Calculer une accumulation, pas mémoriser un symbole

Une primitive F de f sur un intervalle est une fonction telle que $\text{F'=f}$. Une même fonction possède plusieurs primitives : elles diffèrent d'une constante. Par exemple, si $\text{f(x)=2x}$, les fonctions $x^2\text{+C}$ sont des primitives de f.

La vérification la plus sûre consiste à dériver la candidate. Il ne faut pas inverser mécaniquement les règles de dérivation : la condition porte sur la dérivée de F, pas sur une ressemblance visuelle entre deux expressions.

Avant une intégrale, vérifie donc la primitive par une ligne de calcul.

L'intégrale de f de a à b additionne les contributions de f sur l'intervalle [a,b]. Si f est une vitesse en mètres par seconde et la variable le temps en secondes, l'intégrale produit une distance algébrique en mètres. Les unités aident à contrôler le sens du résultat.

Lorsque f est positive, cette accumulation peut se lire comme une aire géométrique. Lorsque f passe sous l'axe des abscisses, les contributions négatives sont soustraites : l'intégrale devient une aire algébrique. Le dessin est alors un outil de contrôle indispensable.

Le mot « aire » doit donc être utilisé avec la condition de signe appropriée.

Pour une fonction continue f et une primitive F, la relation fondamentale donne $\text{∫ᵃᵇ}$ $\text{f(x)}$ dx = $\text{F(b)}$ − $\text{F(a)}$. L'ordre est essentiel : valeur à la borne supérieure moins valeur à la borne inférieure. Changer les bornes change le signe du résultat.

Exemple : pour $\text{f(x)=3}{x}^2$ sur [1,2], une primitive est $\text{F(x)=}{x}^3$. L'intégrale vaut $2^3\text{−}{1}^3\text{=7}$. Écrire $\text{F(2)−F(1)}$ avant de remplacer les valeurs évite les erreurs de parenthèses et de signe.

Une ligne d'organisation du calcul est plus sûre qu'un résultat donné directement.

L'intégrale est linéaire : l'intégrale de $\text{f+g}$ est la somme des intégrales, et l'intégrale de kf est k fois l'intégrale de f. Elle est aussi additive sur les intervalles : intégrer de a à c revient à intégrer de a à b puis de b à c.

Ces propriétés servent à découper un problème ou à simplifier une expression, mais elles exigent de conserver les mêmes bornes et les mêmes fonctions. En particulier, l'intégrale d'un produit n'est pas en général le produit des intégrales.

Quand une propriété est employée, écris l'égalité complète avant de calculer.

Si m ≤ $\text{f(x)}$ ≤ M sur [a,b], alors $\text{m(b−a)}$ ≤ $\text{∫ᵃᵇ}$ $\text{f(x)}$ dx ≤ $\text{M(b−a)}$. Cette propriété compare une accumulation à celles de fonctions constantes. Elle est utile quand aucune primitive simple n'est disponible ou lorsqu'on cherche une estimation contrôlée.

Le signe de $\text{b−a}$ est ici positif car . Il faut aussi avoir vérifié que l'encadrement vaut sur tout l'intervalle, et non en quelques points. Un graphique peut suggérer un encadrement ; une démonstration ou une étude de variation le justifie.

Un encadrement est une information quantitative, pas une approximation vague.

Dans une modélisation, l'intégrale relie une grandeur instantanée à une grandeur cumulée. Une consommation électrique instantanée intégrée dans le temps donne une énergie ; un débit intégré donne un volume. Il faut écrire les unités de la fonction, de la variable et du résultat.

Le résultat peut être négatif s'il mesure une variation nette, par exemple un solde. Ce signe n'indique pas une « aire négative » au sens géométrique ; il indique le sens d'une variation dans le modèle. La question posée détermine ensuite s'il faut une valeur absolue ou une somme d'aires.

Interpréter, c'est relier le calcul à la grandeur étudiée et à ses unités.