Comment une pente moyenne devient‑elle un nombre dérivé puis une tangente ?

Une voiture a parcouru 20 mètres au bout de 2 secondes et 45 mètres au bout de 3 secondes. Pendant cette seconde, sa position a augmenté de 25 mètres : sa vitesse moyenne vaut 25 mètres par seconde. Cette information concerne un intervalle de temps. Elle ne dit pas encore à quelle vitesse la voiture roulait exactement à la deuxième seconde.

Pour deux abscisses distinctes $a$ et $b$ du domaine, le taux de variation de $f$ est $\frac{\text{f(b)−f(a)}}{\text{b−a}}$. Le numérateur mesure la variation de sortie ; le dénominateur, celle de l'entrée. Sur la courbe, ce quotient est le coefficient directeur de la droite passant par $\text{A(a;f(a))}$ et $\text{B(b;f(b))}$ : cette droite est une sécante.

La pente ne dépend pas de l'ordre dans lequel tu nommes les deux points. Si tu inverses A et B, les deux différences changent de signe, donc leur quotient reste le même. En revanche, inverser une seule différence change le résultat. Le quotient est interdit lorsque les deux abscisses sont égales.

L'unité accompagne le quotient : mètres divisés par secondes donnent des mètres par seconde. Une pente positive signifie que l'ordonnée du second point est plus grande lorsque son abscisse est plus grande. Elle ne prouve pas que la fonction monte entre tous les points de l'intervalle. Pour obtenir une information locale, nous allons maintenant rapprocher les deux points.

Pour chercher la pente au voisinage d'un point fixe A, nomme a son abscisse et écris celle du second point $\text{a+h}$. Le nombre h est le déplacement horizontal, positif ou négatif. Il reste non nul pendant le calcul et doit laisser $\text{a+h}$ dans le domaine. Le taux est alors $\frac{\text{f(a+h)−f(a)}}{h}$.

Lorsque h se rapproche de zéro, les deux points se rapprochent, mais le quotient ne se calcule jamais en remplaçant directement h par zéro. Si les taux se rapprochent d'une même valeur finie depuis les deux côtés, cette valeur est le nombre dérivé $\text{f'(a)}$. La fonction est alors dérivable en a. Les essais numériques permettent de conjecturer cette valeur ; une simplification algébrique permet de la justifier dans les exemples étudiés.

Pour le carré en a = 2, le taux se simplifie en $\text{4+h}$. Pour h = 0,1 il vaut 4,1 ; pour h = $\text{−0,1}$, il vaut 3,9. Les deux se rapprochent de 4. Le calcul posé ci-dessous montre pourquoi cette observation ne dépend pas d'une liste particulière de pas.

L'existence de $\text{f(a)}$ ne suffit pas à assurer celle de $\text{f′(a)}$. Pour $\text{f(x)=|x|}$ en zéro, les taux valent $\text{−1}$ à gauche et 1 à droite : aucun nombre unique ne convient. Pour $\text{f(x)=}\sqrt{x}$ en zéro, seuls les pas positifs sont admissibles et le taux $\frac{1}{\sqrt{h}}$ grandit sans borne. Il n'existe pas de nombre dérivé fini en zéro. Une courbe peut donc avoir un angle ou une direction de tangente verticale sans posséder une tangente de pente finie.

Une fois le nombre dérivé établi, nous connaissons deux informations sur la tangente : elle passe par $\text{A(a;f(a))}$ et sa pente vaut $\text{f'(a)}$. Ces deux informations déterminent une droite unique. La tangente représente la direction locale de la courbe ; elle n'est pas définie par « toucher sans traverser ».

Sur une droite de pente m passant par A, un déplacement horizontal $\text{x−a}$ produit une variation verticale $\text{m(x−a)}$. Avec $\text{m=f'(a)}$, on obtient $\text{y−f(a)=f'(a)(x−a)}$. L'équation point-pente conserve donc le point de contact avant toute réduction.

Deux contrôles indépendants protègent le résultat. En remplaçant x par a, la droite doit donner $\text{f(a)}$. Après réduction, le coefficient de x doit être $\text{f′(a)}$. Une droite de la bonne pente qui ne passe pas par A n'est pas la tangente recherchée.

Si $\text{f'(a)=0}$, la tangente est horizontale. Cela ne suffit pas à prouver un maximum ou un minimum : la courbe de $x^3$ traverse sa tangente horizontale en zéro. Le chapitre suivant utilisera le signe de la dérivée autour du point pour décider s'il s'agit d'un extremum.

La tangente donne une droite facile à calculer près d'un point connu. Si nous connaissons $\text{f(a)}$ et $\text{f′(a)}$, nous pouvons estimer $\text{f(a+h)}$ sans recommencer un calcul complet : le déplacement h produit approximativement la variation $\text{f'(a)h}$.

La valeur estimée est $\text{f(a)+f'(a)h}$. C'est exactement l'ordonnée de la tangente à l'abscisse $\text{a+h}$, mais seulement une approximation de celle de la courbe. Nous écrivons donc $\text{f(a+h)≈f(a)+f'(a)h}$, et non une égalité générale.

Pour le carré, la comparaison peut être entièrement contrôlée : ${\text{(a+h)}}^2\text{=}{a}^2\text{+2ah+}{h}^2$. La tangente garde les deux premiers termes ; le terme $h^2$ est l'erreur entre le carré et cette estimation. Diviser h par dix divise ici l'erreur par cent. Cette conclusion vient de l'identité algébrique, pas du seul rapprochement visuel.

Un pas « petit » s'apprécie par rapport à la fonction, au domaine et à la précision demandée. Une bonne estimation à proximité de a n'autorise pas son emploi loin de a. La fonction peut même ne plus être définie au point visé. Compare la valeur estimée à une valeur calculée lorsque c'est possible, puis annonce la portée locale du résultat.

Les formules usuelles évitent de reconstruire chaque taux de variation. Elles décrivent une fonction dérivée sur un domaine annoncé. Une constante a une dérivée nulle ; la dérivée de $\text{mx+p}$ est m. Pour un entier n positif, la dérivée de $x^{\mathrm{n}}$ est $\text{n}{x}^{\mathrm{n-1}}$. Pour n = 0, la fonction constante 1 a une dérivée nulle.

Le carré a pour dérivée 2x et le cube a pour dérivée 3x², sur les réels. L'inverse a pour dérivée $\text{−}\frac{1}{x^2}$ sur les deux intervalles où x est non nul. Une puissance d'exposant entier négatif conserve elle aussi l'interdiction x = 0 ; une formule ne crée jamais une valeur au point exclu de la fonction initiale.

La fonction racine carrée est définie pour x ≥ 0, mais sa formule de dérivation $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ vaut pour x > 0. En zéro, le taux étudié dans la deuxième section ne possède pas de limite finie. Le domaine de définition de la fonction et celui sur lequel nous la dérivons sont donc deux informations distinctes.

Avant d'appliquer une formule, nomme la fonction de référence, puis vérifie que le point appartient au domaine pertinent. Cette vérification prépare les règles de produit et de quotient : elles combinent des fonctions, mais ne suppriment aucune de leurs restrictions.

La forme d'une expression indique la règle à utiliser. Une somme additionne les dérivées ; un multiple constant multiplie la dérivée par la même constante. Pour un produit, les deux facteurs peuvent varier : il faut donc deux contributions, $\text{(fg)'=f'g+fg'}$, et non le produit f′g′.

Pour un quotient, le dénominateur doit d'abord être non nul. Sur les intervalles où f et g sont dérivables et g ne s'annule pas, $\text{(}\frac{f}{g}\text{)'=}\frac{\text{f'g−fg'}}{g^2}$. L'ordre du numérateur importe : inverser les deux termes change le signe du résultat.

Une simplification peut faciliter le calcul sans agrandir le domaine initial. Par exemple, $\frac{x^2}{x}$ vaut x seulement pour x non nul. Sa dérivée vaut 1 sur ce domaine, mais l'expression d'origine reste interdite en zéro. Dériver puis oublier cette restriction donnerait une conclusion fausse sur la fonction étudiée.

Choisis la méthode qui rend le contrôle le plus simple. Pour un petit produit polynomial, tu peux dériver par la règle du produit puis vérifier en développant. Pour une fraction, écrire les deux fonctions et leurs dérivées côte à côte évite de perdre un signe.

Une formule de dérivation résume un raisonnement sur le taux exact. La démonstration commence par ses hypothèses : le point et le point déplacé appartiennent au domaine, et h est non nul. Elle transforme ensuite le quotient, puis étudie ce qui reste lorsque h se rapproche de zéro.

Pour le carré, développer le numérateur fait apparaître un facteur h. Pour l'inverse, ce facteur apparaît après une mise au même dénominateur. Les deux méthodes autorisent la simplification tant que h est non nul. Le calcul ci-dessous établit la dérivée de l'inverse en une abscisse a non nulle.

La règle du produit vient elle aussi du taux. Dans $\text{f(a+h)g(a+h)−f(a)g(a)}$, ajoute et retire $\text{f(a+h)g(a)}$. La variation se sépare en $\text{f(a+h)(g(a+h)−g(a))}$ et $\text{g(a)(f(a+h)−f(a))}$. Après division par h, les deux taux donnent $\text{g′(a)}$ et $\text{f′(a)}$, tandis que $\text{f(a+h)}$ se rapproche de $\text{f(a)}$ puisque f est dérivable. Le résultat est $\text{f(a)g'(a)+g(a)f'(a)}$.

La même démarche peut établir un échec. Pour la racine en zéro, le taux vaut $\frac{1}{\sqrt{h}}$ pour h positif. Les pas 0,01 et 0,0001 donnent les taux 10 et 100. Surtout, rendre h plus petit que $\frac{1}{M^2}$ rend le taux plus grand que tout nombre M positif choisi : aucune limite finie n'est possible. Une preuve explique donc aussi pourquoi une règle ne peut pas être appliquée.

Le nombre dérivé répond à une question locale sur une variation. En géométrie, c'est une pente. Dans un modèle de position $\text{s(t)}$, c'est une vitesse instantanée signée. Dans un modèle de coût $\text{C(q)}$, c'est un coût marginal continu. Pour interpréter le même calcul, il faut donc préciser ce que représentent les deux axes.

L'unité de la dérivée est celle de la sortie divisée par celle de l'entrée. Une position en mètres dépendant d'un temps en secondes donne une vitesse en mètres par seconde. Une valeur négative indique un déplacement dans le sens opposé à celui choisi sur l'axe ; elle ne signifie pas une « quantité de vitesse impossible ».

Pour un nombre d'objets produits, la variation réellement observée entre q et $\text{q+1}$ est $\text{C(q+1)−C(q)}$. Une dérivée calculée dans un modèle continu peut l'approcher, mais ne lui est pas automatiquement égale. Le modèle et le pas d'une unité doivent être annoncés avant d'utiliser cette approximation.

Un programme peut calculer des sécantes pour des pas de plus en plus petits. Sa liste donne des indices, avec les arrondis de la machine. Pour conclure, reviens à l'expression exacte ou à une propriété démontrée. Nous pouvons alors utiliser la dérivée sur des intervalles entiers : c'est le passage de la pente locale aux variations.