Dérivation : taux de variation, tangente et règles

Ce que tu vas savoir faire

Calculer et interpréter un taux de variation comme pente de sécante avec ses unités.
Conjecturer puis établir un nombre dérivé par le comportement du taux lorsque h tend vers zéro.
Construire et contrôler l’équation d’une tangente.
Utiliser l’approximation linéaire pour un petit déplacement et qualifier l’erreur.
Dériver fonctions affine, puissances, inverse et racine sur leurs domaines.
Appliquer les règles de somme, produit, inverse et quotient.
Suivre les démonstrations exemplaires demandées par le programme 2026.
Interpréter une dérivée en géométrie, cinématique ou économie avec unité et portée.

Vérifie tes prérequis

Calculer un taux de variation et le coefficient directeur d’une droite.
Développer, factoriser et manipuler fractions et racines.
Lire une courbe, un domaine et une équation de droite.

Le chapitre en bref

Le taux de variation entre deux points est la pente d’une sécante. Lorsque le second point se rapproche du premier et que ces pentes se stabilisent vers une valeur finie, cette valeur est le nombre dérivé f′(a), pente de la tangente au point d’abscisse a. La tangente a pour équation y=f(a)+f′(a)(x−a) et fournit l’approximation locale f(a+h)≈f(a)+f′(a)h pour un petit déplacement h. Les dérivées usuelles et les règles de somme, produit, inverse et quotient se calculent sur leurs domaines ; leurs formules viennent de taux de variation simplifiés, pas d’une simple table à réciter. Toute interprétation précise variable, point, unité et portée locale.

1. Que mesure la pente entre deux points de la courbe ?

Pour deux abscisses distinctes $a$ et $b$ , le taux de variation de $f$ vaut $\frac{f(b)−f(a)}{b−a}$ . C’est le coefficient directeur de la sécante passant par $A(a;f(a))$ et $B(b;f(b))$ . Inverser simultanément A et B change les deux signes et conserve le quotient.

Le taux porte une unité : si $x$ est en secondes et $f(x)$ en mètres, il s’exprime en mètres par seconde. Le dénominateur ne peut pas être nul. Avant tout calcul, nomme donc variable d’entrée, grandeur de sortie, deux points et unité du quotient.

Deux points → deux variations → un quotient

Quelle pente mesure la sécante ?

Fonction $f(x)= x^{2}$ Points $a=2;b=5$ Taux $\frac{f(5)−f(2)}{5−2} = \frac{25−4}{3}$ Pente $7$

Le taux mesure la variation moyenne de f par unité de x entre deux points.

2. Quand les sécantes déterminent-elles un nombre dérivé ?

Écris le second point sous la forme $a+h$ avec $h≠0$ . Le taux devient $\frac{f(a+h)−f(a)}{h}$ . Observe des valeurs positives et négatives de $h$ qui se rapprochent de zéro, puis simplifie algébriquement. Si les taux se rapprochent d’une même valeur finie, $f$ est dérivable en $a$ et cette valeur est $f'(a)$ .

L’existence de $f(a)$ ne suffit pas. Pour $f(x)=|x|$ en 0, les pentes valent −1 à gauche et 1 à droite. Pour $f(x)= \sqrt{x}$ , les taux depuis 0 valent $\frac{1}{\sqrt{h}}$ pour $h>0$ et ne tendent vers aucune valeur finie. Ces échecs donnent un sens géométrique aux angles et tangentes verticales.

Pas h → taux → limite intuitive → statut

Les pentes se stabilisent-elles vers une valeur finie ?

Fonction $f(x)= x^{2};a=2$ Taux $\frac{f(2+h)−f(2)}{h} =4+h$ Quand h→0 $4+h→4$ Nombre dérivé $f'(2)=4$

Les pentes des sécantes se rapprochent de 4 des deux côtés.

3. Comment écrire la tangente sans perdre le point de contact ?

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ passe par $A(a;f(a))$ et a pour pente $f'(a)$ . La forme point-pente donne $y−f(a)=f'(a)(x−a)$ , donc $y=f(a)+f'(a)(x−a)$ .

Contrôle l’équation en remplaçant $x$ par $a$ : tu dois obtenir $y=f(a)$ . Puis lis le coefficient de $x$ après réduction : il doit être $f'(a)$ . Si $f'(a)=0$ , la tangente est horizontale, mais cela ne prouve pas à lui seul un maximum ou un minimum.

Point connu + pente dérivée

Comment une pente devient-elle une droite ?

Point $A(a;f(a))$ Pente $f'(a)$ Point-pente $y−f(a)=f'(a)(x−a)$ Tangente $y=f(a)+f'(a)(x−a)$

L’équation vient de la forme point-pente d’une droite, pas d’une formule isolée.

4. Pourquoi la tangente fournit-elle une approximation locale ?

Près de $a$ , un petit déplacement $h$ produit approximativement la variation $f'(a)h$ . Ainsi $f(a+h)≈f(a)+f'(a)h$ . La partie droite est la valeur de la tangente à l’abscisse $a+h$ : elle remplace localement la courbe par une fonction affine.

Cette approximation n’est pas une égalité générale. Annonce le point de développement, la taille et l’unité de $h$ , puis compare si possible à une valeur exacte ou calculée. Plus on s’éloigne, plus la courbure peut rendre l’erreur importante ; une tangente ne constitue pas un modèle global automatique.

Petit déplacement h autour de a

Jusqu’où la tangente approxime-t-elle la courbe ?

Formule $f(a+h)≈f(a)+f'(a)h$ Donnée $f(x)= x^{2};a=3;h=0,02$ Approximation $9+6×0,02=9,12$ Exact $3, 02^{2} =9,1204$

L’erreur est petite ici parce que h est petit, mais elle n’est pas nulle.

5. Quelles dérivées de référence exigent un domaine ?

Pour une constante, la dérivée est nulle ; pour $mx+p$ , elle vaut $m$ . Pour $n∈ℤ$ , $(x^{n})'=n x^{n−1}$ sur le domaine où la puissance initiale est définie. On retrouve notamment carré, cube et inverse : $(\frac{1}{x})'=− \frac{1}{x^{2}}$ pour $x≠0$ .

Pour $x>0$ , $(\sqrt{x})'= \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ . La fonction racine existe en 0 mais n’y possède pas de nombre dérivé fini. Une table de formules sans domaine fabrique donc des valeurs interdites ; le passeport de la fonction initiale accompagne toujours sa dérivée.

Fonction → dérivée → condition

Quelle formule de référence est autorisée sur quel domaine ?

Fonction $f(x)= x^{n}$ Entier $n∈ℤ$ Dérivée $f'(x)=n x^{n−1}$ Domaineexclure $x=0$ si la puissance initiale l’exige

Un exposant négatif introduit un quotient : le domaine initial accompagne la dérivée.

6. Comment dériver une expression composée d’opérations ?

Si $f$ et $g$ sont dérivables, $(f+g)'=f'+g'$ et $(fg)'=f'g+fg'$ . Pour $g≠0$ , $(\frac{1}{g})'= \frac{−g'}{g^{2}}$ et $(\frac{f}{g})'= \frac{f'g−fg'}{g^{2}}$ . Le domaine du quotient exclut tous les zéros de $g$ , même si une simplification ultérieure les masque.

Repère la structure avant de calculer : somme, produit, inverse ou quotient. Pour un produit, les deux contributions sont nécessaires ; pour un quotient, conserve l’ordre premier dérivé fois second moins premier fois second dérivé. Développer sans objectif peut cacher la règle la plus courte.

Domaine d’abord, règle ensuite

Quelle règle conserve la structure de l’expression ?

Fonction $F=f+g$ Conditionf et g dérivablesRègle $F'=f'+g'$ Contrôlelinéarité

Une constante multiplicative peut aussi sortir : (λf)'=λf'.

7. Comment les taux de variation démontrent-ils les formules ?

Pour le carré, $\frac{{(x+h)}^{2} − x^{2}}{h} = \frac{2xh+ h^{2}}{h} =2x+h$ lorsque $h≠0$ , puis le taux tend vers $2x$ . Pour l’inverse, mettre au même dénominateur fait apparaître un facteur $h$ et conduit à $− \frac{1}{x^{2}}$ pour $x≠0$ .

Pour le produit, ajoute et retire $f(x+h)g(x)$ dans la variation de $fg$ : elle se sépare en une contribution de $f$ et une de $g$ , d’où $(fg)'=f'g+fg'$ . Pour la racine en 0, $\frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$ ne tend pas vers une valeur finie. Chaque preuve simplifie pour $h≠0$ avant le passage à la limite.

Taux exact avant passage à la limite

Quelle décomposition fait disparaître le h ?

Taux $\frac{{(x+h)}^{2} − x^{2}}{h}$ Développer $\frac{2xh+ h^{2}}{h}$ Simplifier h≠0 $2x+h$ Limite $(x^{2})'=2x$

On simplifie pour h non nul, puis seulement on étudie h qui tend vers 0.

8. Que signifie la dérivée dans le contexte et jusqu’où ?

En géométrie, $f'(a)$ est une pente ; en cinématique, $s'(t)$ est une vitesse instantanée signée ; en économie, $C'(q)$ est un coût marginal continu en euros par unité. Dans chaque cas, précise la variable, le point, les unités des deux axes et le sens du signe.

Pour une quantité réellement discrète, une dérivée peut approximer l’effet d’une unité supplémentaire mais ne remplace pas l’écart exact. Un algorithme peut produire la liste des coefficients directeurs de sécantes pour des pas décroissants ; il rend une stabilisation visible, puis le calcul ou une propriété en justifie la portée.

Entrée, sortie, unité, point et portée

Que signifie le nombre dérivé dans ce contexte ?

Fonctionposition $s(t)$ en mDérivée $s'(t)$ Unitém·s⁻¹Sensvitesse instantanée signée

La valeur absolue donnerait la célérité ; le signe conserve le sens du mouvement sur l’axe.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Une sécante mesure un taux moyen.
Le nombre dérivé est une limite finie éventuelle.
La tangente combine point et pente.
L’approximation linéaire est locale.
Les dérivées usuelles gardent leurs domaines.
Produit et quotient ont des règles structurelles.
Les formules se démontrent par des taux simplifiés.
Toute interprétation précise point, unité et portée.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Quel quotient est le taux de variation de f entre a et b, avec a≠b ?

\frac{f(b)−f(a)}{b−a}

\frac{f(b)+f(a)}{b+a}

f'(a)

dans tous les cas

2. Pour f(x)=x², vers quelle valeur tend le taux en a=2 ?

4

2

0

3. Quelle est l’équation de la tangente en a ?

y=f(a)+f'(a)(x−a)

y=f'(a)+f(a)x

y=f(a)(x−a)

4. Que signifie f(a+h)≈f(a)+f′(a)h ? La tangente approxime localement la courbe pour h petit La fonction est affine partout L’erreur est toujours nulle

5. Quelle est la dérivée de √x pour x>0 ?

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

2 \sqrt{x}

\frac{1}{x}

6. Quelle est la dérivée d’un produit fg ?

f'g+fg'

f'g'

f'+g'

7. Pourquoi la fonction |x| n’est-elle pas dérivable en 0 ? Les pentes limites à gauche et à droite valent −1 et 1 |0| n’existe pas Sa courbe est une droite unique

8. Si s est en mètres et t en secondes, quelle est l’unité de s′(t) ? m·s⁻¹ m² s·m⁻¹

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