Comment une pente moyenne devient‑elle un nombre dérivé puis une tangente ?

Pour deux abscisses distinctes $a$ et $b$, le taux de variation de $f$ vaut $\frac{\text{f(b)−f(a)}}{\text{b−a}}$. C’est le coefficient directeur de la sécante passant par $\text{A(a;f(a))}$ et $\text{B(b;f(b))}$. Inverser simultanément A et B change les deux signes et conserve le quotient.

Le taux porte une unité : si $x$ est en secondes et $\text{f(x)}$ en mètres, il s’exprime en mètres par seconde. Le dénominateur ne peut pas être nul. Avant tout calcul, nomme donc variable d’entrée, grandeur de sortie, deux points et unité du quotient.

Écris le second point sous la forme $\text{a+h}$ avec $\text{h≠0}$. Le taux devient $\frac{\text{f(a+h)−f(a)}}{h}$. Observe des valeurs positives et négatives de $h$ qui se rapprochent de zéro, puis simplifie algébriquement. Si les taux se rapprochent d’une même valeur finie, $f$ est dérivable en $a$ et cette valeur est $\text{f'(a)}$.

L’existence de $\text{f(a)}$ ne suffit pas. Pour $\text{f(x)=|x|}$ en 0, les pentes valent $\text{−1}$ à gauche et 1 à droite. Pour $\text{f(x)=}\sqrt{x}$, les taux depuis 0 valent $\frac{1}{\sqrt{h}}$ pour $\text{h>0}$ et ne tendent vers aucune valeur finie. Ces échecs donnent un sens géométrique aux angles et tangentes verticales.

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ passe par $\text{A(a;f(a))}$ et a pour pente $\text{f'(a)}$. La forme point-pente donne $\text{y−f(a)=f'(a)(x−a)}$, donc $\text{y=f(a)+f'(a)(x−a)}$.

Contrôle l’équation en remplaçant $x$ par $a$ : tu dois obtenir $\text{y=f(a)}$. Puis lis le coefficient de $x$ après réduction : il doit être $\text{f'(a)}$. Si $\text{f'(a)=0}$, la tangente est horizontale, mais cela ne prouve pas à lui seul un maximum ou un minimum.

Près de $a$, un petit déplacement $h$ produit approximativement la variation $\text{f'(a)h}$. Ainsi $\text{f(a+h)≈f(a)+f'(a)h}$. La partie droite est la valeur de la tangente à l’abscisse $\text{a+h}$ : elle remplace localement la courbe par une fonction affine.

Cette approximation n’est pas une égalité générale. Annonce le point de développement, la taille et l’unité de $h$, puis compare si possible à une valeur exacte ou calculée. Plus on s’éloigne, plus la courbure peut rendre l’erreur importante ; une tangente ne constitue pas un modèle global automatique.

Pour une constante, la dérivée est nulle ; pour $\text{mx+p}$, elle vaut $m$. Pour $\text{n∈ℤ}$, $\text{(}{x}^{\mathrm{n}}\text{)'=n}{x}^{\mathrm{n-1}}$ sur le domaine où la puissance initiale est définie. On retrouve notamment carré, cube et inverse : $\text{(}\frac{1}{x}\text{)'=−}\frac{1}{x^2}$ pour $\text{x≠0}$.

Pour $\text{x>0}$, $\text{(}\sqrt{x}\text{)'=}\frac{1}{2\sqrt{x}}$. La fonction racine existe en 0 mais n’y possède pas de nombre dérivé fini. Une table de formules sans domaine fabrique donc des valeurs interdites ; le passeport de la fonction initiale accompagne toujours sa dérivée.

Si $f$ et $g$ sont dérivables, $\text{(f+g)'=f'+g'}$ et $\text{(fg)'=f'g+fg'}$. Pour $\text{g≠0}$, $\text{(}\frac{1}{g}\text{)'=}\frac{\text{−g'}}{g^2}$ et $\text{(}\frac{f}{g}\text{)'=}\frac{\text{f'g−fg'}}{g^2}$. Le domaine du quotient exclut tous les zéros de $g$, même si une simplification ultérieure les masque.

Repère la structure avant de calculer : somme, produit, inverse ou quotient. Pour un produit, les deux contributions sont nécessaires ; pour un quotient, conserve l’ordre premier dérivé fois second moins premier fois second dérivé. Développer sans objectif peut cacher la règle la plus courte.

Pour le carré, $\frac{{\text{(x+h)}}^2\text{−}{x}^2}{h}\text{=}\frac{\text{2xh+}{h}^2}{h}\text{=2x+h}$ lorsque $\text{h≠0}$, puis le taux tend vers $\text{2x}$. Pour l’inverse, mettre au même dénominateur fait apparaître un facteur $h$ et conduit à $\text{−}\frac{1}{x^2}$ pour $\text{x≠0}$.

Pour le produit, ajoute et retire $\text{f(x+h)g(x)}$ dans la variation de $\text{fg}$ : elle se sépare en une contribution de $f$ et une de $g$, d’où $\text{(fg)'=f'g+fg'}$. Pour la racine en 0, $\frac{\sqrt{h}}{h}\text{=}\frac{1}{\sqrt{h}}$ ne tend pas vers une valeur finie. Chaque preuve simplifie pour $\text{h≠0}$ avant le passage à la limite.

En géométrie, $\text{f'(a)}$ est une pente ; en cinématique, $\text{s'(t)}$ est une vitesse instantanée signée ; en économie, $\text{C'(q)}$ est un coût marginal continu en euros par unité. Dans chaque cas, précise la variable, le point, les unités des deux axes et le sens du signe.

Pour une quantité réellement discrète, une dérivée peut approximer l’effet d’une unité supplémentaire mais ne remplace pas l’écart exact. Un algorithme peut produire la liste des coefficients directeurs de sécantes pour des pas décroissants ; il rend une stabilisation visible, puis le calcul ou une propriété en justifie la portée.