Compter les chemins qui produisent exactement k succès

Une épreuve de Bernoulli possède deux issues, succès et échec, de probabilités p et $\text{1−p}$. Le mot succès est une convention de codage.

Exemple guidé : Un contrôle qualité peut coder « pièce défectueuse » comme succès si c'est l'événement compté.

La variable de Bernoulli X vaut 1 lorsque le succès choisi se réalise et 0 sinon. Sa loi est donc $\text{P(X=1)=p}$ et $\text{P(X=0)=1−p}$. Appeler « succès » une pièce défectueuse ne la rend pas souhaitable : le mot désigne seulement l’événement que l’on décide de compter.

Le schéma exige n répétitions indépendantes de la même épreuve, donc la même probabilité p à chaque rang.

Exemple guidé : Des tirages avec remise peuvent former un schéma ; sans remise, les probabilités changent en général.

Vérifie les trois conditions avant toute formule binomiale : un nombre fixé n d’épreuves, deux issues à chaque épreuve, une probabilité p constante et l’indépendance. Des tirages sans remise dans une petite population violent en général les deux dernières conditions, même si chaque tirage a encore deux issues.

Un chemin précis contenant k succès et $\text{n−k}$ échecs a pour probabilité $\text{p⁽k⁾(1−p)^(n−k)}$, par produit des probabilités indépendantes.

Exemple guidé : Le chemin S,S,É,S sur quatre épreuves vaut $p^3\text{(1−p)}$.

Le produit $p^3\text{(1−p)}$ correspond seulement à l’ordre S,S,É,S. L’indépendance permet de multiplier les probabilités des branches. Tous les chemins comportant trois succès ont le même produit, mais ils restent des issues différentes avant d’être réunis dans l’événement « exactement trois succès ».

Il existe $\text{C(n,k)}$ positions possibles pour placer k succès parmi n épreuves. Ce coefficient transforme la probabilité d'un chemin en probabilité de l'événement $\text{X=k}$.

Exemple guidé : Pour $\text{n=5}$ et $\text{k=2}$, dix chemins comportent exactement deux succès.

Choisir les k positions occupées par les succès détermine entièrement le chemin ; les autres positions sont des échecs. Il y a donc $\text{C(n,k)}$ chemins. On ne multiplie pas encore par k! : le coefficient binomial a déjà neutralisé l’ordre des positions choisies.

Si X compte les succès, alors X suit $\text{B(n,p)}$ et $\text{P(X=k)=C(n,k)p⁽k⁾(1−p)^(n−k)}$. Les événements « au plus » et « au moins » demandent des sommes ou un complémentaire.

Exemple guidé : $\text{P(X≥1)=1−P(X=0)=1−}{\text{(1−p)}}^{\mathrm{n}}$.

Traduis d’abord le langage : « exactement k » donne une seule valeur, « au plus k » la somme de 0 à k, « au moins k » la somme de k à n. Pour « au moins un succès », le complémentaire est plus court : l’unique événement contraire est zéro succès, de probabilité ${\text{(1−p)}}^{\mathrm{n}}$.

Pour X suivant $\text{B(n,p)}$, $\text{E(X)=np}$ et $\text{V(X)=np(1−p)}$. L'espérance est un nombre moyen de succès sur de nombreuses répétitions du schéma.

Exemple guidé : Avec $\text{n=100}$ et $\text{p=0,2}$, on attend en moyenne 20 succès et la variance vaut 16.

Avec $\text{n=100}$ et $\text{p=0,2}$, $\text{E(X)=20}$ et $\text{V(X)=100×0,2×0,8=16}$, donc l’écart-type vaut 4. Une observation de 20 succès est plausible mais non garantie. L’espérance décrit la moyenne obtenue sur un grand nombre de répétitions indépendantes du schéma complet.