Décrire un comportement sans remplacer l'infini par un nombre

Dire que $\text{f(x)}$ tend vers L quand x tend vers a signifie que $\text{f(x)}$ peut être rendu aussi proche de L que voulu lorsque x est assez proche de a. Une limite infinie décrit des valeurs qui dépassent tout seuil fixé.

La limite de $\frac{1}{x}$ en 0 dépend du côté : +∞ à droite et −∞ à gauche.

Indique toujours $\text{x→a}$, le côté éventuel et la valeur ou le signe de l'infini.

Les règles de somme, produit et quotient s'appliquent lorsque les limites conduisent à une forme déterminée. Pour un quotient, le signe du dénominateur près du point peut être décisif.

Si $\text{f(x)→3}$ et $\text{g(x)→2}$, alors $\text{f(x)/g(x)}\frac{\text{→3}}{2}$. Si $\text{g(x)→0}$, aucune conclusion ne vient du seul quotient $\frac{3}{0}$ sans étude de signe.

Dresse un tableau des limites de chaque facteur avant d'appliquer une règle.

Les formes ∞−∞, $\text{0×∞}$, $\frac{0}{0}$ et ∞/∞ ne sont pas des résultats. Elles indiquent que les termes concurrents doivent être factorisés, réduits au même dénominateur ou comparés.

Pour $\text{(2}{x}^2\text{+1)/(}{x}^2\text{−3x)}$, divise numérateur et dénominateur par $x^2$ : la limite en +∞ vaut 2.

Repère le terme dominant et transforme l'expression sans changer son domaine près de la limite.

Le théorème des gendarmes traite une fonction encadrée par deux fonctions de même limite. Une minoration par une fonction tendant vers +∞ peut établir une limite infinie.

Comme $\text{−1≤sin}$ $\text{x≤1}$, on a $\text{−}\frac{1}{\text{x≤sin}}$ $\frac{\text{x/x≤1}}{x}$ pour $\text{x>0}$ ; les bornes tendent vers 0 quand $\text{x→+∞}$.

Vérifie le sens des inégalités et le domaine avant de passer aux limites.

Si $\text{f(x)}$ tend vers ℓ quand x tend vers ±∞, la droite $\text{y=ℓ}$ est une asymptote horizontale. Si $\text{f(x)}$ tend vers ±∞ quand x tend vers a, $\text{x=a}$ est une asymptote verticale.

Pour $\text{f(x)=2+}\frac{1}{x}$, $\text{y=2}$ est asymptote horizontale en ±∞ et $\text{x=0}$ est asymptote verticale.

Associe chaque limite à la direction correspondante et étudie $\text{f(x)−ℓ}$ pour la position relative.

À +∞, l'exponentielle domine toute puissance de x, et toute puissance positive domine ln x. Ces résultats s'utilisent après avoir réécrit l'expression dans une forme comparable.

$\frac{x^3}{\text{eˣ}}$ tend vers 0 et ln $\frac{x}{x}$ tend vers 0 quand $\text{x→+∞}$.

Identifie la famille la plus rapide, divise par elle et conserve les constantes ou puissances restantes.