Limites des fonctions

Ce que tu vas savoir faire

• Définir le vocabulaire essentiel du chapitre.
• Identifier une idée directrice dans un document ou une démonstration.
• Justifier une réponse par des éléments précis.
• Distinguer une affirmation, son explication et ses limites.
• Organiser une réponse courte et rigoureuse.
• Réviser à l’aide de questions et de cartes de mémorisation.

Avant de commencer

• Relire les définitions déjà rencontrées dans le parcours de Terminale.
• Prévoir un support pour reformuler les idées importantes.

Comprendre les limites

Pour aborder les limites, il est essentiel de comprendre ce qu'elles représentent : Limite finie en un point : Lorsqu'on dit que \lim_{x \to a} f(x) = L , on signifie que lorsque x se rapproche de a , f(x) se rapproche de la valeur L . Limite à l'infini : Si \lim_{x \to \infty} f(x) = L , cela indique que lorsque x devient très grand, f(x) tend vers L . Limite infinie en un point : L'expression \lim_{x \to a} f(x) = \infty signifie que f(x) augmente sans borne à l'approche de x de a .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre comprendre les limites ?

Opérations sur les limites

Voici comment on les traite : Addition et soustraction : Pour additionner ou soustraire deux limites, on additionne ou soustrait les valeurs des limites, à condition qu'elles existent. Multiplication : On multiplie les limites entre elles. Si l'une des limites est infinie et l'autre non nulle, la limite du produit sera infinie. Division : On divise les valeurs des limites, en veillant à ce que la limite du dénominateur ne soit pas nulle. Composition : Lorsque des fonctions sont composées, la limite de la composition est le résultat de l'application des limites dans l'ordre approprié.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre opérations sur les limites ?

Limite d'une fonction composée

Considérons une fonction u(x) et une fonction v(x) telles que \lim_{x \to a} u(x) = b et \lim_{u \to b} v(u) = L . Si v(u) est continue en b , alors \lim_{x \to a} v(u(x)) = L .

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre limite d'une fonction composée ?

Exemples détaillés

Pour les fonctions de référence étudiées en classe de première, voici comment procéder : Puissances entières : Pour une fonction f(x) = x^n , on observe que \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty si n est positif. On démontre cela en observant que pour tout x > 1 , x^n croît à mesure que n augmente. Racine carrée : La fonction f(x) = \sqrt{x} a pour limite \infty lorsque x tend vers \infty , démontrable par le fait que \sqrt{x} augmente toujours positivement pour x > 0 . Fonction exponentielle : Pour f(x) = e^x , la limite est \infty quand x tend vers \infty , et 0 quand x tend vers -\infty . Cela se prouve en se basant sur la définition de l'exponentielle comme une série infinie et sur ses propriétés de croissance.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre exemples détaillés ?

Démonstration

Théorème : Soit f(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0 un polynôme de degré n . Alors \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty si a_n > 0 . Preuve : Comme x^n est le terme dominant pour x suffisamment grand si a_n > 0 , le comportement de f(x) est principalement déterminé par a_nx^n lorsque x tend vers \infty . Ainsi, f(x) tend vers \infty car x^n l'emporte sur les termes de degré inférieur. ```

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre démonstration ?

Repère 6

```html Limites des fonctions Limites des fonctions La notion de limite est un concept fondamental en mathématiques, particulièrement en calcul différentiel et intégral.

Repère les termes importants, reformule l’idée avec tes mots puis relie-la à la question du chapitre. Ne retiens pas une formule isolée : explique son rôle dans le raisonnement.

Peux-tu définir les notions mobilisées et montrer, en deux ou trois phrases, comment elles permettent de comprendre repère 6 ?

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

• Pour aborder les limites, il est essentiel de comprendre ce qu'elles représentent : Limite finie en un point : Lorsqu'on dit que \lim_{x \to a} f(x) = L , on signifie que lorsque x se rapproche de a , f(x) se rapproche de la valeur L . Limite à l'infini : Si \lim_{x \to \infty} f(x) = L , cela indique que lorsque x devient très grand, f(x) tend vers L . Limite infinie en un point : L'expression \lim_{x \to a} f(x) = \infty signifie que f(x) augmente sans borne à l'approche de x de a .
• Voici comment on les traite : Addition et soustraction : Pour additionner ou soustraire deux limites, on additionne ou soustrait les valeurs des limites, à condition qu'elles existent. Multiplication : On multiplie les limites entre elles. Si l'une des limites est infinie et l'autre non nulle, la limite du produit sera infinie. Division : On divise les valeurs des limites, en veillant à ce que la limite du dénominateur ne soit pas nulle. Composition : Lorsque des fonctions sont composées, la limite de la composition est le résultat de l'application des limites dans l'ordre approprié.
• Considérons une fonction u(x) et une fonction v(x) telles que \lim_{x \to a} u(x) = b et \lim_{u \to b} v(u) = L . Si v(u) est continue en b , alors \lim_{x \to a} v(u(x)) = L .
• Pour les fonctions de référence étudiées en classe de première, voici comment procéder : Puissances entières : Pour une fonction f(x) = x^n , on observe que \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty si n est positif. On démontre cela en observant que pour tout x > 1 , x^n croît à mesure que n augmente. Racine carrée : La fonction f(x) = \sqrt{x} a pour limite \infty lorsque x tend vers \infty , démontrable par le fait que \sqrt{x} augmente toujours positivement pour x > 0 . Fonction exponentielle : Pour f(x) = e^x , la limite est \infty quand x tend vers \infty , et 0 quand x tend vers -\infty . Cela se prouve en se basant sur la définition de l'exponentielle comme une série infinie et sur ses propriétés de croissance.
• Théorème : Soit f(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0 un polynôme de degré n . Alors \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty si a_n > 0 . Preuve : Comme x^n est le terme dominant pour x suffisamment grand si a_n > 0 , le comportement de f(x) est principalement déterminé par a_nx^n lorsque x tend vers \infty . Ainsi, f(x) tend vers \infty car x^n l'emporte sur les termes de degré inférieur. ```
• ```html Limites des fonctions Limites des fonctions La notion de limite est un concept fondamental en mathématiques, particulièrement en calcul différentiel et intégral.

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Sources et traçabilité

Dernière vérification : 2026-08-09

1. Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale, Ministère de l'Éducation nationale — consulté le 2026-08-09.