MaxdecoursTerminale générale · Spécialité mathématiques · Catégorie du laboratoire
Relie une fonction à ses primitives, affine des rectangles et distingue accumulation signée et aire. Six enquêtes et deux projets pour calculer, expliquer et interpréter les unités.
Trouve le coefficient d’une primitive et contrôle la dérivée intérieure d’une composée.
F est une primitive de f sur un intervalle lorsque F′=f partout sur cet intervalle. Pour F(x)=αx³, F′(x)=3αx². Une primitive de re^(2x) est (r/2)e^(2x).
Retrouver la justification dans le coursFixe une primitive par une condition en un point, puis regarde ce qui change dans une intégrale définie.
Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante. Une condition fixe cette constante ; elle s’annule dans F(b)−F(a).
Retrouver la justification dans le coursOrganise F(b)−F(a), inverse les bornes et contrôle le signe plutôt que de mémoriser une recette.
Pour f continue et F primitive de f, ∫ de a à b f=F(b)−F(a). L’inversion des bornes change le signe ; une intégrale nulle n’impose pas que f soit nulle.
Retrouver la justification dans le coursDécoupe aux changements de signe pour distinguer accumulation algébrique et aire géométrique.
Pour a<b, l’aire entre la courbe et l’axe vaut ∫|f|. L’intégrale ∫f garde les signes. Pour f(x)=rx sur [−2;2], l’intégrale vaut 0 et l’aire vaut 4r, avec r>0.
Retrouver la justification dans le coursCompare rectangles gauches, droits et au milieu avec une valeur calculée par primitive.
Pour une fonction croissante et a<b, les rectangles gauches minorent et les droits majorent l’intégrale. Ce contrôle exige une monotonie sur tout l’intervalle. Une somme finie reste une approximation.
Retrouver la justification dans le coursRelie débit, durée et volume puis retrouve la valeur moyenne et son unité.
Pour a<b, la valeur moyenne est (1/(b−a))∫f. Elle a l’unité de f. Un débit en L/min intégré sur des minutes donne un volume en L ; il ne suffit pas de faire la moyenne des extrémités.
Retrouver la justification dans le coursPars de la dérivée d’un produit pour construire l’intégration par parties et réutiliser une première intégrale.
Intégrer (uv)′=u′v+uv′ donne ∫uv′=[uv]−∫u′v. Pour u=rx et v=e^x sur [0;1], le résultat est re−r(e−1)=r.
Retrouver la justification dans le coursConstruis un bilan de mouvement : vitesse, position initiale, déplacement et distance totale.
Pour v(t)=t−1 sur [0;3], le déplacement vaut 3/2 m et la distance parcourue vaut 5/2 m. Ajouter une constante à la position ne change pas sa dérivée ni la distance parcourue.
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Relier expérience et méthode
F′=f sur l’intervalle est le contrôle décisif. Ajouter une constante translate F sans changer f. Une condition en un point choisit une seule primitive.
L’intégrale conserve les signes. Pour une aire géométrique ou une distance parcourue, découpe aux changements de signe puis additionne les contributions positives.
Affiner des rectangles rapproche une approximation de l’intégrale. Le calcul par primitive et les extrema sur tout l’intervalle fournissent deux contrôles indépendants.
L’atelier construit des polynômes de degré au plus deux, des exponentielles, sinus, cosinus, inverses et produits x·e^(kx), avec des coefficients et bornes entiers. Les valeurs sont arrondies. Les primitives sont explicites ; les rectangles sont des approximations. L’inverse est étudié sur un intervalle qui ne contient pas zéro.
Dernière vérification : 2026-10-03 · Responsabilité éditoriale : Maxdecours.