Comment le signe de la dérivée permet‑il de prévoir les variations et la forme d’une courbe ?

Avant de calculer une dérivée, certaines formes de courbes se comprennent par une symétrie. Le carré prend la même valeur en 2 et en $\text{−2}$ ; le cube donne deux valeurs opposées. Pour savoir si cela vaut partout, nous devons comparer $\text{f(x)}$ et $\text{f(−x)}$ avec une variable générale.

Le domaine doit d'abord être symétrique par rapport à zéro : si x est admissible, $\text{−x}$ doit l'être aussi. La fonction est paire lorsque $\text{f(−x)=f(x)}$ pour tout x du domaine. Les points d'abscisses opposées ont alors la même ordonnée : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La fonction est impaire lorsque $\text{f(−x)=−f(x)}$ sur ce domaine symétrique. Les deux points ont des coordonnées opposées : la courbe possède une symétrie centrale de centre O. La fonction inverse est ainsi impaire sur les réels non nuls ; zéro n'a pas besoin d'appartenir à un domaine symétrique.

Deux valeurs bien choisies ne prouvent pas une identité pour tous les x. Une fonction peut aussi n'être ni paire ni impaire : $x^2\text{+x}$ mélange les deux comportements. Une symétrie établie permet de reconstruire une moitié de courbe, mais son allure précise dépend encore des variations. C'est ce que la dérivée va nous apprendre.

Dire que f est croissante sur un intervalle signifie que deux abscisses de cet intervalle vérifiant donnent $\text{f(u)≤f(v)}$. La dérivée décrit des pentes locales ; un théorème permet de relier leur signe sur tout l'intervalle à cette comparaison entre deux points.

Si f est dérivable sur un intervalle I et si $\text{f'(x)≥0}$ pour tout x de I, alors f est croissante sur I. Si $\text{f'(x)≤0}$, elle est décroissante. Si $\text{f′}$ est nulle sur tout l'intervalle, f y est constante. Pour inclure une borne où nous ne dérivons pas, nous contrôlons aussi la continuité en cette borne.

L'hypothèse d'intervalle est essentielle. La dérivée de l'inverse est négative sur chacun des deux intervalles séparés par zéro. Pourtant, alors que . Nous ne pouvons pas déclarer une décroissance sur l'ensemble des réels non nuls : il faut deux études distinctes.

Une dérivée strictement positive partout suffit à prouver une stricte croissance, mais ce n'est pas nécessaire. Le cube est strictement croissant malgré sa dérivée nulle en zéro. Un zéro isolé ne produit ni palier ni extremum automatiquement. Pour organiser l'étude, nous allons placer les zéros et les coupures dans un tableau.

Un tableau de variations rassemble un raisonnement déjà établi. Sa première ligne indique les abscisses qui découpent le domaine ; la deuxième justifie le sens du mouvement par le signe de $\text{f′}$ ; la troisième décrit les valeurs de f et ses variations. Ces lignes n'ont pas le même rôle.

Commence par le domaine, puis calcule la dérivée là où elle existe. Cherche ses zéros et les points où la fonction ou sa dérivée n'est pas définie. Range ces abscisses dans l'ordre. Une valeur interdite sépare les branches ; un point où seule la dérivée manque, comme le sommet de la valeur absolue, demande une analyse des deux côtés.

Étudie ensuite le signe de $\text{f′}$ sur chacun des intervalles obtenus. Un signe positif donne une flèche montante ; un signe négatif, une flèche descendante. Calcule les images des points accessibles et les valeurs aux bornes de l'intervalle étudié. Une flèche sans signe justifié est une conjecture, pas un tableau démontré.

Pour $\text{f(x)=}{x}^3\text{−3x}$, la dérivée se factorise en $\text{3(x−1)(x+1)}$. Elle est positive avant $\text{−1}$, négative entre $\text{−1}$ et 1, puis positive après 1. Les valeurs $\text{f(−1)=2}$ et $\text{f(1)=−2}$ permettent alors de renseigner les deux colonnes centrales. L'étude des extrema consiste à lire et à interpréter ces changements.

Un maximum local est une valeur au moins aussi grande que celles obtenues assez près du point ; un minimum local est au moins aussi petite. Le mot « local » ne compare qu'un voisinage. Un extremum global compare toutes les valeurs du domaine étudié : il dépend donc aussi du choix de ce domaine.

Si f est dérivable et possède un extremum local en un point intérieur a, alors $\text{f'(a)=0}$. Cette implication fournit des candidats ; sa réciproque est fausse. Pour le cube, $\text{f′(0)}$ vaut zéro, mais des valeurs négatives apparaissent avant zéro et des valeurs positives après. Zéro n'est ni un minimum ni un maximum.

Pour décider, regarde ce qui se passe des deux côtés. Un passage de $\text{f′}$ de + à − donne une montée puis une descente : un maximum local. Un passage de − à + donne un minimum local. Si le signe reste positif des deux côtés, la fonction continue de monter malgré sa tangente horizontale.

Sur un intervalle fermé où la fonction est continue, compare les valeurs aux points candidats et aux deux bornes. Ajoute les points où la dérivée n'existe pas lorsqu'ils appartiennent au domaine. La valeur absolue possède ainsi un minimum en zéro sans y être dérivable ; une fonction affine sur un segment atteint ses extrema aux bornes. Aucun de ces cas ne contredit la condition, qui portait sur un point intérieur dérivable.

Dans un problème d'optimisation, une configuration doit respecter des contraintes. Si tu disposes de 20 mètres de clôture pour un rectangle, une largeur x laisse une longueur $\text{10−x}$. Les deux dimensions doivent être positives : le problème géométrique impose , avant toute dérivation.

La grandeur à optimiser est ici l'aire, exprimée en mètres carrés. Elle dépend de x : $\text{A(x)=x(10−x)}$. Le choix d'une variable transforme la contrainte de périmètre en une fonction d'une seule variable. Il faut vérifier cette traduction ; dériver une expression qui ne décrit pas le problème ne peut pas fournir une bonne décision.

La dérivée et ses signes indiquent où l'aire monte ou descend. Pour contrôler aussi les bords, on peut prolonger le modèle sur $\text{[0;10}$] en annonçant que les bornes correspondent à des rectangles aplatis, d'aire nulle. L'optimum obtenu doit ensuite appartenir au domaine des véritables rectangles.

La conclusion donne la configuration et la valeur optimale avec leurs unités. Si la variable est entière ou si les dimensions disponibles sont limitées, compare les choix admissibles autour de l'optimum continu. Une valeur optimale n'est jamais une autorisation d'ignorer une contrainte.

Les variations peuvent fournir une borne valable sur tout un intervalle. Si f est croissante et si a et x appartiennent à cet intervalle avec $\text{x≥a}$, alors $\text{f(x)≥f(a)}$. L'intervalle et les hypothèses de variation font partie de la preuve ; ils ne se lisent pas seulement sur l'image d'une courbe.

Pour comparer deux courbes, nous comparons leurs ordonnées à la même abscisse. Définis la fonction différence $\text{h(x)=f(x)−g(x)}$ sur le domaine commun. Si h est positive, la courbe de f est au-dessus de celle de g ; si h est négative, elle est en dessous ; si h vaut zéro, les deux courbes ont un point commun.

La dérivée de h peut aider à trouver ses variations et son minimum. Il faut ensuite conclure sur le signe de h, car c'est lui qui répond à la question. Le fait que $\text{h′}$ soit positive ne prouve pas, à lui seul, que h est positive : une fonction peut monter en restant sous zéro.

Pour le carré et sa tangente en a, la différence se factorise en ${\text{(x−a)}}^2$. Elle est donc positive ou nulle pour tout réel x. Cette identité établit une position relative globale dans ce cas précis. Le cube en zéro montre que cette propriété ne vaut pas pour toute fonction et toute tangente.

Le second degré relie deux méthodes déjà rencontrées : la forme canonique et le signe de la dérivée. Pour $\text{f(x)=a}{x}^2\text{+bx+c}$, avec a non nul, la dérivée est $\text{f'(x)=2ax+b}$. C'est une fonction affine, pas un trinôme.

Cette dérivée s'annule une seule fois, en $\text{α=}\frac{\text{−b}}{\text{2a}}$. Si a est positif, elle est négative avant α et positive après : f décroît puis croît et possède un minimum. Si a est négatif, les signes s'inversent et l'extremum est un maximum.

Le sommet est le point $\text{S(α;f(α))}$. Son abscisse donne l'axe de symétrie ; son ordonnée donne la valeur extrême. La forme canonique $\text{a}{\text{(x−α)}}^2\text{+f(α)}$ confirme l'étude : un carré est positif ou nul, et le signe de a indique de quel côté de $\text{f(α)}$ se trouvent les autres valeurs.

Le discriminant de f répond à une autre question : combien de fois la parabole rencontre-t-elle l'axe des abscisses ? Il ne fournit pas les zéros de la dérivée, qui est affine. Séparer racines de f et zéro de $\text{f′}$ évite de confondre intersections et sommet.

Nous cherchons maintenant une racine, c'est-à-dire une abscisse où f vaut zéro. Depuis une approximation $x_n$, remplace localement la courbe par sa tangente. Si cette tangente n'est pas horizontale, elle rencontre l'axe des abscisses en un nouveau point : son abscisse est la prochaine approximation.

L'équation de la tangente donne $\text{0=f(}{x}_n\text{)+f'(}{x}_n\text{)(}{x}_{\mathrm{n+1}}\text{−}{x}_n\text{)}$. Pour $\text{f'(}{x}_n\text{)≠0}$, isoler $x_{\mathrm{n+1}}$ fournit la formule de Newton. Chaque étape doit encore appartenir au domaine de f ; une division par zéro interrompt le calcul.

Pour $\text{f(x)=}{x}^2\text{−2}$, un départ à 2 donne successivement 1,5, environ 1,416667, puis environ 1,414216. Les valeurs de f deviennent petites. Dans ce cas favorable, la suite se rapproche de la racine positive. L'algorithme ne garantit pourtant pas cette convergence pour n'importe quelle fonction et n'importe quel départ.

Fixe un nombre maximal d'étapes, un seuil de résidu $\text{|f(}{x}_n\text{)|}$ et une zone de travail. Une petite différence entre deux étapes est un signal à contrôler, pas une preuve de la précision de la racine. Un résidu petit n'est pas, à lui seul, une borne sur l'erreur d'abscisse lorsque la pente est très faible. Une dérivée nulle, une sortie du domaine ou un cycle impose d'analyser le départ et la fonction plutôt que de poursuivre aveuglément.