Comment une variable aléatoire transforme‑t‑elle des issues en décisions chiffrées ?

Une variable aléatoire réelle X est une fonction définie sur l’univers fini Ω d’une expérience et à valeurs réelles. Elle ne choisit pas elle-même une issue : elle traduit chaque issue ω en une valeur $\text{X(ω)}$. Deux issues différentes peuvent produire le même nombre.

Exemple : pour deux pièces, X peut compter le nombre de faces. Les issues FF, FP, PF, PP deviennent respectivement 2, 1, 1, 0. La variable simplifie la question en conservant la grandeur utile, mais elle peut perdre l’ordre exact des résultats.

Liste d’abord les valeurs distinctes $x_{\text{1}}\text{,…,}{x}_{\text{n}}$ prises par X. Pour chacune, l’événement $\text{{X=}{x}_{\text{i}}\text{}}$ contient toutes les issues envoyées vers $x_{\text{i}}$. On pose $p_{\text{i}}\text{=P(X=}{x}_{\text{i}}\text{)}$. La loi est le tableau des couples $\text{(}{x}_{\text{i}}\text{;}{p}_{\text{i}}\text{)}$.

Contrôle indispensable : chaque $p_{\text{i}}$ est entre 0 et 1 et $\text{Σ}{p}_{\text{i}}\text{=1}$. Pour deux pièces équilibrées et X nombre de faces, la loi est $\text{P(X=0)=}\frac{1}{4}$, $\text{P(X=1)=}\frac{1}{2}$, $\text{P(X=2)=}\frac{1}{4}$.

$\text{{X=a}}$ est l’ensemble des issues dont l’image par X vaut a. $\text{{X≤a}}$ réunit toutes les valeurs de la loi inférieures ou égales à a. On calcule donc $\text{P(X≤a)=}{\Sigma }_{x_{\text{i}}\text{≤a}}\text{P(X=}{x}_{\text{i}}\text{)}$.

Avec la loi précédente, $\text{P(X≤1)=}\frac{1}{4}\text{+}\frac{1}{2}\text{=}\frac{3}{4}$. Ne compare pas directement les issues à a : compare leurs valeurs $\text{X(ω)}$. Pour $\text{a≤X≤b}$, conserve les valeurs appartenant à l’intervalle fermé $\text{[a;b]}$.

L’espérance est $\text{E(X)=Σ}{x}_{\text{iP}}\text{(X=}{x}_{\text{i}}\text{)}$. Elle pondère chaque valeur par sa probabilité. Ce n’est pas nécessairement une valeur que X peut prendre : elle décrit le gain moyen théorique par partie lorsque le même modèle est répété de nombreuses fois.

Un jeu de gain net X est équitable si $\text{E(X)=0}$. Si un lot brut Y nécessite une mise m, le gain net est $\text{X=Y−m}$, donc l’équité impose $\text{m=E(Y)}$. Une espérance positive n’assure jamais un gain à chaque partie.

Pour tous réels a et b, $\text{E(aX+b)=aE(X)+b}$. Ajouter un montant fixe b à tous les gains ajoute b à l’espérance. Multiplier tous les gains par a multiplie l’espérance par a. Cette linéarité évite de reconstruire toute la loi si seule la moyenne est demandée.

Si $\text{E(X)=12}$, une prime $\text{Y=1,1X+3}$ vérifie $\text{E(Y)=1,1×12+3=16,2}$. La formule décrit la moyenne ; pour la dispersion, le terme b et le facteur a n’agissent pas de la même manière.

La variance est la moyenne des carrés des écarts à l’espérance : $\text{V(X)=Σ(}{x}_{\text{i}}\text{−E(X))²}{p}_{\text{i}}$. Elle est positive ou nulle et vaut zéro exactement lorsque X est constante avec probabilité 1.

La formule de König-Huygens est $\text{V(X)=E(}{X}^2\text{)−E}{\text{(X)}}^2$, avec $\text{E(}{X}^2\text{)=Σ}{x}_{\text{i}}^2{p}_{\text{i}}$. Elle est souvent plus rapide, mais le résultat doit rester positif ou nul. Les deux voies constituent un contrôle mutuel utile.

La variance porte l’unité de X au carré. L’écart type $\text{σ(X)=√V(X)}$ revient dans l’unité de X. Deux jeux de même espérance peuvent donc différer fortement : celui de plus grand écart type produit des gains plus dispersés autour de la moyenne.

Pour $\text{Y=aX+b}$, $\text{V(Y)=a}{}^{2}V\text{(X)}$ et $\text{σ(Y)=|a|σ(X)}$. Ajouter b déplace toutes les valeurs sans changer leur dispersion ; multiplier par a change l’échelle des écarts. L’écart type décrit une dispersion, pas à lui seul toute la forme de la loi.

Avec deux listes valeurs et probabilités, un algorithme initialise E et Q à 0, parcourt les indices, ajoute $x_{\text{i}}{p}_{\text{i}}$ à E et $x_{\text{i}}^2{p}_{\text{i}}$ à Q, puis renvoie $\text{V=Q−}{E}^2$ et $\text{σ=√V}$. Il doit d’abord vérifier longueurs égales, probabilités positives et somme proche de 1.

Une simulation produit des réalisations de X et permet de comparer une moyenne observée à $\text{E(X)}$. Elle aide à expérimenter et à détecter une incohérence, mais une série finie fluctue : elle ne remplace ni la loi exacte ni le calcul démontré.