Lire la forme d'une courbe avec ses dérivées

Pour $\text{f(x)=g(u(x))}$, la dérivée est $\text{f'(x)=u'(x)g'(u(x))}$ lorsque les fonctions sont dérivables. Le facteur $\text{u'}$ traduit la variation de la fonction intérieure.

Pour $\text{f(x)=e^(3x−2)}$, on obtient $\text{f'(x)=3e^(3x−2)}$, et non $\text{e^(3x−2)}$.

Entoure la fonction intérieure, dérive l'extérieure en la conservant, puis multiplie par la dérivée intérieure.

Sur un intervalle, $\text{f'≥0}$ implique que f est croissante et $\text{f'≤0}$ qu'elle est décroissante. Les zéros de $\text{f'}$ sont des points à examiner, pas automatiquement des extrema.

Si $\text{f'}$ change de + à − en a, f admet un maximum local en a. Sans changement de signe, la tangente peut être horizontale sans extremum.

Factorise $\text{f'}$, dresse son signe sur le domaine, puis traduis chaque intervalle en variation.

Une fonction deux fois dérivable est convexe là où $\text{f''≥0}$ et concave là où $\text{f''≤0}$. Cela signifie que les pentes $\text{f'}$ augmentent ou diminuent.

Pour $\text{f(x)=}{x}^3$, $\text{f''(x)=6x}$ : la fonction est concave sur $\text{]−∞,0]}$ puis convexe sur $\text{[0,+∞[}$.

Calcule $\text{f''}$, étudie son signe sur le domaine et nomme les intervalles avec leurs bornes.

Un point d'inflexion correspond à un changement de convexité. Lorsque $\text{f''}$ existe, un zéro de $\text{f''}$ n'est qu'un candidat : il faut vérifier le changement de signe.

Pour $\text{f(x)=}{x}^4$, $\text{f''(0)=0}$ mais $\text{f''(x)=12}{x}^2$ reste positive : l'origine n'est pas un point d'inflexion.

Dresse le signe de $\text{f''}$ de part et d'autre du candidat avant de conclure.

Sur un intervalle de convexité, la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes. Pour une fonction concave, elle est au-dessous.

L'inégalité $\text{eˣ≥1+x}$ vient de la convexité de l'exponentielle et de sa tangente en 0.

Écris l'équation de la tangente au point choisi, puis utilise le sens de la convexité pour placer la courbe.

Optimiser consiste à traduire une situation par une fonction d'une variable sur un domaine contraint, puis à comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes.

Pour maximiser une aire avec une longueur totale fixée, exprime toutes les dimensions avec une seule variable avant de dériver.

Définis la variable et son intervalle, construis la fonction objectif, étudie ses variations, puis interprète l'extremum avec son unité.