MaxdecoursPremière et Terminale · Spécialité mathématiques · Catégorie du laboratoire
Construis un arbre, change le groupe de référence et compare une loi à des essais simulés. Huit enquêtes et deux projets pour calculer, expliquer et réutiliser une méthode.
Suppose P(A)=0,4, P(B sachant A)=0,8 et P(B sachant non A)=0,2. Le chemin A puis B vaut 0,32 ; celui de non A puis B vaut 0,12. Donc P(B)=0,44. Inverser le conditionnement donne P(A sachant B)=0,32/0,44=8/11, pas 0,8 : le groupe de référence a changé.
Lis les premières branches et les branches conditionnelles, puis retrouve chaque chemin dans le tableau.
Si P(A)>0, la définition P_A(B)=P(A∩B)/P(A) donne P(A∩B)=P(A)P_A(B). Multiplier les branches d’un chemin exprime donc une intersection. Si A est impossible, le chemin a une probabilité nulle ; la conditionnelle sachant A n’est pas définie.
Retrouver la justification dans le coursCalcule les deux conditionnements inverses sans changer la case d’intersection.
P_A(B) et P_B(A) partagent le numérateur P(A∩B), mais divisent respectivement par P(A) et P(B), lorsque ces probabilités sont strictement positives. La symétrie de l’intersection ne donne donc pas la symétrie du conditionnement.
Retrouver la justification dans le coursReconstitue une probabilité globale depuis deux groupes et calcule une réunion sans compter deux fois.
B est la réunion disjointe de A∩B et non A∩B. Leurs probabilités s’additionnent. Pour A∪B, la somme P(A)+P(B) compte l’intersection deux fois ; on la retire une fois. Les deux règles reposent sur les événements réellement comptés, pas sur la forme du dessin.
Retrouver la justification dans le coursCompare l’intersection au produit des marginales et teste une confusion fréquente.
Le critère d’indépendance est P(A∩B)=P(A)P(B). Deux événements incompatibles de probabilités positives donnent une intersection nulle mais un produit strictement positif : ils ne sont pas indépendants. Le calcul exact du critère reste valable si l’un des événements a une probabilité nulle.
Retrouver la justification dans le coursPour trois ou quatre épreuves indépendantes, distingue un chemin précis de tous les chemins donnant le même nombre de succès.
Chaque ordre précis de n succès ou échecs indépendants est un produit de n probabilités. Avec p=0,5, les 2ⁿ ordres ont chacun la probabilité 1/2ⁿ. Pour trois épreuves, exactement deux succès correspond à trois ordres ; pour quatre épreuves, à six ordres. L’événement est leur réunion disjointe.
Retrouver la justification dans le coursEn Terminale, construis la loi du nombre de succès et distingue une valeur, une somme et un seuil strict.
Dans n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, un chemin de k succès vaut pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Il existe C(n,k) positions possibles des succès, d’où la loi binomiale. P(X≤k) additionne les valeurs de 0 à k ; P(X>k) vaut 1−P(X≤k).
Retrouver la justification dans le coursCompare un nombre de succès observés à la probabilité du modèle et discute ce que montre une série finie.
La fréquence observée est le quotient du nombre de succès par le nombre d’essais. Dans un modèle d’essais indépendants de même loi, chaque nouvel essai conserve sa probabilité p. Une série finie peut s’éloigner de p avant de s’en rapprocher ; elle n’impose ni égalité exacte ni rapprochement monotone.
Retrouver la justification dans le coursCalcule l’espérance et la variance d’un gain net fictif, puis examine une prime fixe.
L’espérance d’une variable finie est la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités. La variance est la somme des carrés des écarts à cette espérance, eux aussi pondérés. Ajouter une constante ajoute cette constante à l’espérance mais ne modifie pas les écarts, donc ne modifie pas la variance.
Retrouver la justification dans le coursDans un contrôle fictif de pièces, reconstruis le groupe des signalements puis change la proportion initiale de défauts.
Un signal peut provenir d’une pièce avec défaut ou sans défaut. La probabilité d’un défaut sachant le signal est P(A∩B)/P(B), avec P(B)=P(A∩B)+P(non A∩B). Changer P(A) tout en conservant les branches conditionnelles change le poids relatif de ces deux origines.
Retrouver la justification dans le coursCompare deux jeux fictifs de même espérance et de dispersions différentes ; distingue changement d’échelle et translation.
Pour Y=aX+b, l’espérance vaut aE(X)+b. Les écarts à la moyenne sont multipliés par a ; leurs carrés par a². Donc V(Y)=a²V(X) et l’écart type est multiplié par |a|. Une translation ne modifie pas la dispersion.
Retrouver la justification dans le coursActive JavaScript pour construire les modèles, lancer une simulation et garder des versions.
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Garde une loi, change les hypothèses, puis reprends ou compare. Les recherches restent dans ce navigateur. Le carnet commun réunit les catégories et permet leur export/import.
Le modèle et son expérience
L’arbre annonce trois probabilités. Le tableau donne les quatre intersections et leurs marges. Ce sont deux lectures de la même loi. Une branche issue d’un événement impossible est sans effet sur la loi ; la probabilité conditionnelle correspondante n’est pas définie.
Un nombre de succès regroupe plusieurs chemins. Sous l’hypothèse d’épreuves identiques et indépendantes, les chemins ayant le même nombre de succès ont la même probabilité. Les nombres de succès ne sont pas pour autant équiprobables.
La graine fixe une même suite pseudorandomisée : une simulation peut être rejouée et prolongée. Change la graine pour comparer deux séries. Observe les écarts puis justifie par la loi ; une observation finie ne remplace pas une démonstration.
L’atelier utilise des modèles finis : deux événements et trois probabilités en pourcentages entiers, jusqu’à 30 répétitions identiques et indépendantes, ou deux gains nets en points. Chaque simulation compte de 10 à 5 000 essais pseudorandomisés à graine choisie. Ce sont des expériences construites, pas des observations de personnes ou d’objets réels. Une fréquence simulée ne démontre pas une probabilité ni une convergence monotone. Les fractions du tableau sont exactes ; les autres valeurs numériques sont arrondies.
Dernière vérification : 2026-10-03 · Responsabilité éditoriale : Maxdecours.