Continuité des fonctions d’une variable réelle

Ce que tu vas savoir faire

• Définir le vocabulaire essentiel du chapitre.
• Identifier une idée directrice dans un document ou une démonstration.
• Justifier une réponse par des éléments précis.
• Distinguer une affirmation, son explication et ses limites.
• Organiser une réponse courte et rigoureuse.
• Réviser à l’aide de questions et de cartes de mémorisation.

Avant de commencer

• Relire les définitions déjà rencontrées dans le parcours de Terminale.
• Prévoir un support pour reformuler les idées importantes.

Fonction continue en un point

Une fonction f est continue en un point c de son domaine si trois conditions sont remplies : f(c) est défini. La limite de f(x) lorsque x tend vers c existe. La limite de f(x) lorsque x tend vers c est égale à f(c) . Cela s'écrit formellement : \lim_{x \to c} f(x) = f(c) . Exemple : La fonction f(x) = x^2 est continue en tout point de \mathbb{R} parce que la limite de f(x) lorsque x tend vers n'importe quel point c est toujours c^2 , qui est la valeur de f en c .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre fonction continue en un point ?

Fonction dérivable et continuité

Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. En effet, la dérivabilité implique l'existence de la limite de la pente des sécantes qui se rapprochent de la tangente en un point, ce qui est une condition plus forte que la simple continuité. Exemple : Si une fonction g a une dérivée g'(x) en tout point d'un intervalle I , alors g est continue sur I .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre fonction dérivable et continuité ?

Théorème des valeurs intermédiaires

Ce théorème établit qu'une fonction continue f , sur un intervalle [a, b] , prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b) . Cela signifie que si f(a) est différent de f(b) et que k est une valeur entre f(a) et f(b) , il existe alors un c dans [a, b] tel que f(c) = k . Exemple : Si f(x) = x^3 avec a = -1 et b = 1 , alors f(a) = -1 et f(b) = 1 . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout k entre -1 et 1, il existe un c tel que f(c) = k .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre théorème des valeurs intermédiaires ?

Capacités attendues

Étudier les solutions d'une équation Pour résoudre une équation f(x) = k , où f est une fonction continue et k est une valeur donnée, on cherche les points où la courbe de f coupe la ligne horizontale y = k . L'existence et l'unicité des solutions peuvent être évaluées grâce à des théorèmes comme celui des valeurs intermédiaires et le théorème de Bolzano. Exemple : Pour déterminer si l'équation f(x) = x^2 - 2 = 0 a des solutions, on peut remarquer que f(1) = -1 et f(2) = 2 . Puisque f est continue sur [1, 2] et change de signe entre f(1) et f(2) , il existe un c dans [1, 2] tel que f(c) = 0 . Pour une fonction continue définie par récurrence Certaines fonctions sont définies par une relation de récurrence, u_{n+1} = f(u_n) , où chaque terme de la suite (u_n) est dérivé de son prédécesseur par l'application de la fonction f .…

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre capacités attendues ?

Repère 5

Continuité des fonctions d’une variable réelle Continuité des fonctions d’une variable réelle La continuité est une propriété fondamentale des fonctions en analyse réelle.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre repère 5 ?

Repère 6

Une fonction est dite continue en un point si elle ne présente pas de "saut", de "trou" ou de "pic" en ce point.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre repère 6 ?

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

• Une fonction f est continue en un point c de son domaine si trois conditions sont remplies : f(c) est défini. La limite de f(x) lorsque x tend vers c existe. La limite de f(x) lorsque x tend vers c est égale à f(c) . Cela s'écrit formellement : \lim_{x \to c} f(x) = f(c) . Exemple : La fonction f(x) = x^2 est continue en tout point de \mathbb{R} parce que la limite de f(x) lorsque x tend vers n'importe quel point c est toujours c^2 , qui est la valeur de f en c .
• Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. En effet, la dérivabilité implique l'existence de la limite de la pente des sécantes qui se rapprochent de la tangente en un point, ce qui est une condition plus forte que la simple continuité. Exemple : Si une fonction g a une dérivée g'(x) en tout point d'un intervalle I , alors g est continue sur I .
• Ce théorème établit qu'une fonction continue f , sur un intervalle [a, b] , prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b) . Cela signifie que si f(a) est différent de f(b) et que k est une valeur entre f(a) et f(b) , il existe alors un c dans [a, b] tel que f(c) = k . Exemple : Si f(x) = x^3 avec a = -1 et b = 1 , alors f(a) = -1 et f(b) = 1 . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout k entre -1 et 1, il existe un c tel que f(c) = k .
• Étudier les solutions d'une équation Pour résoudre une équation f(x) = k , où f est une fonction continue et k est une valeur donnée, on cherche les points où la courbe de f coupe la ligne horizontale y = k . L'existence et l'unicité des solutions peuvent être évaluées grâce à des théorèmes comme celui des valeurs intermédiaires et le théorème de Bolzano. Exemple : Pour déterminer si l'équation f(x) = x^2 - 2 = 0 a des solutions, on peut remarquer que f(1) = -1 et f(2) = 2 . Puisque f est continue sur [1, 2] et change de signe entre f(1) et f(2) , il existe un c dans [1, 2] tel que f(c) = 0 . Pour une fonction continue définie par récurrence Certaines fonctions sont définies par une relation de récurrence, u_{n+1} = f(u_n) , où chaque terme de la suite (u_n) est dérivé de son prédécesseur par l'application de la fonction f .…
• Continuité des fonctions d’une variable réelle Continuité des fonctions d’une variable réelle La continuité est une propriété fondamentale des fonctions en analyse réelle.
• Une fonction est dite continue en un point si elle ne présente pas de "saut", de "trou" ou de "pic" en ce point.

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Sources et traçabilité

Dernière vérification : 2026-08-09

1. Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale, Ministère de l'Éducation nationale — consulté le 2026-08-09.