De l’orthogonalité au projeté : une seule chaîne de raisonnement

Dans un repère orthonormé de l’espace, si les vecteurs u et v ont pour coordonnées $\text{u=(x;y;z)}$ et $\text{v=(x';y';z')}$, alors $\text{u·v=xx'+yy'+zz'}$. Tu multiplies les coordonnées de même rang, puis tu additionnes les trois produits.

Cette formule donne un nombre. Elle est cohérente avec la définition géométrique $\text{u·v=||u||×||v||×cos(θ)}$, où θ est l’angle formé par deux vecteurs non nuls. La formule coordonnée ne s’emploie telle quelle que dans un repère orthonormé.

Exemple résolu : pour les vecteurs $\text{u=(1;2;−1)}$ et $\text{v=(3;0;4)}$, $\text{u·v=1×3+2×0+(−1)×4=3+0−4=−1}$. Le résultat est négatif, mais cela ne suffit pas à nommer précisément l’angle sans calcul supplémentaire.

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Par exemple, $\text{(1;1;0)·(1;−1;2)=1−1+0=0}$ : ces deux vecteurs sont orthogonaux.

Pour passer des vecteurs aux objets géométriques, commence par nommer leurs directions. Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est normal à ce plan.

Une seule direction du plan ne suffit pas : deux droites d’un même plan peuvent être perpendiculaires entre elles. Pour prouver qu’un vecteur est normal au plan, vérifie qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires qui dirigent ce plan.

Un vecteur non nul n est normal à un plan lorsqu’il est orthogonal à toutes les directions de ce plan. En pratique, il suffit de vérifier $\text{n·u=0}$ et $\text{n·v=0}$ pour deux vecteurs u et v non colinéaires qui dirigent le plan.

Exemple résolu : $\text{u=(1;0;1)}$, $\text{v=(0;1;1)}$ et $\text{n=(1;1;−1)}$. On obtient $\text{n·u=1+0−1=0}$ et $\text{n·v=0+1−1=0}$. Comme les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, n est normal au plan qu’ils dirigent.

Un plan possède une infinité de vecteurs normaux colinéaires. Si n est normal, alors tout multiple λn avec λ non nul est aussi normal. Changer de multiple modifie les coefficients d’une équation, mais pas le plan représenté lorsque toute l’équation est multipliée par le même nombre non nul.

Tout plan de vecteur normal $\text{n=(a;b;c)}$, avec n non nul, admet une équation cartésienne $\text{ax+by+cz+d=0}$. Les coefficients a, b et c fixent la direction normale ; le nombre d place le plan dans l’espace.

Exemple résolu : cherchons le plan normal à $\text{(2;−1;3)}$ et passant par $\text{A(1;0;2)}$. On écrit $\text{2x−y+3z+d=0}$. Comme A appartient au plan, $\text{2×1−0+3×2+d=0}$, donc $\text{d=−8}$. Une équation est $\text{2x−y+3z−8=0}$.

Contrôle en deux temps : les coefficients de x, y et z doivent redonner un vecteur normal attendu, puis les coordonnées du point connu doivent annuler le membre de gauche. Une équation multipliée entièrement par un réel non nul décrit le même plan.

Pour $\text{M(}{x}_0\text{;}{y}_0\text{;}{z}_0\text{)}$ et le plan P d’équation $\text{ax+by+cz+d=0}$, la distance de M à P vaut $\text{|a}{x}_0\text{+b}{y}_0\text{+c}{z}_0\text{+}\frac{\text{d|}}{\text{√}}\text{(}{a}^2\text{+}{b}^2\text{+}{c}^2\text{)}$. Le dénominateur est la norme du vecteur normal (a;b;c), donc il n’est jamais nul pour un vrai plan.

Exemple résolu : pour $\text{M(0;0;0)}$ et P : $\text{2x−y+2z−3=0}$, le numérateur vaut $\text{|−3|=3}$ et le dénominateur vaut $\sqrt{\text{4+1+4}}\text{=3}$. La distance vaut donc 1.

La valeur absolue impose une distance positive. La division par la norme du vecteur normal rend le résultat indépendant de l’équation choisie : si toute l’équation est multipliée par 2, numérateur et dénominateur sont tous deux multipliés par 2.

Le projeté orthogonal H d’un point M sur un plan P satisfait deux conditions : H appartient à P et le vecteur MH est normal à P. Si n est un vecteur normal à P, tous les points de la droite perpendiculaire à P passant par M s’écrivent $\text{H=M+t}$ n.

Exemple résolu : projetons $\text{O(0;0;0)}$ sur P : $\text{x+2y+2z−3=0}$. Avec le vecteur normal $\text{n=(1;2;2)}$, on écrit $\text{H(t;2t;2t)}$. L’appartenance à P donne $\text{t+4t+4t−3=0}$, donc $\text{t=}\frac{1}{3}$ et $\text{H(}\frac{1}{3}\text{;}\frac{2}{3}\text{;}\frac{2}{3}\text{)}$.

Trois contrôles sécurisent le calcul : les coordonnées de H annulent l’équation du plan ; le vecteur MH est colinéaire au vecteur normal ; la longueur MH coïncide avec la distance obtenue par la formule de la section précédente.