Prouver le comportement d'une suite

Une formule explicite donne directement $u_n$ ; une récurrence exige une valeur initiale et une règle qui permet de passer d'un rang au suivant. L'ensemble des indices fait partie de la définition.

Pour $u_0\text{=3}$ et $u_{\mathrm{n+1}}\text{=0,8}{u}_n\text{+4}$, calcule $u_1$ puis $u_2$ sans remplacer $u_n$ par n.

Écris d'abord le rang calculé, applique la relation une seule fois, puis contrôle l'ordre de grandeur.

Le signe de $u_{\mathrm{n+1}}\text{−}{u}_n$ prouve souvent la monotonie. Pour une suite récurrente, une propriété de borne se démontre fréquemment par récurrence avant d'être utilisée dans le signe de la différence.

Si $u_{\mathrm{n+1}}\text{=0,8}{u}_n\text{+4}$, alors $u_{\mathrm{n+1}}\text{−}{u}_n\text{=0,2(20−}{u}_n\text{)}$. La croissance dépend donc de la preuve que $u_n\text{≤20}$.

Sépare la preuve de la borne et l'étude de la différence ; ne suppose pas ce que tu veux conclure.

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Le théorème garantit l'existence d'une limite mais n'en donne pas automatiquement la valeur.

Une suite croissante et majorée par 20 converge vers un réel $\text{ℓ≤20}$. Il reste à exploiter la relation de récurrence si son passage à la limite est justifié.

Cite les deux hypothèses, conclus « converge », puis seulement cherche la limite.

La limite de $q^{\mathrm{n}}$ dépend de q : elle vaut 0 si , vaut 1 si $\text{q=1}$, diverge vers +∞ si $\text{q>1}$ et n'a pas de limite pour $\text{q≤−1}$. Un facteur constant multiplie cette limite lorsqu'il est fini.

La suite $\text{5×0,}{7}^{\mathrm{n}}$ tend vers 0, tandis que ${\text{(−1,1)}}^{\mathrm{n}}$ alterne de signe avec une amplitude croissante.

Identifie q, traite son intervalle exact, puis prends en compte le coefficient et les autres termes.

Un encadrement par deux suites de même limite permet d'utiliser le théorème des gendarmes. Une minoration par une suite tendant vers +∞ peut prouver une divergence vers +∞.

Si $\frac{\text{0≤}{u}_n\text{≤3}}{n}$ pour $\text{n≥1}$, alors $u_n\text{→0}$. Les trois expressions doivent être comparées à partir d'un rang précis.

Écris l'encadrement, les deux limites extérieures et la conclusion avec le nom du théorème.

Si $u_{\mathrm{n+1}}\text{=f(}{u}_n\text{)}$ et $u_n$ converge vers ℓ, la continuité de f permet d'obtenir $\text{ℓ=f(ℓ)}$. Cette équation fournit des limites candidates ; monotonie, bornes ou unicité sélectionnent la bonne.

Pour $u_{\mathrm{n+1}}\text{=0,8}{u}_n\text{+4}$, l'équation $\text{ℓ=0,8ℓ+4}$ donne $\text{ℓ=20}$. Un algorithme peut ensuite chercher le premier rang où .

Prouve d'abord la convergence, résous l'équation du point fixe, puis justifie l'arrêt de la boucle.