Comment le mot « sachant » change‑t‑il le calcul d’une probabilité ?

La notation $P_{\text{A}}\text{(B)}$ se lit « probabilité de B sachant A ». On ne regarde plus toutes les issues, seulement celles de A. Si $\text{P(A)>0}$, $P_{\text{A}}\text{(B)=}\frac{\text{P(A∩B)}}{\text{P(A)}}$. Le dénominateur est la condition ; le numérateur est la partie qui vérifie à la fois A et B.

Dans une population équiprobable, la formule devient $P_{\text{A}}\text{(B)=}\frac{\text{Card(A∩B)}}{\text{Card(A)}}$. Si A est impossible, $\text{P(A)=0}$ et ce conditionnement n’est pas défini. Lis la phrase de gauche à droite : parmi les A, quelle part est aussi B ?

Dans un tableau, $P_{\text{A}}\text{(B)}$ et $P_{\text{B}}\text{(A)}$ utilisent la même case d’intersection mais pas le même total. Exemple : 60 élèves pratiquent un sport, 40 jouent d’un instrument et 24 font les deux. Alors $P_{\text{A}}\text{(B)=}\frac{24}{60}\text{=0,4}$ si A signifie sport, tandis que $P_{\text{B}}\text{(A)=}\frac{24}{40}\text{=0,6}$.

Une phrase comme « 40 % des sportifs sont musiciens » ne permet donc pas de conclure que 40 % des musiciens sont sportifs. Avant tout calcul, entoure le groupe introduit par « parmi » ou « sachant » et prends son total comme dénominateur.

Au premier niveau, les branches portent des probabilités comme $\text{P(A)}$. Après A, la branche vers B porte $P_{\text{A}}\text{(B)}$, pas nécessairement $\text{P(B)}$. Le chemin « A puis B » représente l’intersection $\text{A∩B}$ et vérifie $\text{P(A∩B)=P(A)}{P}_{\text{A}}\text{(B)}$.

À chaque nœud, la somme des probabilités des branches sortantes vaut 1. Pour un événement réalisé par plusieurs chemins incompatibles, calcule chaque produit puis additionne. Cette règle de somme ne s’applique qu’après avoir identifié des chemins qui ne peuvent pas se réaliser simultanément.

Une partition de l’univers est une famille d’événements incompatibles dont la réunion est l’univers. Avec A et son complémentaire Ā, l’événement B se décompose en $\text{(A∩B)∪(Ā∩B)}$. Les deux morceaux sont incompatibles.

On obtient $\text{P(B)=P(A)}{P}_{\text{A}}\text{(B)+P(Ā)}{P}_{\text{Ā}}\text{(B)}$. Dans un arbre, cela revient à additionner tous les chemins qui se terminent en B. Avant d’utiliser la formule, vérifie toujours que les événements de départ couvrent bien tout l’univers sans recouvrement.

A et B sont indépendants si $\text{P(A∩B)=P(A)P(B)}$. Si $\text{P(A)>0}$, cela équivaut à $P_{\text{A}}\text{(B)=P(B)}$ : savoir A ne change pas la probabilité de B. Il suffit de comparer les deux membres avec des valeurs calculées, pas d’invoquer une ressemblance dans un tableau.

Des événements incompatibles vérifient $\text{P(A∩B)=0}$. S’ils ont tous deux une probabilité strictement positive, alors $\text{P(A)P(B)>0}$ : ils ne sont donc pas indépendants. Incompatibilité signifie « jamais ensemble » ; indépendance signifie « l’information sur l’un ne modifie pas l’autre ».

Dans un dépistage, $P_{\text{M}}\text{(T)}$ — test positif sachant malade — n’est pas $P_{\text{T}}\text{(M)}$ — malade sachant test positif. Pour la seconde question, le nouvel univers est l’ensemble de tous les tests positifs, vrais et faux positifs réunis.

Avec 100 malades dont 90 positifs et 900 non-malades dont 45 positifs, il y a 135 tests positifs. Donc $P_{\text{T}}\text{(M)=}\frac{90}{135}\text{=}\frac{2}{3}$, alors que $P_{\text{M}}\text{(T)=}\frac{90}{100}\text{=0,9}$. Le tableau ou l’arbre rend visible le changement de population de référence.

Si une épreuve de Bernoulli a une probabilité de succès p et si deux répétitions sont indépendantes, chaque second niveau de l’arbre porte encore p pour S et $\text{1−p}$ pour S̄. Les quatre chemins sont SS, SS̄, S̄S et S̄S̄.

Avec $\text{p=0,3}$, la probabilité d’exactement un succès vaut $\text{0,3×0,7+0,7×0,3=0,42}$. L’ordre crée deux chemins distincts. L’indépendance est une hypothèse du modèle : elle doit être donnée ou justifiée, pas déduite du simple fait que les épreuves se succèdent.

Pour n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, un chemin contenant k succès et $\text{n−k}$ échecs a pour probabilité le produit de k facteurs p et de $\text{n−k}$ facteurs $\text{1−p}$. Pour $\text{n≤4}$, on peut dresser l’arbre ou la liste des chemins sans formule générale exigée.

Avec trois lancers indépendants d’une pièce équilibrée, exactement deux succès correspond à SST, STS et TSS. Chaque chemin vaut $\frac{1}{8}$, donc la probabilité vaut $\frac{3}{8}$. Une simulation peut contrôler l’ordre de grandeur et montrer la fluctuation des fréquences ; elle ne remplace pas le calcul exact ni la justification de l’indépendance.