Variations, extremums et courbes avec la dérivée

Ce que tu vas savoir faire

Reconnaître une fonction paire ou impaire après contrôle de la symétrie de son domaine.
Déduire les variations du signe de la dérivée et caractériser les fonctions constantes.
Construire et auditer un tableau de variations complet.
Distinguer point critique, extremum local, global et extremum de bord.
Résoudre un problème d’optimisation avec contraintes et contrôle des bornes.
Établir une inégalité et comparer deux courbes par une fonction différence.
Étudier variations, extremum et allure d’un trinôme par sa dérivée.
Exécuter et contrôler quelques étapes de la méthode de Newton dans un cas favorable.

Vérifie tes prérequis

Lire le signe d’une expression et un tableau de variations.
Calculer une dérivée avec son domaine.
Résoudre une équation ou une inéquation du premier et du second degré.

Le chapitre en bref

Une étude de fonction commence par son domaine et ses symétries éventuelles. Sur chaque intervalle où elle est dérivable, le signe de f′ commande le sens de variation : f′≥0 entraîne que f est croissante, f′≤0 qu’elle est décroissante, et f′=0 sur tout un intervalle caractérise une fonction constante. Un extremum intérieur d’une fonction dérivable impose f′(a)=0, mais cette égalité ne suffit pas : il faut étudier le changement de signe ou le tableau complet, sans oublier les bornes. Pour comparer deux courbes, on étudie h=f−g. Pour optimiser, on définit variable, domaine et objectif avant de comparer points critiques et bornes. Pour un trinôme ax²+bx+c, la dérivée 2ax+b change de signe en −b/(2a), ce qui donne le sommet et l’allure selon le signe de a. Newton répète l’intersection de la tangente avec l’axe, seulement si la dérivée ne s’annule pas et si les itérations restent dans une zone favorable.

1. Que révèlent parité et imparité avant même de dériver ?

Une fonction peut être paire ou impaire seulement si son domaine est symétrique par rapport à 0 : avec chaque $x$ , il doit contenir $−x$ . Elle est paire lorsque $f(−x)=f(x)$ ; sa courbe est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Elle est impaire lorsque $f(−x)=−f(x)$ ; sa courbe possède une symétrie centrale de centre O.

Teste l’identité sur une variable générale et non sur deux valeurs choisies. Une fonction peut n’être ni paire ni impaire. Si le domaine n’est pas symétrique, le diagnostic s’arrête avant le calcul. Une symétrie permet d’étudier une moitié du domaine puis de reconstruire l’autre, mais elle ne dispense ni du domaine ni des variations.

Domaine → identité → traduction géométrique

Quelle symétrie l’algèbre autorise-t-elle ?

Domaine $ℝ$ Fonction $f(x)= x^{2} +2$ Test $f(−x)= x^{2} +2=f(x)$ Symétrieaxe des ordonnées

Une fonction paire reproduit à gauche les ordonnées observées à droite.

2. Comment le signe de la dérivée commande-t-il les variations ?

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ . Si $f'(x)≥0$ sur I, alors f est croissante sur I ; si $f'(x)≤0$ , elle est décroissante. Si $f'(x)=0$ pour tout x de I, f est constante sur I. Ces propriétés portent sur un intervalle entier, pas sur le seul signe en un point.

Pour établir une stricte croissance, $f'(x)>0$ partout suffit, mais ce n’est pas nécessaire : $f(x)= x^{3}$ est strictement croissante alors que $f'(0)=0$ . Un zéro isolé de la dérivée ne crée donc ni palier ni extremum automatique. On découpe le domaine aux valeurs où le signe peut changer ou où la dérivée n’est pas définie.

Intervalle entier, zéros et coupures

Du signe de f′ à quelle variation ?

Sur I $f'(x)>0$ Ordre $x_{1} < x_{2}$ Images $f(x_{1})<f(x_{2})$ Variationstrictement croissante

La positivité stricte sur tout l’intervalle suffit à une croissance stricte.

3. Comment construire un tableau de variations sans inventer les flèches ?

Écris d’abord le domaine de f, puis calcule f′ sur les intervalles où elle existe. Cherche les zéros de f′ et les éventuelles valeurs interdites ; ordonne-les sur une ligne x. Étudie le signe de f′ sur chaque intervalle, puis seulement traduis + par une flèche montante, − par une flèche descendante et 0 isolé par un point de transition.

Calcule les images aux points critiques et aux bornes accessibles. Une valeur interdite sépare deux branches : on ne trace pas une flèche à travers elle. Chaque ligne du tableau possède un statut distinct : x découpe, f′ justifie, f décrit. Relire verticalement chaque colonne permet de contrôler la cohérence entre signe, flèche et valeur.

Domaine → points → signe → valeurs → flèches

Chaque ligne du tableau répond-elle à sa question ?

Fonction $f(x)= x^{2} −4x+5$ Dérivée $f'(x)=2x−4$ Signe− avant 2 ; + après 2Tableaudécroît vers 1 puis croît

La valeur f(2)=1 occupe la ligne de f ; le zéro 2 de f′ organise les colonnes.

4. Une dérivée nulle suffit-elle à prouver un extremum ?

Si f est dérivable en un point intérieur a de son domaine et y possède un extremum local, alors $f'(a)=0$ : la tangente y est horizontale. C’est une condition nécessaire dans ce cadre, pas une équivalence. Pour $f(x)= x^{3}$ , $f'(0)=0$ mais la fonction continue de croître de part et d’autre de 0.

Un passage de f′ de + à − prouve un maximum local ; de − à +, un minimum local. Sur un intervalle fermé, un extremum global peut aussi se trouver à une borne où la condition $f'(a)=0$ ne s’applique pas. Pour conclure globalement, compare toutes les valeurs candidates : points critiques admissibles, bornes et éventuelles limites nécessaires.

Condition nécessaire ≠ conclusion suffisante

Le point critique devient-il un extremum ?

Avant a $f'(x)>0$ En a $f'(a)=0$ Après a $f'(x)<0$ Verdictmaximum local en a

La fonction monte puis descend : le changement de signe prouve le maximum local.

5. Comment transformer une situation en problème d’optimisation contrôlé ?

Nomme la variable, son unité et son domaine imposé par la situation. Exprime la grandeur à maximiser ou minimiser sous la forme $F(x)$ , puis vérifie que le modèle décrit bien les configurations admissibles. Dérive, construis les variations sur ce domaine et compare les valeurs aux points critiques et aux bornes.

La réponse finale revient au contexte : dimensions, coût, aire, durée ou quantité, avec unité et précision réaliste. Un optimum algébrique hors domaine doit être rejeté. Si la variable est entière, compare les entiers voisins de l’optimum continu. Une solution n’est donc pas seulement une valeur de x, mais une décision admissible accompagnée de la valeur optimale.

Variable → domaine → objectif → candidats → contexte

L’optimum algébrique est-il une décision admissible ?

Contraintepérimètre 40Variable $0≤x≤20$ Aire $A(x)=x(20−x)$ Maximum $A(10)=100$

Le carré de côté 10 maximise l’aire parmi les rectangles admissibles.

6. Comment les variations prouvent-elles une inégalité ou une position relative ?

Si f est croissante sur I et si $x≥a$ , avec x et a dans I, alors $f(x)≥f(a)$ . Une valeur minimale ou maximale fournit de même une borne valable sur tout l’intervalle étudié. L’intervalle et le sens de variation font partie de la preuve : une lecture visuelle seule suggère mais n’établit pas l’inégalité.

Pour comparer les courbes de f et g, définis $h(x)=f(x)−g(x)$ sur leur domaine commun. Là où $h(x)>0$ , la courbe de f est au-dessus de celle de g ; là où h=0, elles se rencontrent. Dériver h peut aider à établir son signe, mais il faut finir par un tableau de signe ou une borne explicite.

Domaine commun → différence → signe → position

Quelle fonction transforme la comparaison en signe ?

Comparer $f(x)$ et $g(x)$ Différence $h(x)=f(x)−g(x)$ Si h>0 $f(x)>g(x)$ PositionC₍f₎ au-dessus de C₍g₎

Les intersections correspondent exactement aux zéros de h sur le domaine commun.

7. Que dit la dérivée sur l’allure d’un polynôme du second degré ?

Pour $f(x)=a x^{2} +bx+c$ avec $a≠0$ , $f'(x)=2ax+b$ . Cette fonction affine s’annule une seule fois en $α= \frac{−b}{2a}$ . Si a>0, f′ est négative avant α puis positive après : f décroît puis croît et atteint un minimum en $α$ . Si a<0, les signes s’inversent et f atteint un maximum.

Le sommet est $S(α;f(α))$ et l’axe de symétrie a pour équation $x=α$ . Le discriminant de f sert à étudier ses racines, pas celles de f′. La forme canonique $f(x)=a {(x−α)}^{2} +β$ confirme l’allure : le signe de a fixe l’ouverture et $β=f(α)$ donne l’extremum.

Coefficient a → zéro α → signe → sommet

Quel profil la dérivée affine impose-t-elle ?

Fonction $f(x)=2 x^{2} −8x+3$ Dérivée $f'(x)=4x−8$ Zéro $α=2$ Profildécroît puis croît : minimum

Une parabole avec a>0 s’ouvre vers le haut et possède un minimum au sommet.

8. Comment la méthode de Newton fait-elle avancer une tangente vers une racine ?

Depuis une approximation $x_{n}$ telle que $f'(x_{n})≠0$ , la tangente à la courbe coupe l’axe des abscisses en $x_{n+1} = x_{n} − \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$ . On recommence pour produire une suite d’approximations. Géométriquement, chaque étape remplace localement la courbe par sa tangente puis utilise le zéro de cette droite.

Le programme se limite aux cas favorables. Choisis une zone où la racine est plausible, où f′ ne devient pas nulle et où les itérations restent dans le domaine. Arrête lorsque $| x_{n+1} − x_{n} |$ ou $|f(x_{n})|$ passe sous un seuil annoncé, puis contrôle le résultat dans l’équation. Une tangente presque horizontale, un départ mal choisi ou plusieurs bassins d’attraction peuvent éloigner de la racine.

Point courant → pente → intersection → contrôle

Où la tangente coupe-t-elle l’axe ?

Fonction $f(x)= x^{2} −2$ Départ $x_{0} =1,5$ Étape $x_{1} =1,5− \frac{0,25}{3}$ Résultat $x_{1} ≈1,4167$

Une seconde étape donne déjà une approximation très proche de √2 dans ce cas favorable.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Parité et imparité commencent par le domaine.
Le signe de f′ pilote les variations par intervalles.
Un tableau sépare domaine, signe et valeurs.
Une dérivée nulle crée un candidat, pas une preuve.
L’optimisation inclut contraintes et bornes.
La différence f−g compare deux courbes.
Le zéro de 2ax+b donne le sommet du trinôme.
Newton exige une zone favorable et un contrôle d’arrêt.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Quelle condition doit précéder un test de parité ? Le domaine est symétrique par rapport à 0 La dérivée est toujours positive La fonction s’annule en 0

2. Si f′≤0 sur un intervalle I, que peut-on conclure ? f est décroissante sur I f est négative sur I f possède forcément un minimum intérieur

3. Quel ordre construit correctement un tableau de variations ? Domaine, f′, zéros et coupures, signe, valeurs, flèches Flèches, domaine, dérivée Valeurs de f puis discriminant dans tous les cas

4. Pour f(x)=x³, que montre f′(0)=0 ? 0 est un point critique mais pas un extremum 0 est nécessairement un maximum f est constante

5. Dans une optimisation sur [a;b], quelles valeurs faut-il comparer ? Les points critiques admissibles et les deux bornes Uniquement les zéros de la fonction Uniquement le premier point où f′=0

6. Comment étudier la position relative des courbes de f et g ? Étudier le signe de h=f−g sur le domaine commun Comparer seulement f′ et g′ en un point Additionner les deux fonctions

7. Pour f(x)=ax²+bx+c, où la dérivée s’annule-t-elle ?

x= \frac{−b}{2a}

x= \frac{−b± \sqrt{Δ}}{2a}

x=c

8. Quelle formule définit une étape de Newton ?

x_{n+1} = x_{n} − \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}

x_{n+1} =f'(x_{n})

x_{n+1} = x_{n} +f(x_{n})

Réviser au bon moment

Révèle chaque réponse, puis indique la difficulté de ton rappel pour programmer la prochaine révision dans ce navigateur.