MaxdecoursSeconde · Première et Terminale, spécialité mathématiques · Catégorie du laboratoire
Construis une figure, choisis les vecteurs utiles et confronte une impression à un critère. Six enquêtes et deux projets pour relier coordonnées, orthogonalité et distances.
Distingue coordonnées d’un point, déplacement et distance. Inverse le trajet sans perdre les signes.
Pour A(xA;yA) et B(xB;yB), AB=(xB−xA;yB−yA). BA=−AB. Une translation commune des points ne change pas AB.
Retrouver la justification dans le coursCompose deux déplacements en vérifiant le point intermédiaire, puis retrouve le trajet direct.
AB+BC=AC : (B−A)+(C−B)=C−A. Les coordonnées du point intermédiaire s’annulent. Cette justification fonctionne dans tout repère affine.
Retrouver la justification dans le coursModifie un sommet et confronte l’apparence d’un triangle à son déterminant et à son aire.
det(u,v)=ux·vy−uy·vx. Il est nul exactement lorsque les vecteurs sont colinéaires. Dans un repère orthonormé, l’aire du triangle est |det(AB,AC)|/2.
Retrouver la justification dans le coursChoisis le produit scalaire plutôt que le déterminant et vérifie une identité de normes.
Dans une base orthonormée, u·v=ux·vx+uy·vy. La nullité caractérise l’orthogonalité. ||u+v||²=||u||²+2u·v+||v||².
Retrouver la justification dans le coursCherche le coefficient d’une projection puis vérifie l’orthogonalité du résidu.
Pour v non nul, proj_v(u)=((u·v)/||v||²)v. Le résidu u−proj_v(u) est orthogonal à v. Changer de multiple non nul de v ne change pas le vecteur projeté.
Retrouver la justification dans le coursDistingue le membre de gauche d’une équation de plan de la distance réelle au plan.
Pour un normal n=(a;b;c) non nul, d(M,P)=|axM+byM+czM+d|/||n||. Multiplier toute l’équation par un réel non nul ne change pas cette distance.
Retrouver la justification dans le coursDistingue cercle de diamètre et médiatrice en reliant trois vecteurs et un centre.
Si I est le milieu de [AB], MA·MB=(MI+IA)·(MI−IA)=MI²−IA². Le produit nul équivaut à MI=IA : le lieu est le cercle de diamètre [AB].
Retrouver la justification dans le coursCompare plusieurs points d’un plan et transforme une intuition de distance minimale en argument de Pythagore.
H appartient au plan et MH est normal au plan. Pour tout K du plan, MH est orthogonal à HK, donc MK²=MH²+HK²≥MH². L’égalité exige K=H.
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Relier expérience et méthode
Une figure suggère des alignements et des angles. Nomme les vecteurs, calcule le critère adapté, puis formule une conclusion avec ses hypothèses.
Le déterminant répond à la colinéarité. Le produit scalaire répond à l’orthogonalité dans le repère orthonormé. Leur nullité ne signifie pas la même chose.
Un point sur le plan n’est pas forcément le projeté. H doit appartenir au plan et MH doit suivre sa direction normale. Les deux contrôles rendent la distance interprétable.
Les coordonnées sont entières dans un repère orthonormé. Les critères de colinéarité et d’orthogonalité sont calculés exactement sur ces entiers ; les angles et projections affichés sont arrondis. La perspective de l’espace ne conserve ni les angles ni les longueurs.
Dernière vérification : 2026-10-03 · Responsabilité éditoriale : Maxdecours.