Comparer les modèles d’évolution discrets et continus

Une suite $\text{u(n)}$ convient lorsque la grandeur est observée par étapes : années, remboursements, générations ou doses. Une fonction $\text{y(t)}$ convient lorsque le temps est traité comme continu. Le même phénomène peut recevoir deux modèles, mais ils ne donnent pas exactement le même sens entre deux observations.

Le pas de temps fait partie des hypothèses. Passer d’un taux annuel à un taux mensuel en divisant simplement par douze n’est exact que pour certains modèles ; le taux équivalent se calcule en conservant le même facteur global.

Pour $\text{u(n+1)=au(n)+b}$ avec $\text{a≠1}$, un point fixe ℓ vérifie $\text{ℓ=aℓ+b}$. Poser $\text{v(n)=u(n)−ℓ}$ transforme la relation en $\text{v(n+1)=av(n)}$, donc en suite géométrique. Cette méthode donne une formule explicite et permet d’étudier la limite.

Un point fixe est une valeur stable si elle est atteinte. Il n’est la limite que sous des conditions supplémentaires, notamment pour la récurrence affine étudiée. Contrôle le résultat en recalculant $\text{u(1)}$ avec la formule explicite puis avec la récurrence initiale.

L’équation $\text{y'=ay+b}$ relie la vitesse de variation à l’état présent. Une solution d’équilibre vérifie $\text{0=ay+b}$. En décalant par cette valeur, on ramène l’équation à $\text{z'=az}$, dont les solutions sont des exponentielles.

La constante de la solution se détermine avec la condition initiale. L’unité de a dépend du temps choisi : si t est en heures, a s’exprime en $h^{\mathrm{-1}}$. Une solution exacte reste un modèle soumis aux hypothèses du mécanisme.

Un seuil discret demande le premier rang entier satisfaisant une condition. Un seuil continu peut être un instant réel. L’arrondi n’a donc pas le même sens : pour dépasser une valeur au rang n, on choisit souvent l’entier supérieur.

La méthode d’Euler remplace localement la courbe par sa tangente : $\text{y(t+h)≈y(t)+h}$ f(t,y(t)). Réduire le pas améliore généralement l’approximation, sans transformer le calcul en preuve exacte.