Une fonction, trois écritures
Développe une forme canonique et explique pourquoi la courbe ne change pas.
a(x − h)² + k = ax² − 2ahx + ah² + k. Ainsi b = −2ah et c = ah² + k.
Relier cette enquête au coursMathématiques · Première · Catégorie du laboratoire
Le second degré, sous tous ses angles.
Construis une fonction, confronte ses représentations et mène six enquêtes pour expliquer ce que tu observes.
Explore les six enquêtes ci-dessous. Active JavaScript pour construire et comparer les fonctions dans l’atelier.
Laboratoire de mathématiques
Fabrique une trajectoire avec une parabole
Manipule la trajectoire, explique le rôle de la forme canonique, puis résous un nouveau cas sans curseur.
Six enquêtes, avec ou sans l’atelier
Point de départ : f(x) = 0,5(x − 2)² − 2. Son sommet est (2 ; −2), ses racines sont 0 et 4 et sa forme développée est 0,5x² − 2x.
Retrouver une fonction
Un sommet et un point sont donnés. Construis la seule parabole qui les respecte.
Si u ≠ h, alors a = (v − k)/(u − h)². Le sommet et un point hors de l’axe déterminent a, h et k.
Relier cette enquête au coursTrouver ce qui contredit
Une affirmation semble plausible. Construis un contre-exemple et justifie-le.
Une observation isolée ne prouve pas une proposition universelle. Un contre-exemple exact la réfute ; sa vérification doit utiliser les coefficients, pas seulement le dessin.
Relier cette enquête au coursChoisir la bonne écriture
Racines, extremum ou image de zéro : choisis une forme utile, puis calcule.
Le choix dépend de la question. Le produit nul donne les racines ; un carré est positif ou nul ; remplacer x par zéro dans ax² + bx + c donne c.
Relier cette enquête au coursConclure sans la courbe
Retrouve un sommet, puis un extremum sur un intervalle, sans graphique.
Sur un intervalle fermé, compare les valeurs aux bornes et au sommet s’il est dans l’intervalle. Le signe de a détermine si le sommet est un minimum ou un maximum.
Relier cette enquête au coursFabriquer une trajectoire
Passe un obstacle, atteins la cible, explique le sommet, puis transfère sans curseur.
Cette trajectoire est un modèle géométrique. Les coordonnées du sommet et les contraintes de hauteur se vérifient avec f(x) = a(x − h)² + k.
Relier cette enquête au coursRevenir à ses idées
Ton carnet d’exploration
Garde des fonctions, compare deux essais et retrouve les enquêtes que tu as expliquées. Ce carnet reste sur cet appareil. Exporte-le pour le conserver ou le transporter.
Poursuivre l’exploration
Et si tu regardais la pente de la courbe ?
Relie une fonction à sa dérivée, construis une tangente et explore deux projets : une boîte optimale et une racine par Newton.
De l’observation à la preuve
Trois écritures. Une même fonction.
Le sommet devient visible
. Si a > 0, le carré est positif ou nul : k est le minimum. Si a < 0, k est le maximum. Dans les deux cas, il est atteint pour x = h.
Les coefficients se répondent
Développer donne b = −2ah et c = ah² + k. En sens inverse, lorsque a ≠ 0, h = −b/(2a) et k = f(h). L’écriture change, pas la fonction.
Les racines expliquent le signe
Le discriminant Δ = b² − 4ac = −4ak distingue deux racines réelles, une racine double ou aucune racine réelle. Lorsque deux racines existent, le signe entre elles est opposé à celui de a.
La courbe représente une fonction sur les nombres réels. Un dessin ou une valeur arrondie aide à conjecturer ; les identités algébriques et les inégalités permettent de justifier. Lorsque a = 0, la fonction est constante, pas du second degré.
Relier l’expérience au cours
Mettre tes découvertes en ordre
Retrouve les démonstrations, le discriminant et les stratégies de résolution dans le chapitre de Première.
Sources et traçabilité
Dernière vérification : 2026-10-02 · Responsabilité éditoriale : Maxdecours.
- Programme de spécialité mathématiques de Première générale, Ministère de l’Éducation nationale, consulté le 2026-10-02.
- Quadratic Functions, Algebra and Trigonometry 2e, 5.1, OpenStax, consulté le 2026-10-02.