MaxdecoursPremière et Terminale · Spécialité mathématiques · Catégorie du laboratoire
Change la règle d’évolution, avance de rang en rang et confronte les points aux calculs. Explore cinq enquêtes et deux projets, puis compare tes versions dans le carnet commun.
Pars de 3 et applique « multiplier par 0,8 puis ajouter 4 ». Les deux termes suivants sont 6,4 et 9,12. Ils ne sont ni les rangs 1 et 2, ni les résultats d’un ajout constant. Le volume qui resterait inchangé vaut 20 ; l’écart à 20 est multiplié par 0,8 à chaque pas.
Calcule un terme depuis le rang zéro et compte les termes sans oublier le premier.
Le rang nomme une position. Si chaque pas ajoute r, n pas donnent uₙ = u₀ + nr. La liste des indices 0, 1, …, n contient n + 1 éléments ; commencer au rang 1 modifierait le nombre de pas.
Retrouver la démonstration dans le coursApplique la récurrence à la valeur précédente, puis confronte-la à une formule explicite.
Pour q ≠ 1, le point fixe L = r/(1 − q) vérifie L = qL + r. Soustraire donne uₙ₊₁ − L = q(uₙ − L). La suite des écarts est géométrique, donc uₙ = L + qⁿ(u₀ − L). Si q = 1, la suite est arithmétique et uₙ = u₀ + nr.
Retrouver la démonstration dans le coursDistingue alternance des signes, amplitude et limite en faisant varier une raison négative.
Avec u₀ positif et q = −0,5, uₙ = u₀(−0,5)ⁿ alterne de signe : la suite n’est pas monotone. Sa valeur absolue vaut u₀×0,5ⁿ et tend vers zéro. Elle converge donc vers zéro. Le dessin suggère cette conclusion ; la formule des termes et la limite géométrique la justifient.
Retrouver la démonstration dans le coursRelie les bornes de la somme, le nombre de termes et la formule adaptée à la règle.
Une somme arithmétique de u₀ à uₙ contient n + 1 termes et vaut (n + 1)(u₀ + uₙ)/2. Pour une suite géométrique de raison q ≠ 1, elle vaut u₀(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Lorsque q = 1, cette fraction est interdite ; la somme vaut (n + 1)u₀.
Retrouver la démonstration dans le coursTrouve un rang de franchissement et contrôle le précédent, en distinguant > et ≥.
Pour une suite croissante, un premier dépassement strict au rang N > 0 exige que le terme au rang N dépasse M et que celui au rang N − 1 ne le dépasse pas. Si le terme initial dépasse déjà M, N = 0. Un algorithme borné qui ne trouve rien dit seulement qu’aucun rang de sa fenêtre ne convient.
Retrouver la démonstration dans le coursTraduis une perte proportionnelle suivie d’un apport fixe, identifie l’équilibre et cherche un rang de proximité.
Pour uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 4, le point fixe vaut 20. La formule uₙ − 20 = 0,8ⁿ(u₀ − 20) prouve la convergence, car 0,8ⁿ tend vers zéro. Elle justifie aussi la décroissance de l’écart absolu et l’existence d’un rang de proximité pour toute tolérance positive.
Retrouver la démonstration dans le coursCompare une quantité ajoutée constante et un taux constant qui donnent la même première hausse.
Pour un départ a > 0 et un ajout b > 0, les modèles a + nb et a(1 + b/a)ⁿ coïncident aux rangs 0 et 1. Au rang 2, le modèle multiplicatif vaut a + 2b + b²/a, donc diffère déjà du modèle additif. Deux premières valeurs ne permettent pas d’identifier une règle unique.
Retrouver la démonstration dans le coursActive JavaScript pour manipuler les paramètres, confronter tes réponses et garder des versions.
Retrouver une recherche
Garde un état, essaie une autre règle, puis reprends ou compare. Les recherches restent dans ce navigateur. Le carnet commun réunit les catégories et permet leur export/import.
Du fini à la conclusion
La suite associe un terme à chaque rang entier. Le nuage de points ne définit aucune valeur entre deux rangs. La construction par récurrence représente un autre registre : elle passe de la valeur précédente à la suivante.
Résoudre L = qL + r donne un état qui ne change plus. Pour un départ différent, il faut encore étudier l’écart : uₙ − L = qⁿ(u₀ − L). Une raison négative peut faire alterner les termes ; une amplitude croissante empêche leur convergence.
Une enquête avance en trois temps : calculer, choisir une justification, puis traiter un nouveau cas sans le graphique. Le carnet conserve les réponses et les versions sur cet appareil ; ces traces ne remplacent pas une démonstration rédigée.
L’atelier étudie les récurrences affines uₙ₊₁ = quₙ + r à partir de u₀, avec des paramètres à deux décimales. Les points montrent jusqu’à 60 pas ; la recherche de seuil est limitée à 120 pas et les valeurs calculées à une valeur absolue de 10¹². Un arrêt numérique n’est pas une preuve de divergence ou d’absence de seuil. Les valeurs affichées sont approchées ; les comparaisons de seuil utilisent les paramètres décimaux exacts.
Dernière vérification : 2026-10-03 · Responsabilité éditoriale : Maxdecours.