Variables aléatoires : loi, espérance, variance

Ce que tu vas savoir faire

Définir une variable aléatoire réelle sur un univers fini.
Construire et contrôler la loi d’une variable en regroupant les issues.
Interpréter et calculer des événements du type X=a et X≤a.
Calculer une espérance et décider si un jeu est équitable.
Utiliser la linéarité de l’espérance pour une transformation affine.
Calculer la variance par sa définition et par König-Huygens.
Interpréter l’écart type dans l’unité de la variable et comparer deux risques.
Lire ou écrire un algorithme calculant espérance, variance et écart type.

Vérifie tes prérequis

Connaitre une loi de probabilité sur un univers fini.
Calculer une moyenne pondérée, un carré et une racine carrée.
Lire les événements, intersections et sommes de probabilités.

Le chapitre en bref

Sur un univers fini Ω, une variable aléatoire réelle X associe un nombre à chaque issue. Sa loi regroupe les issues donnant la même valeur $x_{i}$ et attribue $p_{i} =P(X= x_{i})$ , avec $Σ p_{i} =1$ . Un événement comme $X≤a$ réunit plusieurs valeurs et sa probabilité est la somme de leurs poids. L’espérance $E(X)=Σ x_{i} p_{i}$ est une moyenne théorique pondérée ; un jeu est équitable si le gain net a une espérance nulle. La variance $V(X)=E((X−E(X))²)=E(X^{2})−E {(X)}^{2}$ mesure la dispersion au carré, et l’écart type $σ(X)=√V(X)$ revient dans l’unité de X. La linéarité $E(aX+b)=aE(X)+b$ permet d’étudier rapidement un changement de gain ou d’échelle.

1. Que transforme exactement une variable aléatoire ?

Une variable aléatoire réelle X est une fonction définie sur l’univers fini Ω d’une expérience et à valeurs réelles. Elle ne choisit pas elle-même une issue : elle traduit chaque issue ω en une valeur $X(ω)$ . Deux issues différentes peuvent produire le même nombre.

Exemple : pour deux pièces, X peut compter le nombre de faces. Les issues FF, FP, PF, PP deviennent respectivement 2, 1, 1, 0. La variable simplifie la question en conservant la grandeur utile, mais elle peut perdre l’ordre exact des résultats.

Issue → règle → valeur

Que conserve la variable et que perd-elle ?

IssuesFF · FP · PF · PPRèglecompter les facesImages $2;1;1;0$ Perteordre pour la valeur 1

FP et PF sont deux issues mais une même valeur de X.

2. Comment construire une loi sans compter deux fois une issue ?

Liste d’abord les valeurs distinctes $x_{1},…, x_{n}$ prises par X. Pour chacune, l’événement ${X= x_{i}}$ contient toutes les issues envoyées vers $x_{i}$ . On pose $p_{i} =P(X= x_{i})$ . La loi est le tableau des couples $(x_{i}; p_{i})$ .

Contrôle indispensable : chaque $p_{i}$ est entre 0 et 1 et $Σ p_{i} =1$ . Pour deux pièces équilibrées et X nombre de faces, la loi est $P(X=0)= \frac{1}{4}$ , $P(X=1)= \frac{1}{2}$ , $P(X=2)= \frac{1}{4}$ .

Valeur → issues correspondantes → somme des poids

Comment les fibres de X deviennent-elles une loi ?

Valeur $X=1$ IssuesFP et PFPoids $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ Probabilité $\frac{1}{2}$

La probabilité d’une valeur additionne toutes ses issues.

3. Comment traduire X=a, X≤a et un intervalle ?

${X=a}$ est l’ensemble des issues dont l’image par X vaut a. ${X≤a}$ réunit toutes les valeurs de la loi inférieures ou égales à a. On calcule donc $P(X≤a)= Σ_{x_{i} ≤a} P(X= x_{i})$ .

Avec la loi précédente, $P(X≤1)= \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ . Ne compare pas directement les issues à a : compare leurs valeurs X(ω). Pour $a≤X≤b$ , conserve les valeurs appartenant à l’intervalle fermé [a;b].

Inégalité → sélection → somme

Quelles valeurs réalisent l’événement ?

Valeur retenue $1$ IssuesFP · PFPoids $\frac{1}{2}$ Résultat $P(X=1)= \frac{1}{2}$

Une égalité sélectionne une seule valeur de la loi.

4. Que signifie l’espérance dans un jeu ou une décision ?

L’espérance est $E(X)=Σ x_{iP} (X= x_{i})$ . Elle pondère chaque valeur par sa probabilité. Ce n’est pas nécessairement une valeur que X peut prendre : elle décrit le gain moyen théorique par partie lorsque le même modèle est répété de nombreuses fois.

Un jeu de gain net X est équitable si $E(X)=0$ . Si un lot brut Y nécessite une mise m, le gain net est $X=Y−m$ , donc l’équité impose $m=E(Y)$ . Une espérance positive n’assure jamais un gain à chaque partie.

Valeurs × probabilités → gain moyen théorique

Quel contrat rend le jeu équitable ?

Gains $−2;4$ Poids $\frac{3}{4}; \frac{1}{4}$ Somme $−2× \frac{3}{4} +4× \frac{1}{4}$ Espérance $−0,5$

Le joueur perd théoriquement 0,50 € par partie en moyenne.

5. Comment une transformation affine modifie-t-elle l’espérance ?

Pour tous réels a et b, $E(aX+b)=aE(X)+b$ . Ajouter un montant fixe b à tous les gains ajoute b à l’espérance. Multiplier tous les gains par a multiplie l’espérance par a. Cette linéarité évite de reconstruire toute la loi si seule la moyenne est demandée.

Si $E(X)=12$ , une prime $Y=1,1X+3$ vérifie $E(Y)=1,1×12+3=16,2$ . La formule décrit la moyenne ; pour la dispersion, le terme b et le facteur a n’agissent pas de la même manière.

Échelle + translation → espérance

Que change aX+b sans refaire toute la loi ?

Espérance de X $12$ Variable $Y=1,1X+3$ Calcul $1,1×12+3$ Résultat $16,2$

La linéarité transporte directement l’espérance.

6. Pourquoi deux formules donnent-elles la même variance ?

La variance est la moyenne des carrés des écarts à l’espérance : $V(X)=Σ(x_{i} −E(X))² p_{i}$ . Elle est positive ou nulle et vaut zéro exactement lorsque X est constante avec probabilité 1.

La formule de König-Huygens est $V(X)=E(X^{2})−E {(X)}^{2}$ , avec $E(X^{2})=Σ x_{i}^{2} p_{i}$ . Elle est souvent plus rapide, mais le résultat doit rester positif ou nul. Les deux voies constituent un contrôle mutuel utile.

Écarts carrés ↔ König-Huygens

Quelle voie rend le calcul le plus contrôlable ?

Centre $μ=E(X)$ Écarts $x_{i} −μ$ Carrés pondérés ${(x_{i} −μ)}^{2} p_{i}$ Somme $V(X)$

Les carrés empêchent les écarts positifs et négatifs de s’annuler.

7. Comment comparer deux dispersions sans perdre les unités ?

La variance porte l’unité de X au carré. L’écart type $σ(X)=√V(X)$ revient dans l’unité de X. Deux jeux de même espérance peuvent donc différer fortement : celui de plus grand écart type produit des gains plus dispersés autour de la moyenne.

Pour $Y=aX+b$ , $V(Y)=a {}^{2}V (X)$ et $σ(Y)=|a|σ(X)$ . Ajouter b déplace toutes les valeurs sans changer leur dispersion ; multiplier par a change l’échelle des écarts. L’écart type décrit une dispersion, pas à lui seul toute la forme de la loi.

Centre + dispersion + unité

Même moyenne, même risque ?

Jeu A $E=10;σ=2$ Jeu B $E=10;σ=9$ CentreidentiqueDispersionB plus forte

L’espérance seule ne distingue pas les deux profils.

8. Comment rendre le calcul traçable dans un algorithme ?

Avec deux listes valeurs et probabilités, un algorithme initialise E et Q à 0, parcourt les indices, ajoute $x_{i} p_{i}$ à E et $x_{i}^{2} p_{i}$ à Q, puis renvoie $V=Q− E^{2}$ et $σ=√V$ . Il doit d’abord vérifier longueurs égales, probabilités positives et somme proche de 1.

Une simulation produit des réalisations de X et permet de comparer une moyenne observée à E(X). Elle aide à expérimenter et à détecter une incohérence, mais une série finie fluctue : elle ne remplace ni la loi exacte ni le calcul démontré.

Valider → accumuler → dériver → interpréter

Quel contrôle protège le calcul automatique ?

Listesmême longueurProbabilitésdans [0;1]Sommeproche de 1Verdictloi admissible

Un algorithme fiable refuse une loi incohérente.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

X transforme chaque issue en valeur réelle.
La loi regroupe les issues de même image.
Un événement sur X sélectionne des valeurs.
L’espérance est une moyenne pondérée.
L’espérance est linéaire.
König-Huygens accélère le calcul de variance.
L’écart type retrouve l’unité de X.
Un algorithme doit contrôler la loi avant de calculer.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Qu’est-ce qu’une variable aléatoire réelle sur un univers fini ? Une fonction des issues vers les réels Une issue choisie au hasard Une constante toujours entière

2. Deux issues distinctes donnent la même valeur 3. Que faut-il faire pour P(X=3) ? Additionner leurs probabilités Garder une seule issue Additionner les valeurs 3+3

3. Si P(X=0)=1/4 et P(X=1)=1/2, que vaut P(X≤1) ?

\frac{3}{4}

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

4. Quand un jeu de gain net X est-il équitable ?

E(X)=0

V(X)=0

P(X>0)=1

5. Si E(X)=5, que vaut E(2X−3) ?

7

4

10

6. Quelle est la formule de König-Huygens ?

V(X)=E(X^{2})−E {(X)}^{2}

V(X)=E(X^{2})+E {(X)}^{2}

V(X)=√E(X)

7. Pourquoi utilise-t-on l’écart type pour retrouver l’unité de X ? Il est la racine carrée de la variance Il est toujours égal à l’espérance Il supprime toutes les unités

8. Quel contrôle précède un algorithme sur une loi ? Probabilités dans [0;1] et somme égale à 1 Valeurs toutes positives Espérance entière

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