Un quotient et un reste contraints
Retrouve la division euclidienne, notamment pour un dividende négatif.
Pour a entier et b entier positif, il existe un unique couple q,r tel que a=bq+r et 0≤r<b.
Retrouver la justification dans le coursSeconde · Terminale, mathématiques expertes · Catégorie du laboratoire
Arithmétique
Comment transformer une divisibilité en algorithme et en preuve ?
Les questions à explorer
Le PGCD ne change pas
Suis les divisions successives et retrouve PGCD et PPCM.
La division a=bq+r donne les mêmes diviseurs communs pour (a,b) et (b,r). Le dernier reste non nul est le PGCD ; pour a,b non nuls, PPCM=|ab|/PGCD.
Retrouver la justification dans le coursUn certificat de PGCD
Produis deux coefficients puis vérifie l’identité de Bézout.
L’algorithme d’Euclide étendu construit u,v tels que au+bv=PGCD(a,b). Cette égalité fournit un certificat, pas une devinette.
Retrouver la justification dans le coursTester jusqu’à quelle borne ?
Cherche les diviseurs premiers d’un entier et explique la borne √N.
Si N≥2 est composé, il possède un diviseur premier ≤√N. Tester cette borne suffit à établir la primalité.
Retrouver la justification dans le coursUne hypothèse de primalité
Calcule une puissance modulo un nombre premier et retrouve un inverse.
Pour p premier et p ne divisant pas a, a^(p−1)≡1 mod p et a^(p−2) est un inverse de a modulo p.
Retrouver la justification dans le coursQuand une équation entière est possible
Teste la divisibilité du second membre par le PGCD avant de chercher une solution.
ax+by=c admet une solution entière exactement lorsque PGCD(a,b) divise c. Multiplier un certificat de Bézout donne une solution particulière.
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Calculs entiers bornés ; restes euclidiens positifs. Les exemples de chiffrement servent aux congruences, pas à sécuriser des données. Fermat est appliqué à des nombres premiers vérifiés.
Sources et traçabilité
Dernière vérification : 2026-10-04 · Responsabilité éditoriale : Maxdecours.
- Seconde générale et technologique, programme 2026, Ministère de l’Éducation nationale, consulté le 2026-10-04.
- Terminale, mathématiques expertes, programme 2019, Ministère de l’Éducation nationale, consulté le 2026-10-04.