Comment le mot « sachant » change‑t‑il le calcul d’une probabilité ?

Ce que tu vas savoir faire

• Identifier la population de référence dans une probabilité conditionnelle.
• Calculer deux conditionnements inverses dans un tableau croisé.
• Lire et compléter un arbre pondéré puis calculer une probabilité de chemin.
• Utiliser une partition et la formule des probabilités totales.
• Tester l’indépendance de deux événements sans la confondre avec l’incompatibilité.
• Remonter d’un résultat observé vers une cause possible en changeant explicitement de dénominateur.
• Représenter la succession de deux épreuves indépendantes par un arbre ou un tableau.
• Calculer une probabilité lors de la répétition de deux à quatre épreuves de Bernoulli indépendantes.

Vérifie tes prérequis

• Calculer une proportion, une intersection et un complémentaire.
• Lire un tableau croisé d’effectifs ou de fréquences.
• Multiplier et additionner des nombres décimaux ou des fractions.

1. Quel ensemble devient le nouvel univers quand on dit « sachant A » ?

La notation $P_{\text{A}}\text{(B)}$ se lit « probabilité de B sachant A ». On ne regarde plus toutes les issues, seulement celles de A. Si $\text{P(A)>0}$, $P_{\text{A}}\text{(B)=}\frac{\text{P(A∩B)}}{\text{P(A)}}$. Le dénominateur est la condition ; le numérateur est la partie qui vérifie à la fois A et B.

Dans une population équiprobable, la formule devient $P_{\text{A}}\text{(B)=}\frac{\text{Card(A∩B)}}{\text{Card(A)}}$. Si A est impossible, $\text{P(A)=0}$ et ce conditionnement n’est pas défini. Lis la phrase de gauche à droite : parmi les A, quelle part est aussi B ?

2. Pourquoi deux conditionnements inverses donnent-ils rarement le même résultat ?

Dans un tableau, $P_{\text{A}}\text{(B)}$ et $P_{\text{B}}\text{(A)}$ utilisent la même case d’intersection mais pas le même total. Exemple : 60 élèves pratiquent un sport, 40 jouent d’un instrument et 24 font les deux. Alors $P_{\text{A}}\text{(B)=}\frac{24}{60}\text{=0,4}$ si A signifie sport, tandis que $P_{\text{B}}\text{(A)=}\frac{24}{40}\text{=0,6}$.

Une phrase comme « 40 % des sportifs sont musiciens » ne permet donc pas de conclure que 40 % des musiciens sont sportifs. Avant tout calcul, entoure le groupe introduit par « parmi » ou « sachant » et prends son total comme dénominateur.

3. Que représente exactement chaque branche d’un arbre pondéré ?

Au premier niveau, les branches portent des probabilités comme $\text{P(A)}$. Après A, la branche vers B porte $P_{\text{A}}\text{(B)}$, pas nécessairement $\text{P(B)}$. Le chemin « A puis B » représente l’intersection $\text{A∩B}$ et vérifie $\text{P(A∩B)=P(A)}{P}_{\text{A}}\text{(B)}$.

À chaque nœud, la somme des probabilités des branches sortantes vaut 1. Pour un événement réalisé par plusieurs chemins incompatibles, calcule chaque produit puis additionne. Cette règle de somme ne s’applique qu’après avoir identifié des chemins qui ne peuvent pas se réaliser simultanément.

4. Comment une partition reconstitue-t-elle une probabilité globale ?

Une partition de l’univers est une famille d’événements incompatibles dont la réunion est l’univers. Avec A et son complémentaire Ā, l’événement B se décompose en $\text{(A∩B)∪(Ā∩B)}$. Les deux morceaux sont incompatibles.

On obtient $\text{P(B)=P(A)}{P}_{\text{A}}\text{(B)+P(Ā)}{P}_{\text{Ā}}\text{(B)}$. Dans un arbre, cela revient à additionner tous les chemins qui se terminent en B. Avant d’utiliser la formule, vérifie toujours que les événements de départ couvrent bien tout l’univers sans recouvrement.

5. Comment tester l’indépendance sans la confondre avec l’incompatibilité ?

A et B sont indépendants si $\text{P(A∩B)=P(A)P(B)}$. Si $\text{P(A)>0}$, cela équivaut à $P_{\text{A}}\text{(B)=P(B)}$ : savoir A ne change pas la probabilité de B. Il suffit de comparer les deux membres avec des valeurs calculées, pas d’invoquer une ressemblance dans un tableau.

Des événements incompatibles vérifient $\text{P(A∩B)=0}$. S’ils ont tous deux une probabilité strictement positive, alors $\text{P(A)P(B)>0}$ : ils ne sont donc pas indépendants. Incompatibilité signifie « jamais ensemble » ; indépendance signifie « l’information sur l’un ne modifie pas l’autre ».

6. Comment remonter d’un résultat observé vers une cause possible ?

Dans un dépistage, $P_{\text{M}}\text{(T)}$ — test positif sachant malade — n’est pas $P_{\text{T}}\text{(M)}$ — malade sachant test positif. Pour la seconde question, le nouvel univers est l’ensemble de tous les tests positifs, vrais et faux positifs réunis.

Avec 100 malades dont 90 positifs et 900 non-malades dont 45 positifs, il y a 135 tests positifs. Donc $P_{\text{T}}\text{(M)=}\frac{90}{135}\text{=}\frac{2}{3}$, alors que $P_{\text{M}}\text{(T)=}\frac{90}{100}\text{=0,9}$. Le tableau ou l’arbre rend visible le changement de population de référence.

7. Comment représenter deux épreuves indépendantes successives ?

Si une épreuve de Bernoulli a une probabilité de succès p et si deux répétitions sont indépendantes, chaque second niveau de l’arbre porte encore p pour S et $\text{1−p}$ pour S̄. Les quatre chemins sont SS, SS̄, S̄S et S̄S̄.

Avec $\text{p=0,3}$, la probabilité d’exactement un succès vaut $\text{0,3×0,7+0,7×0,3=0,42}$. L’ordre crée deux chemins distincts. L’indépendance est une hypothèse du modèle : elle doit être donnée ou justifiée, pas déduite du simple fait que les épreuves se succèdent.

8. Comment calculer sans oublier de chemin jusqu’à quatre épreuves ?

Pour n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, un chemin contenant k succès et $\text{n−k}$ échecs a pour probabilité le produit de k facteurs p et de $\text{n−k}$ facteurs $\text{1−p}$. Pour n≤4, on peut dresser l’arbre ou la liste des chemins sans formule générale exigée.

Avec trois lancers indépendants d’une pièce équilibrée, exactement deux succès correspond à SST, STS et TSS. Chaque chemin vaut $\frac{1}{8}$, donc la probabilité vaut $\frac{3}{8}$. Une simulation peut contrôler l’ordre de grandeur et montrer la fluctuation des fréquences ; elle ne remplace pas le calcul exact ni la justification de l’indépendance.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

• La condition devient le nouvel univers.
• Inverser le conditionnement change le dénominateur.
• Un chemin se calcule par produit.
• Une partition permet une somme totale.
• Indépendance et incompatibilité sont distinctes.
• Une probabilité inverse reconstruit sa propre population.
• Deux essais indépendants créent quatre chemins.
• Jusqu’à quatre essais, lister les chemins sécurise le calcul.

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Sources et traçabilité

Dernière vérification : 2026-08-12

1. Programme d’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première de la voie générale, Ministère de l’Éducation nationale, consulté le 2026-08-11.
2. Annexe — Programme de spécialité de mathématiques de première générale 2026, Ministère de l’Éducation nationale, consulté le 2026-08-11.
3. Programmes et ressources en mathématiques — voie générale et technologique, Éduscol — Ministère de l’Éducation nationale, consulté le 2026-08-11.
4. Programme de spécialité de mathématiques de première générale 2019, Ministère de l’Éducation nationale, consulté le 2026-08-11.
5. Independent and Mutually Exclusive Events, OpenStax — Rice University, consulté le 2026-08-11.
6. Two Basic Rules of Probability, OpenStax — Rice University, consulté le 2026-08-11.
7. Contingency Tables, OpenStax — Rice University, consulté le 2026-08-11.
8. Thomas Bayes, MacTutor History of Mathematics — University of St Andrews, consulté le 2026-08-11.