Comment le produit scalaire transforme‑t‑il une projection en angle, longueur ou orthogonalité ?

Pour deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, d’angle géométrique $\text{0≤θ≤π}$, $\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}\text{=‖}\overrightarrow{u}\text{‖‖}\overrightarrow{v}\text{‖cos(θ)}$. Si H est le projeté orthogonal de l’extrémité de $\overrightarrow{v}$ sur la droite orientée par $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}$ est la norme de $\overrightarrow{u}$ multipliée par la longueur algébrique projetée de $\overrightarrow{v}$ sur la direction de $\overrightarrow{u}$.

En revanche, pour projeter le vecteur $\overrightarrow{u}$ sur la direction du vecteur non nul $\overrightarrow{v}$, le coefficient vaut $\frac{\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}}{\text{‖}\overrightarrow{v}\text{‖²}}$ et $\text{pro}{j}_{\text{v}}\text{(}\overrightarrow{u}\text{)=}\frac{\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}}{\text{‖}\overrightarrow{v}\text{‖²}}\overrightarrow{v}$. Le carré au dénominateur porte donc sur le vecteur qui définit la direction de projection ; si $\overrightarrow{v}\text{=}\overrightarrow{0}$, cette formule est interdite.

Pour deux vecteurs non nuls, les normes sont positives : le signe de $\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}$ est donc celui de $\text{cos(θ)}$. Un produit positif correspond à un angle aigu, nul à un angle droit et négatif à un angle obtus. Cette lecture donne une information angulaire sans devoir calculer θ.

La caractérisation est $\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}\text{=0⇔}\overrightarrow{u}\text{⊥}\overrightarrow{v}$. Elle reste vraie si l’un des vecteurs est nul selon la convention d’orthogonalité vectorielle, mais aucun angle géométrique n’est alors défini. Pour calculer un angle entre deux vecteurs non nuls, isole $\text{cos(θ)=}\frac{\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}}{\text{‖}\overrightarrow{u}\text{‖‖}\overrightarrow{v}\text{‖}}$ et contrôle que le quotient appartient à $\text{[−1;1]}$.

Le produit scalaire est symétrique : $\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}\text{=}\overrightarrow{v}\text{·}\overrightarrow{u}$. Il est bilinéaire : $\overrightarrow{u}\text{·(}\overrightarrow{v}\text{+}\overrightarrow{w}\text{)=}\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}\text{+}\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{w}$ et $\text{(}\overrightarrow{\lambda u}\text{)·}\overrightarrow{v}\text{=λ(}\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}\text{)}$. Enfin $\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{u}\text{=‖}\overrightarrow{u}\text{‖²}$.

Ces propriétés autorisent un développement comparable au calcul algébrique, mais chaque terme reste un produit scalaire. Par exemple $\text{(}\overrightarrow{u}\text{+}\overrightarrow{v}\text{)·(}\overrightarrow{u}\text{−}\overrightarrow{v}\text{)=‖}\overrightarrow{u}\text{‖²−‖}\overrightarrow{v}\text{‖²}$ car les termes croisés s’annulent par symétrie. Écris toutes les contributions avant de simplifier.

Dans une base orthonormée $\text{(}\overrightarrow{i}\text{;}\overrightarrow{j}\text{)}$, si $\overrightarrow{u}\text{=(x;y)}$ et $\overrightarrow{v}\text{=(x';y')}$, alors $\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}\text{=xx'+yy'}$. En particulier $\text{‖}\overrightarrow{u}\text{‖=}\sqrt{x^2\text{+}{y}^2}$. La formule dépend du caractère orthonormé de la base ; on ne la transporte pas telle quelle dans une base quelconque.

Les coordonnées elles-mêmes se récupèrent par projection : $\text{x=}\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{i}$ et $\text{y=}\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{j}$, puisque les vecteurs de base sont unitaires et orthogonaux. Pour tester une perpendicularité, calcule $\text{xx′+yy′}$ ; pour une longueur, applique la norme au vecteur différence entre les deux points.

Comme $\text{‖}\overrightarrow{u}\text{+}\overrightarrow{v}\text{‖²=(}\overrightarrow{u}\text{+}\overrightarrow{v}\text{)·(}\overrightarrow{u}\text{+}\overrightarrow{v}\text{)}$, la bilinéarité donne $\text{‖}\overrightarrow{u}\text{+}\overrightarrow{v}\text{‖²=‖}\overrightarrow{u}\text{‖²+2}\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}\text{+‖}\overrightarrow{v}\text{‖²}$. Avec une différence, $\text{‖}\overrightarrow{u}\text{−}\overrightarrow{v}\text{‖²=‖}\overrightarrow{u}\text{‖²−2}\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}\text{+‖}\overrightarrow{v}\text{‖²}$.

En additionnant les deux identités, on obtient la loi du parallélogramme $\text{‖}\overrightarrow{u}\text{+}\overrightarrow{v}\text{‖²+‖}\overrightarrow{u}\text{−}\overrightarrow{v}\text{‖²=2‖}\overrightarrow{u}\text{‖²+2‖}\overrightarrow{v}\text{‖²}$. En les soustrayant, on isole $\overrightarrow{u}\text{·}\overrightarrow{v}\text{=}\frac{\text{‖}\overrightarrow{u}\text{+}\overrightarrow{v}\text{‖²−‖}\overrightarrow{u}\text{−}\overrightarrow{v}\text{‖²}}{4}$. Ces formes servent lorsque les longueurs des diagonales sont connues.

Si les coordonnées sont données, utilise $\text{xx′+yy′}$. Si deux normes et l’angle sont connus, utilise $\text{‖}\overrightarrow{u}\text{‖‖}\overrightarrow{v}\text{‖cos(θ)}$. Si une projection ou une hauteur apparaît, exploite la longueur algébrique projetée. Si seules des longueurs de sommes, différences ou côtés sont disponibles, emploie les identités de normes.

Le choix précède le calcul. Écris la sortie attendue — angle, longueur, orthogonalité, projection ou lieu — puis inventorie les données. Une formule correcte peut être un mauvais détour si elle introduit des inconnues supplémentaires. Contrôle enfin unités, signe attendu et conditions de non-nullité.

Dans un triangle ABC, pose $\text{a=BC}$, $\text{b=CA}$, $\text{c=AB}$ et $\text{Â}$ l’angle entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. L’égalité vectorielle $\overrightarrow{BC}\text{=}\overrightarrow{AC}\text{−}\overrightarrow{AB}$ donne $a^2\text{=‖}\overrightarrow{AC}\text{−}\overrightarrow{AB}\text{‖²}$.

En développant, $a^2\text{=}{b}^2\text{+}{c}^2\text{−2}\overrightarrow{AB}\text{·}\overrightarrow{AC}$. Or $\overrightarrow{AB}\text{·}\overrightarrow{AC}\text{=bc cos(Â)}$, donc $a^2\text{=}{b}^2\text{+}{c}^2\text{−2bc cos(Â)}$. Si  est droit, le cosinus est nul et l’on retrouve Pythagore. Chaque lettre doit rester attachée au côté opposé ou adjacent annoncé.

Soit I le milieu de [AB]. On a $\overrightarrow{MA}\text{=}\overrightarrow{MI}\text{+}\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}\text{=}\overrightarrow{MI}\text{+}\overrightarrow{IB}\text{=}\overrightarrow{MI}\text{−}\overrightarrow{IA}$. Ainsi $\overrightarrow{MA}\text{·}\overrightarrow{MB}\text{=(}\overrightarrow{MI}\text{+}\overrightarrow{IA}\text{)·(}\overrightarrow{MI}\text{−}\overrightarrow{IA}\text{)=M}{I}^2\text{−I}{A}^2$.

Donc $\overrightarrow{MA}\text{·}\overrightarrow{MB}\text{=0⇔MI=IA=}\frac{\text{AB}}{2}$. Le lieu des points M est le cercle de centre I et de rayon AB/2, c’est-à-dire le cercle de diamètre [AB]. Pour M distinct de A et B, cela équivaut aussi à $\overrightarrow{AM}\text{⊥}\overrightarrow{BM}$ et au triangle AMB rectangle en M. Ce n’est pas la médiatrice, qui serait décrite par $\text{MA=MB}$.