Comment passer d’une évolution discrète à une suite sans confondre accroissement et taux ?

Une suite numérique est une fonction définie sur tout ou partie de $\text{ℕ}$. Elle associe à chaque indice $n$ un nombre $u_n$. Les écritures $\text{u(n)}$, $u_n$, $\text{(u(n))}$ et $\text{(}{u}_n\text{)}$ distinguent le terme et la suite entière. Avant tout calcul, annonce l’ensemble des indices, le premier terme et ce que représente un pas.

La liste 7, 10, 13, 16 peut commencer à $u_0\text{= 7}$ ou à $v_1\text{= 7}$. Alors $u_n\text{= 7+3n}$, tandis que $v_n\text{= 7+3(n−1)}$. Les valeurs sont identiques mais les indices sont décalés : vérifier le premier terme dans la formule révèle immédiatement une convention incohérente.

Une formule explicite $u_n\text{=f(n)}$ donne directement le terme d’indice $n$. Une récurrence $u_{\mathrm{n+1}}\text{=f(}{u}_n\text{)}$ exige un état initial puis des itérations successives. Un algorithme décrit ces opérations avec des affectations ; un motif géométrique ou combinatoire fait naître la règle par dénombrement.

Passe d’un registre à l’autre pour contrôler la règle : phrase, formule, tableau, nuage de points et programme doivent produire les mêmes premiers termes. Avec une récurrence, ne remplace pas arbitrairement $u_n$ par $n$ ; avec un motif, justifie la formule par une décomposition qui fonctionne à tout rang.

La suite est arithmétique de raison $r$ lorsque, pour tout indice admissible, $u_{\mathrm{n+1}}\text{=}{u}_n\text{+r}$, donc $u_{\mathrm{n+1}}\text{−}{u}_n\text{=r}$. Depuis un terme de référence $\text{uₚ}$, après $\text{n−p}$ pas, $u_n\text{=uₚ+(n−p)r}$. Ainsi $u_n\text{=}{u}_0\text{+nr}$ si la suite commence à 0, mais $u_n\text{=}{u}_1\text{+(n−1)r}$ si elle commence à 1.

Cette répétition additive modélise une évolution discrète à quantité ajoutée constante et correspond aux valeurs d’une fonction affine sur les entiers. Pour démontrer la formule générale, écris les accroissements successifs ou utilise une récurrence ; pour reconnaître le modèle, calcule plusieurs différences et vérifie qu’elles sont toutes égales.

La suite est géométrique de raison $q$ lorsque $u_{\mathrm{n+1}}\text{=q}{u}_n$ pour tout indice admissible. Depuis $\text{uₚ}$, répéter $\text{n−p}$ fois le facteur donne $u_n\text{=uₚ}{q}^{\text{n−p}}$. Cette définition reste valable si un terme est nul ; écrire $\frac{u_{\mathrm{n+1}}}{u_n}\text{=q}$ n’est permis que lorsque $u_n\text{≠0}$.

Une hausse de taux $t$ correspond au coefficient multiplicateur $\text{q=1+t}$ lorsque $t$ est écrit en décimal. Ainsi $\text{+3}$ % donne $\text{q=1,03}$, tandis que $\text{−20}$ % donne $\text{q=0,80}$. Une quantité retirée fixe et un pourcentage retiré ne décrivent donc pas le même mécanisme.

Une suite est croissante si $u_{\mathrm{n+1}}\text{≥}{u}_n$ pour tout indice admissible, strictement croissante avec $\text{>}$, et décroissante avec l’inégalité inverse. La méthode générale étudie le signe de $u_{\mathrm{n+1}}\text{−}{u}_n$. Une suite arithmétique suit le signe de $r$.

Pour une suite géométrique, $u_{\mathrm{n+1}}\text{−}{u}_n\text{=}{u}_n\text{(q−1)}$. Il faut donc connaître le signe de $u_n$ en plus de celui de $\text{q−1}$. Si $u_0\text{>0}$ et $\text{q>1}$, elle est strictement croissante ; si , elle est strictement décroissante. Une raison négative peut produire une alternance sans monotonie.

Entre les indices $p$ et $n$ inclus, il y a $\text{n−p+1}$ termes. Pour une suite arithmétique, la somme vaut nombre de termes multiplié par la moyenne des extrêmes : $\text{uₚ+…+}{u}_n\text{=}\frac{\text{(n−p+1)(uₚ+}{u}_n\text{)}}{2}$. En particulier, $\text{1+2+…+n=}\frac{\text{n(n+1)}}{2}$.

Pour $\text{q≠1}$, pose $\text{S=1+q+…+}{q}^{\mathrm{n}}$. La soustraction de $\text{qS}$ et $S$ fait disparaître les termes intermédiaires et donne $\text{S=}\frac{\text{1−}{q}^{\mathrm{n+1}}}{\text{1−q}}$. Si $\text{q=1}$, la fraction est interdite et la somme vaut simplement $\text{n+1}$.

Définis l’état $u_n$, son unité, l’indice $n$ et la durée d’un pas. Une quantité ajoutée fixe conduit à $u_{\mathrm{n+1}}\text{=}{u}_n\text{+r}$ ; un taux fixe conduit à $u_{\mathrm{n+1}}\text{=q}{u}_n$. Un capital avec intérêts puis annuité constante suit plutôt $u_{\mathrm{n+1}}\text{=q}{u}_n\text{−A}$ : il n’est en général ni arithmétique ni géométrique.

Le contexte ne prouve pas le modèle. Vérifie si le mécanisme reste stable, si les données ont la même périodicité et si les écarts entre observations et prédictions restent acceptables pour l’usage. Population, capital et décroissance radioactive peuvent suivre un modèle géométrique sur un domaine limité, jamais par simple étiquette.

En Première, la limite reste intuitive. Des valeurs, un graphique ou un algorithme peuvent faire conjecturer qu’une suite se rapproche d’un réel, dépasse toute borne ou oscille sans limite. Pour chercher le premier rang où $u_n\text{≥M}$, initialise $n$ et $u$, répète tant que le seuil n’est pas atteint, puis renvoie le rang en contrôlant le terme précédent.

Fibonacci demande de mémoriser deux termes et se calcule efficacement par itération. Syracuse applique une règle différente selon la parité : les essais nourrissent l’exploration, mais aucune quantité de cas testés ne démontre une propriété universelle. Distingue toujours valeur calculée, conjecture, propriété démontrée et problème ouvert.