Produit scalaire : coordonnées, angles et Al-Kashi

Ce que tu vas savoir faire

Interpréter un produit scalaire comme projection orientée et comme produit des normes par un cosinus.
Caractériser l’orthogonalité et lire le signe selon l’angle entre deux vecteurs.
Utiliser symétrie et bilinéarité pour transformer une expression vectorielle.
Calculer produit scalaire, norme et coordonnées dans une base orthonormée.
Développer et exploiter les identités de normes de $\vec{u} + \vec{v}$ et $\vec{u} − \vec{v}$ .
Choisir la forme du produit scalaire adaptée à un problème géométrique.
Démontrer la formule d’Al-Kashi avec le produit scalaire.
Démontrer que $\vec{M A} · \vec{M B} =0$ décrit le cercle de diamètre [AB].

Vérifie tes prérequis

Calculer avec coordonnées, vecteurs et normes dans un repère orthonormé.
Utiliser le cosinus d’un angle et le théorème de Pythagore.
Développer une identité remarquable et manipuler des égalités vectorielles.

Le chapitre en bref

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un réel qui mesure la projection orientée de l’un dans la direction de l’autre : $\vec{u} · \vec{v} =‖ \vec{u} ‖‖ \vec{v} ‖cos(θ)$ . Son signe distingue angle aigu, droit ou obtus ; pour deux vecteurs non nuls, il est nul exactement lorsqu’ils sont orthogonaux. Dans une base orthonormée, si $\vec{u} =(x;y)$ et $\vec{v} =(x';y')$ , alors $\vec{u} · \vec{v} =xx'+yy'$ et $‖ \vec{u} ‖²= x^{2} + y^{2}$ . Symétrie et bilinéarité permettent de développer les normes de $\vec{u} + \vec{v}$ et $\vec{u} − \vec{v}$ . On choisit ensuite la forme adaptée : coordonnées, cosinus, projection ou identité de normes. Al-Kashi vient de $\vec{B C} = \vec{A C} − \vec{A B}$ puis du développement de la norme. Si I est le milieu de [AB], $\vec{M A} · \vec{M B} =M I^{2} −I A^{2}$ ; l’égalité à zéro décrit donc le cercle de centre I et de rayon $\frac{AB}{2}$ , c’est-à-dire le cercle de diamètre [AB].

1. Que mesure réellement le produit scalaire ?

Pour deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , d’angle géométrique $0≤θ≤π$ , $\vec{u} · \vec{v} =‖ \vec{u} ‖‖ \vec{v} ‖cos(θ)$ . Si H est le projeté orthogonal de l’extrémité de $\vec{v}$ sur la droite orientée par $\vec{u}$ , le produit scalaire est aussi la norme de $\vec{u}$ multipliée par la longueur algébrique projetée de $\vec{v}$ .

Le coefficient de projection de $\vec{u}$ sur un vecteur non nul $\vec{v}$ vaut $\frac{\vec{u} · \vec{v}}{‖ \vec{v} ‖²}$ . Le vecteur projeté est donc $pro j_{v} (\vec{u})= \frac{\vec{u} · \vec{v}}{‖ \vec{v} ‖²} \vec{v}$ . Le carré au dénominateur porte sur le vecteur qui définit la direction de projection ; si $\vec{v} = \vec{0}$ , cette formule est interdite.

Direction choisie → coefficient → vecteur projeté → condition

Quelle composante de $\vec{u}$ pointe dans la direction de $\vec{v}$ ?

Direction $\vec{v} ≠ \vec{0}$ Coefficient $\frac{\vec{u} · \vec{v}}{‖ \vec{v} ‖²}$ Vecteur $\frac{\vec{u} · \vec{v}}{‖ \vec{v} ‖²} \vec{v}$ Contrôlecolinéaire à $\vec{v}$

Le dénominateur appartient au vecteur qui porte la direction de projection.

2. Comment le signe du produit scalaire classe-t-il les angles ?

Pour deux vecteurs non nuls, les normes sont positives : le signe de $\vec{u} · \vec{v}$ est donc celui de $cos(θ)$ . Un produit positif correspond à un angle aigu, nul à un angle droit et négatif à un angle obtus. Cette lecture donne une information angulaire sans devoir calculer θ.

La caractérisation est $\vec{u} · \vec{v} =0⇔ \vec{u} ⊥ \vec{v}$ . Elle reste vraie si l’un des vecteurs est nul selon la convention d’orthogonalité vectorielle, mais aucun angle géométrique n’est alors défini. Pour calculer un angle entre deux vecteurs non nuls, isole $cos(θ)= \frac{\vec{u} · \vec{v}}{‖ \vec{u} ‖‖ \vec{v} ‖}$ et contrôle que le quotient appartient à [−1;1].

Normes positives → signe du cosinus

Que révèle le signe sans calculer l’angle ?

Produit $\vec{u} · \vec{v} >0$ CosinuspositifAngle $\frac{0≤θ<π}{2}$ Lecturedirections proches

Pour deux vecteurs non nuls, un produit positif signale un angle aigu.

3. Quelles règles rendent le calcul vectoriel développable ?

Le produit scalaire est symétrique : $\vec{u} · \vec{v} = \vec{v} · \vec{u}$ . Il est bilinéaire : $\vec{u} ·(\vec{v} + \vec{w})= \vec{u} · \vec{v} + \vec{u} · \vec{w}$ et $(\vec{λ u})· \vec{v} =λ(\vec{u} · \vec{v})$ . Enfin $\vec{u} · \vec{u} =‖ \vec{u} ‖²$ .

Ces propriétés autorisent un développement comparable au calcul algébrique, mais chaque terme reste un produit scalaire. Par exemple $(\vec{u} + \vec{v})·(\vec{u} − \vec{v})=‖ \vec{u} ‖²−‖ \vec{v} ‖²$ car les termes croisés s’annulent par symétrie. Écris toutes les contributions avant de simplifier.

Symétrie + bilinéarité

Comment développer sans perdre les termes croisés ?

Expression $\vec{u} ·(\vec{v} + \vec{w})$ Distribuer $\vec{u} · \vec{v} + \vec{u} · \vec{w}$ Naturedeux réelsContrôlechaque terme de la somme apparaît

La distributivité agit dans chacune des deux variables.

4. Comment une base orthonormée convertit-elle la géométrie en calcul ?

Dans une base orthonormée $(\vec{i}; \vec{j})$ , si $\vec{u} =(x;y)$ et $\vec{v} =(x';y')$ , alors $\vec{u} · \vec{v} =xx'+yy'$ . En particulier $‖ \vec{u} ‖= \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . La formule dépend du caractère orthonormé de la base ; on ne la transporte pas telle quelle dans une base quelconque.

Les coordonnées elles-mêmes se récupèrent par projection : $x= \vec{u} · \vec{i}$ et $y= \vec{u} · \vec{j}$ , puisque les vecteurs de base sont unitaires et orthogonaux. Pour tester une perpendicularité, calcule xx′+yy′ ; pour une longueur, applique la norme au vecteur différence entre les deux points.

Axes unitaires et perpendiculaires

Que rend visible une base orthonormée ?

Vecteurs $\vec{u} =(2;−1); \vec{v} =(3;4)$ Calcul $2×3+(−1)×4$ Somme $6−4$ Résultat $2$

On multiplie les coordonnées de même rang puis on additionne.

5. Comment développer le carré d’une norme ?

Comme $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖²=(\vec{u} + \vec{v})·(\vec{u} + \vec{v})$ , la bilinéarité donne $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖²=‖ \vec{u} ‖²+2 \vec{u} · \vec{v} +‖ \vec{v} ‖²$ . Avec une différence, $‖ \vec{u} − \vec{v} ‖²=‖ \vec{u} ‖²−2 \vec{u} · \vec{v} +‖ \vec{v} ‖²$ .

En additionnant les deux identités, on obtient la loi du parallélogramme $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖²+‖ \vec{u} − \vec{v} ‖²=2‖ \vec{u} ‖²+2‖ \vec{v} ‖²$ . En les soustrayant, on isole $\vec{u} · \vec{v} = \frac{‖ \vec{u} + \vec{v} ‖²−‖ \vec{u} − \vec{v} ‖²}{4}$ . Ces formes servent lorsque les longueurs des diagonales sont connues.

Norme carrée → développement → combinaison

Quelle identité isole l’information disponible ?

Départ $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖²$ Produit $(\vec{u} + \vec{v})·(\vec{u} + \vec{v})$ Développer $‖ \vec{u} ‖²+2 \vec{u} · \vec{v} +‖ \vec{v} ‖²$ Usagediagonale ou résultante

Le coefficient 2 vient des deux termes croisés égaux.

6. Quelle forme du produit scalaire choisir selon les données ?

Si les coordonnées sont données, utilise xx′+yy′. Si deux normes et l’angle sont connus, utilise $‖ \vec{u} ‖‖ \vec{v} ‖cos(θ)$ . Si une projection ou une hauteur apparaît, exploite la longueur algébrique projetée. Si seules des longueurs de sommes, différences ou côtés sont disponibles, emploie les identités de normes.

Le choix précède le calcul. Écris la sortie attendue — angle, longueur, orthogonalité, projection ou lieu — puis inventorie les données. Une formule correcte peut être un mauvais détour si elle introduit des inconnues supplémentaires. Contrôle enfin unités, signe attendu et conditions de non-nullité.

Sortie attendue → inventaire → forme

Quelle représentation utilise exactement les données ?

Donnéescomposantes x,yForme $xx'+yy'$ Sortiesorthogonalité, norme, angleContrôlebase orthonormée

Les coordonnées sont le chemin direct lorsque le repère est exploitable.

7. Comment le produit scalaire démontre-t-il Al-Kashi ?

Dans un triangle ABC, pose $a=BC$ , $b=CA$ , $c=AB$ et $Â$ l’angle entre $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ . L’égalité vectorielle $\vec{B C} = \vec{A C} − \vec{A B}$ donne $a^{2} =‖ \vec{A C} − \vec{A B} ‖²$ .

En développant, $a^{2} = b^{2} + c^{2} −2 \vec{A B} · \vec{A C}$ . Or $\vec{A B} · \vec{A C} =bc cos(Â)$ , donc $a^{2} = b^{2} + c^{2} −2bc cos(Â)$ . Si Â est droit, le cosinus est nul et l’on retrouve Pythagore. Chaque lettre doit rester attachée au côté opposé ou adjacent annoncé.

Égalité vectorielle → norme de différence

Quel développement fait apparaître le cosinus ?

TriangleABCRelation $\vec{B C} = \vec{A C} − \vec{A B}$ Norme $a^{2} =‖ \vec{A C} − \vec{A B} ‖²$ Butdévelopper

Le côté opposé à Â est représenté par une différence de deux vecteurs issus de A.

8. Quel lieu décrit un produit scalaire nul entre les vecteurs MA et MB ?

Soit I le milieu de [AB]. On a $\vec{M A} = \vec{M I} + \vec{I A}$ et $\vec{M B} = \vec{M I} + \vec{I B} = \vec{M I} − \vec{I A}$ . Ainsi $\vec{M A} · \vec{M B} =(\vec{M I} + \vec{I A})·(\vec{M I} − \vec{I A})=M I^{2} −I A^{2}$ .

Donc $\vec{M A} · \vec{M B} =0⇔MI=IA= \frac{AB}{2}$ . Le lieu des points M est le cercle de centre I et de rayon AB/2, c’est-à-dire le cercle de diamètre [AB]. Pour M distinct de A et B, cela équivaut aussi à $\vec{A M} ⊥ \vec{B M}$ et au triangle AMB rectangle en M. Ce n’est pas la médiatrice, qui serait décrite par MA=MB.

Milieu I → vecteurs opposés → différence de carrés

Cercle ou médiatrice : quel invariant décides-tu ?

MilieuI de [AB]Décompositions $\vec{M A} = \vec{M I} + \vec{I A}$ ; $\vec{M B} = \vec{M I} − \vec{I A}$ Produitsomme × différenceRésultat $M I^{2} −I A^{2}$

Les termes croisés s’annulent et le lieu devient une égalité de rayons.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Le produit scalaire mesure une projection orientée.
Son signe classe les angles.
Il est symétrique et bilinéaire.
Une base orthonormée donne xx′+yy′.
Les normes de somme et différence se développent.
La méthode dépend des données.
Al-Kashi vient d’une norme de différence.
$\vec{M A} · \vec{M B} =0$ décrit le cercle de diamètre AB.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Quel est le vecteur projeté de

\vec{u}

sur un vecteur non nul

\vec{v}

?

\frac{\vec{u} · \vec{v}}{‖ \vec{v} ‖²} \vec{v}

\frac{\vec{u} · \vec{v}}{‖ \vec{u} ‖²} \vec{v}

(\vec{u} · \vec{v}) \vec{u}

2. Pour deux vecteurs non nuls, que signifie

\vec{u} · \vec{v} <0

? L’angle est obtus L’angle est aigu Les vecteurs sont égaux

3. Quel développement est correct ?

‖ \vec{u} + \vec{v} ‖²=‖ \vec{u} ‖²+2 \vec{u} · \vec{v} +‖ \vec{v} ‖²

‖ \vec{u} + \vec{v} ‖²=‖ \vec{u} ‖²+‖ \vec{v} ‖²

dans tous les cas

‖ \vec{u} + \vec{v} ‖= \vec{u} · \vec{v}

4. Dans une base orthonormée, que vaut (2;−1)·(3;4) ?

2

10

−7

5. Quelle forme choisir si deux normes et l’angle sont connus ?

\vec{u} · \vec{v} =‖ \vec{u} ‖‖ \vec{v} ‖cos(θ)

\vec{u} · \vec{v} =xx'+yy'

sans coordonnées Une dérivée

6. Dans Al-Kashi, quel terme accompagne l’angle Â entre les côtés b et c ?

−2bc cos(Â)

+2bc sin(Â)

−b−c

7. Quel lieu vérifie

\vec{M A} · \vec{M B} =0

? Le cercle de diamètre [AB] La médiatrice de [AB] La droite (AB)

8. Quelle égalité décrit la médiatrice de [AB] ?

MA=MB

\vec{M A} · \vec{M B} =0

MA+MB=0

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