Transformer un produit en somme sans oublier le domaine

Pour $\text{x>0}$, ln x est l'unique réel y tel que $\text{eʸ=x}$. Ainsi $\text{ln(eˣ)=x}$ pour tout réel x et e^(ln $\text{x)=x}$ seulement pour $\text{x>0}$.

ln $\text{1=0}$ et ln $\text{e=1}$. L'expression $\text{ln(−2)}$ n'est pas définie dans R.

Avant tout calcul, écris la condition portant sur l'argument du logarithme.

Pour $\text{a>0}$ et $\text{b>0}$, $\text{ln(ab)=ln}$ $\text{a+ln}$ b et $\text{ln(}\frac{a}{b}\text{)=ln}$ $\text{a−ln}$ b. Pour tout réel n lorsque l'expression est définie, $\text{ln(}{a}^{\mathrm{n}}\text{)=n}$ ln a.

$\text{ln(12)=ln(3×4)=ln}$ $\text{3+ln}$ 4, mais $\text{ln(a+b)}$ ne se sépare pas.

Repère la structure produit, quotient ou puissance ; ne distribue jamais ln sur une somme.

Sur $\text{]0,+∞[}$, la dérivée de ln x vaut $\frac{1}{x}$ ; elle est positive, donc ln est strictement croissante. Pour ln(u(x)), la dérivée vaut u'(x)/u(x) là où $\text{u>0}$.

La dérivée de $\text{ln(2x+3)}$ est $\text{2/(2x+3)}$ sur $\text{x>−}\frac{3}{2}$.

Détermine d'abord le domaine $\text{u>0}$, puis applique la formule de composition.

La stricte croissance de ln permet de comparer les arguments positifs : ln $\text{u=ln}$ v équivaut à $\text{u=v}$, et ln $\text{u≤ln}$ v équivaut à $\text{u≤v}$ sous les conditions $\text{u>0}$ et $\text{v>0}$.

$\text{ln(x−1)=ln}$ 3 donne $\text{x=4}$, après avoir imposé $\text{x>1}$.

Pose le domaine, simplifie avec les propriétés, résous, puis vérifie chaque solution dans le domaine initial.

ln x tend vers −∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives et vers +∞ quand x tend vers +∞. Sa croissance est plus lente que toute puissance positive de x.

ln $\frac{x}{x}$ tend vers 0 en +∞, tandis que x ln x tend vers 0 quand x tend vers $0^{\mathrm{+}}$.

Ramène l'expression à une limite de référence ou effectue le changement de variable adapté.

Un logarithme convertit un rapport multiplicatif en écart additif. Les échelles logarithmiques servent donc à comparer des ordres de grandeur, à condition d'annoncer la base et la grandeur de référence.

Dans un modèle $\text{N(t)=}{N}_0\text{e^(kt)}$, le temps pour atteindre une valeur N s'écrit $\text{t=ln(}\frac{N}{N_0}\text{)/k}$ lorsque les quantités sont positives et $\text{k≠0}$.

Isole l'exponentielle, applique ln aux deux membres, puis interprète le signe et l'unité de k.