Fonction logarithme

Ce que tu vas savoir faire

• Définir le vocabulaire essentiel du chapitre.
• Identifier une idée directrice dans un document ou une démonstration.
• Justifier une réponse par des éléments précis.
• Distinguer une affirmation, son explication et ses limites.
• Organiser une réponse courte et rigoureuse.
• Réviser à l’aide de questions et de cartes de mémorisation.

Avant de commencer

• Relire les définitions déjà rencontrées dans le parcours de Terminale.
• Prévoir un support pour reformuler les idées importantes.

Exponentielle et logarithme népérien

Le logarithme népérien, noté \ln , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base e . Pour tout x > 0 , \ln(x) est le nombre y tel que e^y = x . Cette définition implique immédiatement que \ln(e^x) = x pour tout x et que e^{\ln(x)} = x pour tout x > 0 .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre exponentielle et logarithme népérien ?

Propriétés algébriques

\ln(1) = 0 car e^0 = 1 . \ln(e) = 1 car e^1 = e . \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) pour tous x, y > 0 grâce à la propriété de l'exponentielle e^{a+b} = e^a \cdot e^b . \ln(x^n) = n\ln(x) pour tout n réel et x > 0 .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre propriétés algébriques ?

Fonction dérivée et variations

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0, +\infty[ et sa dérivée est \frac{1}{x} . Cette dérivabilité assure la continuité de la fonction sur son domaine de définition. De la dérivée, on déduit que le logarithme népérien est une fonction croissante sur ]0, +\infty[ , puisque \frac{1}{x} > 0 pour tout x > 0 .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre fonction dérivée et variations ?

Limites et croissance comparée

\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty . Le logarithme népérien croît indéfiniment vers la négative lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures. \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty , mais moins rapidement que toute puissance de x , c’est-à-dire pour tout n > 0 , \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre limites et croissance comparée ?

Théorème des valeurs intermédiaires

Le logarithme népérien étant continu et strictement croissant sur ]0, +\infty[ , il vérifie le théorème des valeurs intermédiaires : pour tout intervalle [a, b] avec 0

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre théorème des valeurs intermédiaires ?

Démonstration

La dérivabilité de \ln(x) découle de la dérivation de sa fonction réciproque, l’exponentielle, et du fait que la dérivée de l’exponentielle ne s’annule jamais. Ainsi, on obtient \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} par le calcul direct ou l'application du théorème de dérivation des fonctions réciproques. La limite de \ln(x) lorsque x tend vers 0 se trouve par la considération de l'aire sous l'hyperbole y = 1/x de 1 à x , qui tend vers l'infini.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre démonstration ?

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

• Le logarithme népérien, noté \ln , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base e . Pour tout x > 0 , \ln(x) est le nombre y tel que e^y = x . Cette définition implique immédiatement que \ln(e^x) = x pour tout x et que e^{\ln(x)} = x pour tout x > 0 .
• \ln(1) = 0 car e^0 = 1 . \ln(e) = 1 car e^1 = e . \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) pour tous x, y > 0 grâce à la propriété de l'exponentielle e^{a+b} = e^a \cdot e^b . \ln(x^n) = n\ln(x) pour tout n réel et x > 0 .
• La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0, +\infty[ et sa dérivée est \frac{1}{x} . Cette dérivabilité assure la continuité de la fonction sur son domaine de définition. De la dérivée, on déduit que le logarithme népérien est une fonction croissante sur ]0, +\infty[ , puisque \frac{1}{x} > 0 pour tout x > 0 .
• \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty . Le logarithme népérien croît indéfiniment vers la négative lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures. \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty , mais moins rapidement que toute puissance de x , c’est-à-dire pour tout n > 0 , \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 .
• Le logarithme népérien étant continu et strictement croissant sur ]0, +\infty[ , il vérifie le théorème des valeurs intermédiaires : pour tout intervalle [a, b] avec 0
• La dérivabilité de \ln(x) découle de la dérivation de sa fonction réciproque, l’exponentielle, et du fait que la dérivée de l’exponentielle ne s’annule jamais. Ainsi, on obtient \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} par le calcul direct ou l'application du théorème de dérivation des fonctions réciproques. La limite de \ln(x) lorsque x tend vers 0 se trouve par la considération de l'aire sous l'hyperbole y = 1/x de 1 à x , qui tend vers l'infini.

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Sources et traçabilité

Dernière vérification : 2026-08-09

1. Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale, Ministère de l'Éducation nationale — consulté le 2026-08-09.