Comment le signe de la dérivée permet‑il de prévoir les variations et la forme d’une courbe ?

Une fonction peut être paire ou impaire seulement si son domaine est symétrique par rapport à 0 : avec chaque $x$, il doit contenir $\text{−x}$. Elle est paire lorsque $\text{f(−x)=f(x)}$ ; sa courbe est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Elle est impaire lorsque $\text{f(−x)=−f(x)}$ ; sa courbe possède une symétrie centrale de centre O.

Teste l’identité sur une variable générale et non sur deux valeurs choisies. Une fonction peut n’être ni paire ni impaire. Si le domaine n’est pas symétrique, le diagnostic s’arrête avant le calcul. Une symétrie permet d’étudier une moitié du domaine puis de reconstruire l’autre, mais elle ne dispense ni du domaine ni des variations.

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$. Si $\text{f'(x)≥0}$ sur I, alors f est croissante sur I ; si $\text{f'(x)≤0}$, elle est décroissante. Si $\text{f'(x)=0}$ pour tout x de I, f est constante sur I. Ces propriétés portent sur un intervalle entier, pas sur le seul signe en un point.

Pour établir une stricte croissance, $\text{f'(x)>0}$ partout suffit, mais ce n’est pas nécessaire : $\text{f(x)=}{x}^3$ est strictement croissante alors que $\text{f'(0)=0}$. Un zéro isolé de la dérivée ne crée donc ni palier ni extremum automatique. On découpe le domaine aux valeurs où le signe peut changer ou où la dérivée n’est pas définie.

Écris d’abord le domaine de f, puis calcule $\text{f′}$ sur les intervalles où elle existe. Cherche les zéros de $\text{f′}$ et les éventuelles valeurs interdites ; ordonne-les sur une ligne x. Étudie le signe de $\text{f′}$ sur chaque intervalle, puis seulement traduis + par une flèche montante, − par une flèche descendante et 0 isolé par un point de transition.

Calcule les images aux points critiques et aux bornes accessibles. Une valeur interdite sépare deux branches : on ne trace pas une flèche à travers elle. Chaque ligne du tableau possède un statut distinct : x découpe, $\text{f′}$ justifie, f décrit. Relire verticalement chaque colonne permet de contrôler la cohérence entre signe, flèche et valeur.

Si f est dérivable en un point intérieur a de son domaine et y possède un extremum local, alors $\text{f'(a)=0}$ : la tangente y est horizontale. C’est une condition nécessaire dans ce cadre, pas une équivalence. Pour $\text{f(x)=}{x}^3$, $\text{f'(0)=0}$ mais la fonction continue de croître de part et d’autre de 0.

Un passage de $\text{f′}$ de + à − prouve un maximum local ; de − à +, un minimum local. Sur un intervalle fermé, un extremum global peut aussi se trouver à une borne où la condition $\text{f'(a)=0}$ ne s’applique pas. Pour conclure globalement, compare toutes les valeurs candidates : points critiques admissibles, bornes et éventuelles limites nécessaires.

Nomme la variable, son unité et son domaine imposé par la situation. Exprime la grandeur à maximiser ou minimiser sous la forme $\text{F(x)}$, puis vérifie que le modèle décrit bien les configurations admissibles. Dérive, construis les variations sur ce domaine et compare les valeurs aux points critiques et aux bornes.

La réponse finale revient au contexte : dimensions, coût, aire, durée ou quantité, avec unité et précision réaliste. Un optimum algébrique hors domaine doit être rejeté. Si la variable est entière, compare les entiers voisins de l’optimum continu. Une solution n’est donc pas seulement une valeur de x, mais une décision admissible accompagnée de la valeur optimale.

Si f est croissante sur I et si $\text{x≥a}$, avec x et a dans I, alors $\text{f(x)≥f(a)}$. Une valeur minimale ou maximale fournit de même une borne valable sur tout l’intervalle étudié. L’intervalle et le sens de variation font partie de la preuve : une lecture visuelle seule suggère mais n’établit pas l’inégalité.

Pour comparer les courbes de f et g, définis $\text{h(x)=f(x)−g(x)}$ sur leur domaine commun. Là où $\text{h(x)>0}$, la courbe de f est au-dessus de celle de g ; là où $\text{h=0}$, elles se rencontrent. Dériver h peut aider à établir son signe, mais il faut finir par un tableau de signe ou une borne explicite.

Pour $\text{f(x)=a}{x}^2\text{+bx+c}$ avec $\text{a≠0}$, $\text{f'(x)=2ax+b}$. Cette fonction affine s’annule une seule fois en $\text{α=}\frac{\text{−b}}{\text{2a}}$. Si $\text{a>0}$, $\text{f′}$ est négative avant α puis positive après : f décroît puis croît et atteint un minimum en $\alpha$. Si , les signes s’inversent et f atteint un maximum.

Le sommet est $\text{S(α;f(α))}$ et l’axe de symétrie a pour équation $\text{x=α}$. Le discriminant de f sert à étudier ses racines, pas celles de $\text{f′}$. La forme canonique $\text{f(x)=a}{\text{(x−α)}}^2\text{+β}$ confirme l’allure : le signe de a fixe l’ouverture et $\text{β=f(α)}$ donne l’extremum.

Depuis une approximation $x_n$ telle que $\text{f'(}{x}_n\text{)≠0}$, la tangente à la courbe coupe l’axe des abscisses en $x_{\mathrm{n+1}}\text{=}{x}_n\text{−}\frac{\text{f(}{x}_n\text{)}}{\text{f'(}{x}_n\text{)}}$. On recommence pour produire une suite d’approximations. Géométriquement, chaque étape remplace localement la courbe par sa tangente puis utilise le zéro de cette droite.

Le programme se limite aux cas favorables. Choisis une zone où la racine est plausible, où $\text{f′}$ ne devient pas nulle et où les itérations restent dans le domaine. Arrête lorsque $\text{|}{x}_{\mathrm{n+1}}\text{−}{x}_n\text{|}$ ou $\text{|f(}{x}_n\text{)|}$ passe sous un seuil annoncé, puis contrôle le résultat dans l’équation. Une tangente presque horizontale, un départ mal choisi ou plusieurs bassins d’attraction peuvent éloigner de la racine.