition initiale + statut

Quel passeport sélectionne exactement exp ?

Domaine $ℝ$ Équation $f'=f$ Initiale $f(0)=1$ Solution $f=exp$

L’existence et l’unicité sont admises ; les deux conditions identifient la fonction.

2. Comment une addition d’exposants devient-elle un produit ?

Pour tous réels x et y, $eˣ⁺ʸ=eˣeʸ$ . En prenant y=−x, on obtient $eˣ e^{−} ˣ=1$ , donc $e^{−} ˣ= \frac{1}{eˣ}$ . Le quotient devient $\frac{eˣ}{eʸ} =eˣ⁻ʸ$ . Ces lois prolongent celles des puissances entières à des exposants réels.

Le sens de transformation dépend de la tâche : regrouper $e^{2} e^{3}$ donne $e^{5}$ ; séparer $eˣ⁺²$ donne $e^{2} eˣ$ et rend visible un facteur constant. L’exponentielle d’une somme n’est jamais la somme des exponentielles. Après chaque transformation, compare les exposants et conserve les parenthèses.

Somme ↔ produit ; opposé ↔ inverse ; différence ↔ quotient

Quelle loi transforme l’expression sans la déformer ?

Expression $eˣeʸ$ Exposants $x+y$ Réduction $eˣ⁺ʸ$ Contrôleaddition, pas multiplication

Multiplier des exponentielles de même base additionne leurs exposants.

3. Pourquoi la courbe reste-t-elle positive et croissante ?

L’exponentielle est strictement positive sur $ℝ$ . Elle ne s’annule donc jamais et $eˣ>0$ pour tout réel x. Comme sa dérivée vaut elle-même, $(eˣ)'=eˣ>0$ : la fonction est strictement croissante sur ℝ.

La courbe passe par $(0;1)$ et $(1;e)$ . La tangente en 0 a pour pente 1 et pour équation $y=x+1$ . Pour $a>0$ , $eᵃ>1$ ; pour $a<0$ , $0<eᵃ<1$ . Ces repères permettent de contrôler un graphique sans déduire une valeur exacte d’un simple dessin.

Valeur positive → dérivée positive → croissance

Quel fait contrôle le signe, la pente et la courbe ?

Pour tout x $eˣ>0$ ZérosaucunAxe xjamais traverséVerdictimage dans ]0;+∞[

L’exponentielle ne prend aucune valeur négative ni nulle.

4. Quelle forme de l’expression rend le calcul ou la comparaison immédiat ?

Pour simplifier un produit ou un quotient, regroupe les exponentielles en additionnant ou soustrayant les exposants. Pour comparer, utilise la croissance : $u<v$ implique $eᵘ<eᵛ$ . Pour étudier un signe, factorise par une exponentielle strictement positive ; elle ne change pas le signe du facteur restant.

Par exemple, $e^{2} ˣ−3eˣ=eˣ(eˣ−3)$ . Puisque $eˣ>0$ , le signe de l’expression est celui de $eˣ−3$ . En Première, on peut comparer ou encadrer avec des valeurs numériques données sans introduire prématurément le logarithme. La forme choisie doit exposer l’opération suivante.

Objectif → transformation → contrôle

Quelle forme rend la prochaine question visible ?

Expression $e^{2} e^{5}$ Loiadditionner les exposantsForme $e^{7}$ Gainune seule puissance

Regrouper réduit le nombre de facteurs lorsqu’une valeur ou une forme compacte est demandée.

5. Comment dériver une exponentielle dont l’exposant est at ?

Pour un réel a, la fonction $t↦eᵃᵗ$ a pour dérivée $t↦aeᵃᵗ$ . Avec une constante C, $F(t)=Ceᵃᵗ$ donne $F'(t)=aCeᵃᵗ=aF(t)$ . Le coefficient a porte l’unité inverse de celle de t afin que l’exposant at soit sans dimension.

Si $C>0$ , le signe de F′ est celui de a : croissance pour a>0, constance pour a=0, décroissance pour a<0. Ne confonds pas $eᵃᵗ$ avec $eᵃt$ ni avec $(eᵃ)t$ . Au niveau attendu, on traite l’exposant affine at explicitement, sans transformer cela en règle générale de composition non étudiée.

Forme → dérivée → signe → unité

Que révèle le coefficient a dans Ceᵃᵗ ?

Fonction $F(t)=3 e^{2} ᵗ$ Dérivée $F'(t)=6 e^{2} ᵗ$ Relation $F'=2F$ Variationcroissante

La variation instantanée vaut deux fois l’état par unité de t.

6. Quel lien unit coefficient continu et multiplicateur par pas ?

Pour $F(t)=Ceᵃᵗ$ , avancer d’un pas $Δt$ multiplie la valeur par $\frac{F(t+Δt)}{F(t)} =exp(aΔt)$ . Si l’on observe seulement les instants $t=nΔt$ avec n entier, les valeurs forment une suite géométrique de raison $q=exp(aΔt)$ .

Le coefficient a et le facteur q ne sont donc pas le même objet : a est un coefficient continu par unité de temps ; q est un multiplicateur sans unité pour un pas précisé. Changer la durée du pas change q. Une hausse de 5 % par mois correspond au facteur mensuel 1,05, pas au coefficient continu 0,05 sans justification supplémentaire.

Coefficient continu + durée du pas → facteur discret

Quel multiplicateur observe-t-on après un pas ?

Modèle $F(t)=Ceᵃᵗ$ Après 1 $F(t+1)=Ceᵃᵗeᵃ$ Quotient $\frac{F(t+1)}{F(t)} =eᵃ$ Raison $q=eᵃ$

Aux temps entiers, les valeurs forment une suite géométrique de raison eᵃ.

7. Quand une croissance ou décroissance exponentielle est-elle un modèle crédible ?

Un modèle exponentiel suppose que la variation instantanée est proportionnelle à la quantité présente avec un coefficient stable : $F'=aF$ . Il convient par exemple à certaines phases de décroissance radioactive, de dilution ou de croissance d’un capital à règle fixe. Définis état, variable temporelle, unité, valeur initiale, coefficient et intervalle de validité.

Il ne convient pas automatiquement à une population soumise à une capacité, à une dette avec remboursements, ni à une série dont le taux change. Compare les prédictions aux observations et examine les écarts. Le signe de a qualifie croissance ou décroissance ; il ne prouve pas à lui seul le mécanisme réel ni la stabilité future.

État, temps, coefficient, hypothèses, résidus

La proportionnalité à l’état reste-t-elle crédible ?

Étatnombre de noyauxTempsunité annoncéeRelation $N'=−kN$ avec $k>0$ Modèle $N(t)= N_{0} e^{−} ᵏᵗ$

Le coefficient porte l’unité inverse du temps et le modèle porte sur un grand ensemble de noyaux.

8. Comment construire numériquement l’exponentielle et approcher e ?

La méthode d’Euler appliquée à $y'=y$ et $y(0)=1$ choisit un pas h puis répète $y_{n+1} = y_{n} +h y_{n} =(1+h) y_{n}$ . Après n pas de taille $h= \frac{1}{n}$ pour atteindre t=1, elle donne $y_{n} =(1+ \frac{1}{n})ⁿ$ , approximation de $e$ .

Avec n croissant, le pas diminue et l’approximation se précise : n=1 donne 2, n=2 donne 2,25, n=10 environ 2,5937, encore inférieur à e≈2,71828. L’algorithme doit afficher n, le pas, la valeur obtenue et l’erreur observée si une référence est fournie. Ici, itérer une croissance discrète de plus en plus fine construit le modèle continu.

État → pente → incrément → itération → erreur

Comment un pas discret construit-il une courbe continue ?

Équation $y'=y$ Pas $h>0$ Incrément $h y_{n}$ Récurrence $y_{n+1} =(1+h) y_{n}$

Euler remplace pendant chaque petit pas la pente variable par sa valeur au début du pas.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Exp est définie par exp′=exp et exp(0)=1.
Une somme d’exposants devient un produit.
L’exponentielle est positive et croissante.
La forme algébrique doit servir la prochaine opération.
La dérivée de Ceᵃᵗ est aCeᵃᵗ.
Le facteur sur Δt est exp(aΔt).
Tout modèle annonce hypothèses et domaine.
Euler relie (1+1/n)ⁿ à e.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Quelle caractérisation définit exp en Première ?

exp'=exp

et

exp(0)=1

exp'=0

et

exp(0)=1

exp(0)=0

2. Comment simplifier eˣeʸ ?

eˣ⁺ʸ

eˣʸ

eˣ+eʸ

3. Pourquoi eˣ est-elle strictement croissante ? Sa dérivée vaut eˣ et reste strictement positive Elle s’annule en 0 Sa dérivée est constante

4. Quel facteur peut-on mettre en évidence dans e²ˣ−3eˣ ?

eˣ(eˣ−3)

eˣ(1−3)

e^{2} ˣ(1−3)

5. Quelle est la dérivée de F(t)=4e⁻²ᵗ ?

F'(t)=−8 e^{−2} ᵗ

F'(t)=4 e^{−2} ᵗ

F'(t)=−2 e^{−2}

6. Pour F(t)=Ceᵃᵗ, quel est le facteur sur un pas Δt ?

exp(aΔt)

a+Δt

eᵃ+Δt

7. Quel cas contredit un modèle exponentiel simple à coefficient constant ? Une dette avec remboursements variables Une quantité vérifiant F′=−0,2F Un capital sans versement à règle fixe

8. Quelle approximation d’Euler de e obtient-on avec n pas ?

(1+ \frac{1}{n})ⁿ

{(1+n)}^{n}

\frac{1}{n^{n}}

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