Prouver le comportement d'une suite

Une suite associe un nombre à chaque rang entier de son domaine. Une définition explicite utilise le rang, tandis qu’une récurrence utilise un ou plusieurs termes précédents. Elle annonce donc une règle et les valeurs qui permettent de commencer. Nous travaillons ici à partir du rang 0.

Avec $u_0\text{=3}$ et $u_{\mathrm{n+1}}\text{=0,8}{u}_n\text{+4}$, on obtient 6,4 puis 9,12. Le rang 1 n’est pas le terme 6,4 : remplacer la valeur précédente par son indice produirait une autre liste. Les premiers termes servent à contrôler la lecture de la définition.

Une formule explicite peut aussi décrire cette suite. Le nombre 20 vérifie $\text{20=0,8×20+4}$. Soustraire 20 dans la relation donne $u_{\mathrm{n+1}}\text{−20=0,8(}{u}_n\text{−20)}$. Les écarts à 20 forment une suite géométrique de départ $\text{−17}$.

On en déduit $u_n\text{=20−17×}{\text{(0,8)}}^{\mathrm{n}}$. Vérifier le rang 0 retrouve 3, puis la formule donne les mêmes valeurs que la récurrence. Ce changement de registre ne prouve pas encore, à lui seul, toutes les bornes d’une récurrence quelconque ; il fournit ici une expression exploitable.

Quelques termes croissants suggèrent une monotonie, mais la propriété concerne tous les rangs. Une méthode consiste à étudier le signe de $u_{\mathrm{n+1}}\text{−}{u}_n$. Pour une récurrence, une borne peut être nécessaire avant de déterminer ce signe.

Reprenons $u_0\text{=3}$ et $u_{\mathrm{n+1}}\text{=0,8}{u}_n\text{+4}$. Pour prouver $\text{0≤}{u}_n\text{≤20}$, vérifie d’abord le départ. Puis suppose que la propriété est vraie à un rang n : multiplier par 0,8, qui est positif, conserve l’ordre ; ajouter 4 donne un terme compris entre 4 et 20. La propriété est donc vraie au rang suivant.

La récurrence établit la borne pour tous les rangs. On peut alors écrire $u_{\mathrm{n+1}}\text{−}{u}_n\text{=0,2(20−}{u}_n\text{)≥0}$. La suite est croissante. Ici la formule explicite prouve même à chaque rang, donc la croissance est stricte.

L’ordre du raisonnement est essentiel : utiliser la majoration pour prouver la croissance sans avoir établi cette majoration serait un raisonnement incomplet. Un départ supérieur à 20 ferait au contraire décroître la même récurrence. La règle et l’état initial travaillent ensemble.

Une suite croissante et majorée converge vers un nombre réel. Une suite décroissante et minorée converge également. C’est le théorème de convergence monotone. Une seule des deux hypothèses ne suffit pas : les termes n sont croissants sans limite finie, et les termes ${\text{(−1)}}^{\mathrm{n}}$ sont bornés sans converger.

La suite de départ 3 et de règle $u_{\mathrm{n+1}}\text{=0,8}{u}_n\text{+4}$ est croissante et majorée par 20, comme nous venons de le prouver. Le théorème assure donc l’existence d’une limite réelle L. Il ne donne pas automatiquement $\text{L=20}$. Une autre suite croissante et majorée par 20 pourrait tendre vers 10.

Pour identifier cette limite, on utilise la continuité de la fonction $\text{x↦0,8x+4}$. Le décalage d’un rang ne change pas la limite ; on peut donc passer à la limite dans la récurrence et obtenir $\text{L=0,8L+4}$. Cette équation donne 20.

L’existence de la limite précède son identification. Résoudre l’équation de point fixe avant d’avoir établi la convergence ne fournit qu’un candidat. L’étude des puissances géométriques offre un autre chemin de preuve pour cette récurrence.

Pour étudier une suite $q^{\mathrm{n}}$, distingue les valeurs de q. Si , les puissances tendent vers zéro ; si $\text{q=1}$, elles restent égales à 1 ; si $\text{q>1}$, elles tendent vers +∞. Pour $\text{q=−1}$, elles alternent entre $\text{−1}$ et 1. Pour , les signes alternent et l’amplitude grandit : aucune limite ne convient.

Un coefficient peut changer la conclusion pour $\text{a}{q}^{\mathrm{n}}$. Si a est nul, la suite est constante nulle quelle que soit q. Si a est négatif et $\text{q>1}$, les termes tendent vers −∞, pas +∞. Un coefficient non nul ne supprime pas les oscillations lorsque $\text{q≤−1}$.

Le cas $\text{q=−0,5}$ montre pourquoi convergence et monotonie ne sont pas équivalentes. Pour un départ positif, les signes alternent, mais la valeur absolue vaut $u_0\text{×}{\text{(0,5)}}^{\mathrm{n}}$ et tend vers zéro. Les termes convergent donc vers zéro sans être monotones.

Dans une récurrence affine, applique ces résultats à l’écart au point fixe. Même une raison d’amplitude supérieure à 1 laisse un départ exactement au point fixe inchangé ; pour un autre départ, l’amplitude des écarts grandit. La donnée initiale ne doit jamais être oubliée.

Le théorème des gendarmes s’applique lorsqu’une suite est encadrée, à partir d’un rang annoncé, par deux suites qui convergent vers la même limite réelle. La suite encadrée converge alors vers cette limite. L’encadrement et les deux limites sont les trois éléments du raisonnement.

Si $\frac{\text{0≤}{w}_n\text{≤3}}{n}$ pour tout $\text{n≥1}$, les suites extérieures tendent toutes deux vers zéro. On peut donc conclure que w tend vers zéro, même sans connaître une formule explicite pour w. Une borne supérieure fixe 3 ne donnerait pas cette conclusion.

Pour une limite infinie, la comparaison est différente. Si $w_n\text{≥n}$ à partir d’un certain rang, toute borne M est dépassée dès que n est assez grand. Les termes de w tendent donc vers +∞. Une majoration par une suite qui tend vers +∞ ne suffirait pas.

Dans chaque cas, écris le rang à partir duquel l’inégalité est valable et le sens de comparaison utile. Une comparaison observée sur trois termes ne remplace pas une inégalité générale. Nous pouvons maintenant appliquer ce contrôle à un seuil de proximité dans une récurrence.

Pour $u_{\mathrm{n+1}}\text{=f(}{u}_n\text{)}$, une limite réelle L déjà établie satisfait $\text{L=f(L)}$ lorsque f est continue au point L. Cette équation donne des candidats, mais ne prouve pas l’existence d’une limite. Une récurrence peut posséder un point fixe et produire des trajectoires qui s’en éloignent.

Dans $u_{\mathrm{n+1}}\text{=0,8}{u}_n\text{+4}$ avec $u_0\text{=3}$, l’écart au point fixe 20 vaut $\text{−17×}{\text{(0,8)}}^{\mathrm{n}}$. Sa valeur absolue est $\text{17×}{\text{(0,8)}}^{\mathrm{n}}$. La limite géométrique prouve la convergence et garantit qu’une tolérance positive sera atteinte à un certain rang.

Chercher le premier rang où $\text{|}{u}_n\text{−20|≤0,1}$ revient donc à chercher le premier n tel que $\text{17×}{\text{(0,8)}}^{\mathrm{n}}\text{≤0,1}$. Une boucle part de $\text{n=0}$, contrôle l’écart, puis avance tant qu’il dépasse la tolérance. Ici l’écart décroît strictement : vérifier le rang trouvé et le précédent établit le caractère premier.

Un calcul limité à un nombre de pas peut s’arrêter avant d’avoir trouvé le seuil. Il ne doit pas annoncer qu’aucun rang n’existe. Le théorème ou la formule justifie l’existence ; l’algorithme détermine un rang pour les données choisies, avec un contrôle des arrondis lorsque la comparaison est proche d’une égalité.