Maxdecours
Première · Spécialité mathématiques · Catégorie du laboratoire
Déplace un point, rapproche une sécante, construis une tangente et relie la dérivée aux variations. Mène cinq enquêtes, puis reprends deux projets dans ton carnet.
Les enquêtes et projets sont présentés ci-dessous. Active JavaScript pour manipuler les fonctions et garder des versions dans le carnet.
Un exemple : pour f(x) = x³ − 3x, la dérivée est f′(x) = 3(x − 1)(x + 1). Son signe donne un maximum local en −1 et un minimum local en 1. Pour f(x) = x³, la dérivée s’annule en zéro sans changement de sens : une tangente horizontale n’est pas toujours un extremum.
Calcule une pente moyenne, puis compare-la au nombre dérivé lorsque les deux points se rapprochent.
Pour f(x) = b x² + d et h non nul, le taux de variation vaut b(2x + h). Lorsque h se rapproche de zéro, ce taux se rapproche de 2b x. Un calcul pour un seul pas ne prouve pas encore une limite.
Étudier cette notion dans le coursConstruis une droite de la bonne pente qui passe par le bon point, puis vérifie les deux conditions.
La tangente a pour équation y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Le point et la pente déterminent cette droite. Elle peut traverser la courbe, comme la tangente au cube en zéro.
Étudier cette notion dans le coursPrévois une valeur proche par la tangente, puis mesure l'erreur au lieu de confondre approximation et égalité.
Pour le carré multiplié par b, le développement exact contient un terme supplémentaire b h². La tangente l'écarte : l'erreur absolue vaut |b| h². Cette formule ne s'étend pas sans preuve à toutes les fonctions.
Étudier cette notion dans le coursRepère les points stationnaires et justifie leur rôle par le signe de la dérivée.
Un passage de f′ de + à − donne une montée puis une descente : un maximum local. Un passage de − à + donne un minimum local. Il faut étudier les intervalles, pas seulement constater f′ = 0.
Étudier cette notion dans le coursConstruis un cube dont la tangente est horizontale mais qui continue de varier dans le même sens.
Pour f(x) = a x³ + d avec a non nul, f′(0) = 0, mais les valeurs de part et d'autre de zéro se placent de part et d'autre de d. Zéro n'est pas un extremum. Un seul contre-exemple suffit à réfuter l'affirmation universelle.
Étudier cette notion dans le coursDans une feuille rectangulaire, découpe quatre carrés de côté x et relève les bords. Construis le modèle, choisis une découpe admissible et compare une autre feuille.
Pour une feuille de longueur L et de largeur l, le volume vaut x(L − 2x)(l − 2x). Une véritable boîte exige 0 < x < min(L,l)/2. Le modèle prolongé aux bornes donne un volume nul. Comparer les candidats et ces bornes justifie l'optimum intérieur.
Étudier cette notion dans le coursPrévois une étape, fais avancer les tangentes, contrôle le résidu et mets la méthode à l'épreuve d'un départ qui échoue.
La prochaine abscisse est x − f(x)/f′(x), si la dérivée est non nulle. Le domaine, le résidu, la zone de travail et le nombre d'étapes sont contrôlés. Un résidu petit n'est pas une borne générale sur l'erreur d'abscisse.
Étudier cette notion dans le coursRetrouver une recherche
Reprends une étape ou compare deux fonctions. Le carnet commun réunit tes recherches des différentes catégories. L’export les transporte ensemble ; la sauvegarde reste sur cet appareil.
Relier les représentations
La courbe de f indique des valeurs ; celle de f′ indique des pentes. Un point où f′ s'annule n'est pas nécessairement un point où f s'annule, ni un extremum.
L'inverse translatée n'existe pas au point de coupure. La racine translatée ne se dérive ici qu'à l'intérieur de son domaine. Une flèche de variation ne traverse jamais une valeur interdite.
Garde une configuration, essaie autre chose, puis compare. Le carnet réunit tes essais de fonctions et de second degré sur cet appareil. L'export permet de les transporter ; un lien partagé transmet seulement une configuration.
Les fonctions et leurs dérivées sont calculées à partir des expressions annoncées. La courbe est un tracé numérique dans une fenêtre bornée ; les nombres affichés peuvent être approchés. La justification algébrique et le domaine permettent de conclure au-delà du dessin.
Revenir aux démonstrations
Étudie les exemples résolus, vérifie les conditions et retrouve les justifications dans les deux cours de Première.
Dernière vérification : 2026-10-03 · Responsabilité éditoriale : Maxdecours.