Transformer une courbe sans rupture en preuve d'existence

Une fonction est continue en a lorsque $\text{f(x)}$ tend vers $\text{f(a)}$ quand x tend vers a. Sur un intervalle, cette propriété exclut les sauts et permet de suivre toutes les valeurs intermédiaires.

La fonction valeur absolue est continue en 0 bien qu'elle n'y soit pas dérivable.

Distingue la valeur $\text{f(a)}$, la limite en a et l'existence éventuelle d'une dérivée.

Somme, produit et composition de fonctions continues restent continus sur les domaines où les opérations sont définies. Un quotient exige un dénominateur non nul.

La fonction $\text{x↦ln(1+}{x}^2\text{)}$ est continue sur R car $\text{x↦1+}{x}^2$ est continue et strictement positive.

Décompose l'expression, indique le domaine de chaque brique, puis applique les propriétés.

Si f est continue sur [a,b], toute valeur k comprise entre $\text{f(a)}$ et $\text{f(b)}$ possède au moins un antécédent dans [a,b]. Le théorème affirme une existence, pas une formule.

Si et $\text{f(2)>0}$ avec f continue sur [1,2], l'équation $\text{f(x)=0}$ a au moins une solution dans [1,2].

Cite continuité, intervalle et encadrement de k, puis conclus avec l'existence d'un antécédent.

Si f est continue et strictement monotone sur [a,b], chaque valeur comprise entre $\text{f(a)}$ et $\text{f(b)}$ est atteinte une seule fois. L'existence vient du TVI ; l'unicité vient de l'injectivité liée à la monotonie stricte.

Une fonction strictement croissante qui passe d'une valeur négative à une valeur positive coupe l'axe une seule fois.

Sépare clairement les deux preuves : existence, puis unicité.

La dichotomie coupe un intervalle en deux et conserve le sous-intervalle où le changement de signe subsiste. Après n étapes, la largeur est divisée par $2^{\mathrm{n}}$.

Depuis [1,2], dix étapes donnent un intervalle de largeur $\frac{1}{1024}$, inférieure à 0,001.

Calcule le milieu, évalue son signe, conserve le bon demi-intervalle et arrête selon une largeur fixée.

Dérivabilité implique continuité, mais la réciproque est fausse. Une limite peut exister en un point où la fonction n'est pas définie ; une fonction peut aussi être continue par morceaux sans l'être sur tout l'intervalle.

La fonction $\text{(}{x}^2\text{−1)/(x−1)}$ a pour limite 2 en 1 mais n'est pas définie en 1 avant prolongement.

Pour chaque question, demande si l'on parle de valeur, limite, continuité ou dérivée.