Vecteurs du plan : coordonnées, Chasles et colinéarité

Ce que tu vas savoir faire

Relier vecteur, translation et représentants sans dépendre d’un emplacement.
Composer des déplacements par somme et relation de Chasles.
Lire, représenter et calculer les coordonnées d’un vecteur.
Multiplier un vecteur par un réel et le décomposer dans une base.
Calculer norme, distance et milieu dans un repère orthonormé.
Prouver colinéarité, alignement ou parallélisme avec un déterminant.

Avant de commencer

Lire les coordonnées d’un point.
Calculer avec des nombres relatifs et une racine carrée.
Distinguer direction, sens et longueur d’un segment orienté.

Le chapitre en bref

Un vecteur décrit un déplacement indépendamment de son point de départ. La relation de Chasles compose les étapes, les coordonnées enregistrent les déplacements signés, le produit par un réel change échelle et sens, et le déterminant teste la colinéarité. Pour prouver un alignement ou un parallélisme, on choisit des vecteurs liés à la conclusion, on calcule leurs coordonnées puis on applique un critère dont les hypothèses sont annoncées.

1. Pourquoi plusieurs flèches peuvent-elles représenter le même vecteur ?

Le vecteur MM’ est le déplacement de la translation qui envoie M sur M’. Une autre flèche AA’ représente le même vecteur si la même translation envoie A sur A’. L’emplacement change, mais pas le déplacement.

Pour un vecteur non nul, direction, sens et norme permettent de comparer deux représentants. Le vecteur nul AA a une norme nulle et des coordonnées (0;0), mais aucune direction ni aucun sens privilégié. Une définition par translation ou coordonnées traite ce cas sans exception artificielle.

Quel déplacement reste invariant ?

M(1 ; 2)M’(4 ; 1)u=(3 ; −1)A’=A+(3 ; −1)u≠0

ContrôleArrivée − départ=(3 ; −1)

Ce qui ne change pasMême direction, même sens, même norme si le vecteur est non nul

La flèche se déplace ; le vecteur décrit toujours la même translation.

2. Comment composer un itinéraire sans perdre l’ordre ?

Additionner u puis v revient à enchainer leurs translations : on place un représentant de v à la suite de u, puis on relie le départ initial à l’arrivée finale. Avec des points, AB+BC=AC : c’est la relation de Chasles.

Le point intermédiaire doit se raccorder : AB+CD ne se simplifie pas directement. On peut introduire un point utile, inverser un vecteur avec BA=−AB et regrouper les termes. Un schéma d’itinéraire contrôle l’ordre avant le calcul.

Les étapes se raccordent-elles ?

ABBCAB+BC=ACArrivée B = départ B

PiègeChanger l’ordre des points

LectureDépart initial → étapes → arrivée finale

Chasles est la trace algébrique d’un itinéraire correctement raccordé.

3. Pourquoi les coordonnées sont-elles des déplacements signés ?

Si A(xA;yA) et B(xB;yB), alors AB=(xB−xA;yB−yA). On soustrait arrivée moins départ. Une composante négative indique un déplacement vers la gauche ou vers le bas ; ce n’est pas une distance.

Dans une base (i,j), le vecteur u=(x;y) signifie u=xi+yj. Les sommes et produits se calculent composante par composante : (x;y)+(x’;y’)=(x+x’;y+y’) et λ(x;y)=(λx;λy). Représente ensuite le résultat pour contrôler le sens.

Que mesure chaque composante signée ?

A(2 ; 5)B(−1 ; 3)Δx=−1−2=−3Δy=3−5=−2AB=(−3 ; −2)

ContrôleA+AB=B

PiègePrendre des valeurs absolues

Les coordonnées conservent le sens du déplacement : arrivée moins départ.

4. Que change la multiplication par un réel ?

Le vecteur λu a la même direction que u si u est non nul. Si λ>0, il garde le sens ; si λ<0, il l’inverse ; sa norme est |λ|×||u||. Si λ=0, le résultat est le vecteur nul.

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si l’un est un multiple réel de l’autre. Dans le plan, deux vecteurs non colinéaires i et j forment une base : chaque vecteur s’écrit de façon unique xi+yj. Cette décomposition sépare les deux directions de travail.

Comment le scalaire transforme-t-il la flèche ?

u=(2 ; −1)λ=33u=(6 ; −3)Même directionMême sens

Norme||3u||=3||u||

ContrôleMultiplier chaque composante par λ

Le signe de λ règle le sens ; |λ| règle l’échelle.

5. Quand la norme et le milieu exigent-ils un repère orthonormé ?

Dans une base orthonormée, ||(x;y)||=√(x²+y²). Donc AB=||AB||=√((xB−xA)²+(yB−yA)²). L’orthonormalité est essentielle à cette formule de Pythagore.

Le milieu I de [AB] vérifie AI=IB et ses coordonnées sont ((xA+xB)/2;(yA+yB)/2). Cette moyenne est affine et ne requiert pas l’orthonormalité. Distinguer outil métrique et outil affine évite d’ajouter des hypothèses inutiles.

Quel calcul dépend de l’orthonormalité ?

A(1 ; 2)B(4 ; 6)AB=(3 ; 4)AB=5I(2,5 ; 4)

HypothèseRepère orthonormé pour √(x²+y²)

Contrôle3²+4²=25

La distance est métrique ; le milieu se calcule par moyennes dans tout repère.

6. Comment un nombre prouve-t-il un alignement ou un parallélisme ?

Dans une base du plan, pour u=(x;y) et v=(x’;y’), det(u,v)=xy’−yx’. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. La base n’a pas besoin d’être orthonormée pour ce critère.

Pour prouver que A, B et C sont alignés, calcule AB et AC puis det(AB,AC). Pour prouver que deux droites sont parallèles, choisis un vecteur directeur de chacune. Annonce les vecteurs, leurs coordonnées, le déterminant et la conclusion géométrique.

Le déterminant répond-il à la bonne question ?

Alignement de A, B, CAB=(2 ; 3)AC=(4 ; 6)2×6−3×4det=0

ConclusionAB et AC colinéaires, donc A, B, C alignés

ContrôleLes deux vecteurs portent bien les points étudiés

Un déterminant nul devient une preuve seulement après retour à la géométrie.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Déplacement libre.
Chasles raccordé.
Composantes signées.
Scalaire interprété.
Métrique qualifiée.
Déterminant conclu.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Deux flèches représentent le même vecteur si… elles décrivent la même translation elles ont le même point de départ elles sont dessinées au même endroit

2. Que vaut AB+BC ? AC CA Le vecteur nul

3. A(2;5) et B(−1;3). Quelles sont les coordonnées de AB ? (−3;−2) (3;2) (1;8)

4. Si u=(2;−3), que vaut −2u ? (−4;6) (4;−6) (0;0)

5. Dans une base orthonormée, quelle est la norme de (3;4) ? 5 7 25

6. Quel est le milieu de A(0;2) et B(6;−4) ? I(3;−1) I(6;−2) I(3;3)

7. Quand u et v sont-ils colinéaires dans une base du plan ? Lorsque det(u,v)=0 Lorsque leurs normes sont égales Lorsque det(u,v)=1

8. Pour prouver A, B et C alignés, quel couple est directement pertinent ? AB et AC AA et BB Deux vecteurs sans lien avec les points

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