Suites numériques et modèles discrets | Première spécialité maths

Ce que tu vas savoir faire

Fixer le contrat d’indexation et passer entre suite, fonction, liste et représentation graphique.
Calculer des termes par formule explicite, récurrence, algorithme ou motif.
Reconnaître, démontrer et exploiter une suite arithmétique.
Reconnaître, démontrer et exploiter une suite géométrique, y compris avec un terme nul.
Déterminer le sens de variation avec les hypothèses de signe nécessaires.
Calculer une somme de termes consécutifs arithmétiques ou géométriques.
Construire et valider un modèle discret linéaire, exponentiel ou affine.
Conjecturer une limite simple et programmer un calcul de terme, de somme ou de seuil.

Vérifie tes prérequis

Calculer avec puissances, pourcentages, fractions et expressions littérales.
Lire une fonction, un tableau de valeurs et un graphique.
Comprendre affectation, condition et boucle en algorithmique.

Le chapitre en bref

Une suite modélise un état observé à des instants ou rangs discrets. On fixe d’abord ses indices, son terme initial et son unité, puis on choisit un mode de génération : formule explicite, récurrence, algorithme ou motif. Un accroissement constant produit une suite arithmétique ; un taux constant produit une suite géométrique. Les formules de terme général, de somme et de variation découlent de cette opération répétée et doivent conserver le bon nombre de pas. Enfin, calculs et algorithmes permettent de conjecturer un comportement ou de chercher un seuil, mais le modèle reste soumis à ses hypothèses et l’expérience numérique ne remplace pas une preuve.

1. Quel contrat transforme une liste en suite ?

Une suite numérique est une fonction définie sur tout ou partie de $ℕ$ . Elle associe à chaque indice $n$ un nombre $u_{n}$ . Les écritures $u(n)$ , $u_{n}$ , $(u(n))$ et $(u_{n})$ distinguent le terme et la suite entière. Avant tout calcul, annonce l’ensemble des indices, le premier terme et ce que représente un pas.

La liste 7, 10, 13, 16 peut commencer à $u_{0} = 7$ ou à $v_{1} = 7$ . Alors $u_{n} = 7+3n$ , tandis que $v_{n} = 7+3(n−1)$ . Les valeurs sont identiques mais les indices sont décalés : vérifier le premier terme dans la formule révèle immédiatement une convention incohérente.

Indice initial → formule → terme visé

Où commence la suite ?

Premier terme $u_{0} = 7$ Récurrence $u_{n+1} = u_{n} + 3$ Trois pas $u_{3} = 7 + 3×3$ Résultat $u_{3} = 16$

De 0 à 3, on effectue trois accroissements : l’indice est un compteur, pas une décoration.

2. Comment produire un terme sans confondre formule et procédure ?

Une formule explicite $u_{n} =f(n)$ donne directement le terme d’indice $n$ . Une récurrence $u_{n+1} =f(u_{n})$ exige un état initial puis des itérations successives. Un algorithme décrit ces opérations avec des affectations ; un motif géométrique ou combinatoire fait naître la règle par dénombrement.

Passe d’un registre à l’autre pour contrôler la règle : phrase, formule, tableau, nuage de points et programme doivent produire les mêmes premiers termes. Avec une récurrence, ne remplace pas arbitrairement $u_{n}$ par $n$ ; avec un motif, justifie la formule par une décomposition qui fonctionne à tout rang.

Quatre modes de génération, quatre gestes

Comment la règle produit-elle les termes ?

Règle $u_{n} = n^{2} + 1$ Entrée $n = 4$ Calcul $u_{4} = 4^{2} + 1$ Sortie $u_{4} = 17$

La formule explicite atteint directement le terme d’indice n.

3. Quand un accroissement constant produit-il une suite arithmétique ?

La suite est arithmétique de raison $r$ lorsque, pour tout indice admissible, $u_{n+1} = u_{n} +r$ , donc $u_{n+1} − u_{n} =r$ . Depuis un terme de référence $uₚ$ , après $n−p$ pas, $u_{n} =uₚ+(n−p)r$ . Ainsi $u_{n} = u_{0} +nr$ si la suite commence à 0, mais $u_{n} = u_{1} +(n−1)r$ si elle commence à 1.

Cette répétition additive modélise une évolution discrète à quantité ajoutée constante et correspond aux valeurs d’une fonction affine sur les entiers. Pour démontrer la formule générale, écris les accroissements successifs ou utilise une récurrence ; pour reconnaître le modèle, calcule plusieurs différences et vérifie qu’elles sont toutes égales.

Accroissement constant ≠ simple allure régulière

Un même ajout se répète-t-il à chaque pas ?

Test $u_{n+1} − u_{n} = r$ Récurrence $u_{n+1} = u_{n} + r$ Depuis p $u_{n} = uₚ + (n−p)r$ Naturesuite arithmétique

La différence constante est valable pour tout indice admissible, pas seulement sur deux termes.

4. Pourquoi un taux constant devient-il un facteur constant ?

La suite est géométrique de raison $q$ lorsque $u_{n+1} =q u_{n}$ pour tout indice admissible. Depuis $uₚ$ , répéter $n−p$ fois le facteur donne $u_{n} =uₚ q^{n−p}$ . Cette définition reste valable si un terme est nul ; écrire $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} =q$ n’est permis que lorsque $u_{n} ≠0$ .

Une hausse de taux $t$ correspond au coefficient multiplicateur $q=1+t$ lorsque $t$ est écrit en décimal. Ainsi +3 % donne $q=1,03$ , tandis que −20 % donne $q=0,80$ . Une quantité retirée fixe et un pourcentage retiré ne décrivent donc pas le même mécanisme.

Taux constant → coefficient constant

Un même facteur se répète-t-il à chaque pas ?

Récurrence $u_{n+1} = q u_{n}$ Depuis p $u_{n} = uₚ q^{n−p}$ Contrôlemême facteur qNaturesuite géométrique

La récurrence définit la suite même lorsqu’un terme est nul ; un quotient, lui, peut être interdit.

5. Comment établir le sens de variation sans raccourci faux ?

Une suite est croissante si $u_{n+1} ≥ u_{n}$ pour tout indice admissible, strictement croissante avec $>$ , et décroissante avec l’inégalité inverse. La méthode générale étudie le signe de $u_{n+1} − u_{n}$ . Une suite arithmétique suit le signe de $r$ .

Pour une suite géométrique, $u_{n+1} − u_{n} = u_{n} (q−1)$ . Il faut donc connaître le signe de $u_{n}$ en plus de celui de $q−1$ . Si $u_{0} >0$ et $q>1$ , elle est strictement croissante ; si $0<q<1$ , elle est strictement décroissante. Une raison négative peut produire une alternance sans monotonie.

Pour tout n, avec les hypothèses de signe

Quel signe contrôle réellement la variation ?

Objet $u_{n+1} − u_{n}$ Résultat $2n + 1$ Pour n naturel $2n + 1 > 0$ Conclusionu strictement croissante

La différence est la méthode générale : son signe doit être établi pour tous les indices concernés.

6. Comment additionner sans perdre les bornes ni un terme ?

Entre les indices $p$ et $n$ inclus, il y a $n−p+1$ termes. Pour une suite arithmétique, la somme vaut nombre de termes multiplié par la moyenne des extrêmes : $uₚ+…+ u_{n} = \frac{(n−p+1)(uₚ+ u_{n})}{2}$ . En particulier, $1+2+…+n= \frac{n(n+1)}{2}$ .

Pour $q≠1$ , pose $S=1+q+…+ q^{n}$ . La soustraction de $qS$ et $S$ fait disparaître les termes intermédiaires et donne $S= \frac{1− q^{n+1}}{1−q}$ . Si $q=1$ , la fraction est interdite et la somme vaut simplement $n+1$ .

Bornes → nombre de termes → formule

Combien de termes additionnes-tu ?

Somme $1 + 2 + … + n$ Nombre de termes $n$ Moyenne extrêmes $\frac{1+n}{2}$ Résultat $\frac{n(n+1)}{2}$

La formule additionne les entiers de 1 à n ; elle ne signifie pas une vague somme de n nombres.

7. Comment choisir puis valider un modèle discret ?

Définis l’état $u_{n}$ , son unité, l’indice $n$ et la durée d’un pas. Une quantité ajoutée fixe conduit à $u_{n+1} = u_{n} +r$ ; un taux fixe conduit à $u_{n+1} =q u_{n}$ . Un capital avec intérêts puis annuité constante suit plutôt $u_{n+1} =q u_{n} −A$ : il n’est en général ni arithmétique ni géométrique.

Le contexte ne prouve pas le modèle. Vérifie si le mécanisme reste stable, si les données ont la même périodicité et si les écarts entre observations et prédictions restent acceptables pour l’usage. Population, capital et décroissance radioactive peuvent suivre un modèle géométrique sur un domaine limité, jamais par simple étiquette.

Unité, pas de temps, hypothèses et contrôle

Le contexte ajoute-t-il ou multiplie-t-il ?

Étatstock mensuelPasun moisRègle $u_{n+1} = u_{n} + 25$ Modèlearithmétique

Une même quantité ajoutée à chaque pas produit un accroissement constant.

8. Que montrent une limite intuitive et un algorithme de seuil ?

En Première, la limite reste intuitive. Des valeurs, un graphique ou un algorithme peuvent faire conjecturer qu’une suite se rapproche d’un réel, dépasse toute borne ou oscille sans limite. Pour chercher le premier rang où $u_{n} ≥M$ , initialise $n$ et $u$ , répète tant que le seuil n’est pas atteint, puis renvoie le rang en contrôlant le terme précédent.

Fibonacci demande de mémoriser deux termes et se calcule efficacement par itération. Syracuse applique une règle différente selon la parité : les essais nourrissent l’exploration, mais aucune quantité de cas testés ne démontre une propriété universelle. Distingue toujours valeur calculée, conjecture, propriété démontrée et problème ouvert.

Seuil, intuition de limite et statut de preuve

Que permet d’affirmer l’exploration ?

Suite $u_{n} = 100×1, 08^{n}$ Questionpremier n tel que $u_{n} ≥ 200$ Algorithmetant que u<200 : n←n+1 ; u←1,08uSortiepremier rang franchissant le seuil

La boucle doit rendre le premier rang, pas seulement une valeur supérieure au seuil.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Le contrat d’indexation précède la formule.
Explicite et récurrence sont deux modes différents de génération.
Accroissement constant signifie suite arithmétique.
Taux constant signifie suite géométrique.
La variation exige un signe valable pour tout indice.
Les bornes déterminent le nombre de termes d’une somme.
Un modèle discret doit être validé, pas seulement nommé.
Algorithme, conjecture et preuve ont des statuts distincts.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Une suite arithmétique vérifie u₀=5 et r=3. Que vaut u₄ ?

u_{4} =17

u_{4} =14

u_{4} =20

2. La même liste commence par v₁=5 et a pour raison 3. Quelle formule convient ?

v_{n} =5+3(n−1)

v_{n} =5+3n

v_{n} =5× 3^{n}

3. Quel modèle traduit une hausse de 4 % à chaque période ?

u_{n+1} =1,04 u_{n}

u_{n+1} = u_{n} +4

u_{n+1} =0,04 u_{n}

4. Pourquoi la relation uₙ₊₁/uₙ=q n’est-elle pas une définition universelle ? Elle est interdite lorsque

u_{n} =0

Une raison ne peut jamais être nulle Une suite n’a pas de termes consécutifs

5. Si u₀>0 et 0<q<1, comment varie la suite géométrique uₙ=u₀qⁿ ? Elle est strictement décroissante Elle est strictement croissante Elle alterne toujours de signe

6. Combien de termes contient u₃+u₄+…+u₁₀ ?

10−3+1=8

10−3=7

10+3=13

7. Avec intérêts de 2 % puis annuité A, quelle récurrence décrit le capital restant ?

u_{n+1} =1,02 u_{n} −A

u_{n+1} = u_{n} −A

toujours

u_{n+1} =1,02A

8. Un programme teste un million de trajectoires de Syracuse qui atteignent 1. Que peut-on conclure ? La conjecture est vérifiée sur ces cas, pas démontrée pour tout entier La conjecture est démontrée universellement Aucune trajectoire n’atteint 1

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