Comment reconnaître et utiliser une fonction de référence ?

Une formule ne suffit pas. Pour chaque fonction, mémorise son domaine, ses zéros, son signe, ses symétries, ses variations et quelques points exacts. Ces éléments permettent de reconstruire la courbe au lieu d’en retenir un dessin fragile.

Les domaines sont essentiels : affine, valeur absolue, carré et cube sont définies sur $\text{ℝ}$ ; l’inverse sur ℝ\{0} ; la racine carrée sur $\text{[0;+∞[}$. Une question portant sur une valeur hors domaine s’arrête avant le calcul.

La fonction affine $\text{f(x)=mx+p}$ a pour courbe une droite. Le signe de m donne son sens de variation et p est l’ordonnée à l’origine. Résoudre $\text{f(x)=k}$ revient à chercher l’intersection avec $\text{y=k}$.

La fonction valeur absolue $\text{v(x)=|x|}$ mesure la distance à 0. Elle est paire, positive, décroissante sur $\text{]−∞;0]}$ puis croissante sur $\text{[0;+∞[}$, avec minimum 0. Sa courbe en V rappelle que $\text{|x|=k}$ possède deux solutions si $\text{k>0}$, une si $\text{k=0}$ et aucune si .

La fonction carré $\text{q(x)=}{x}^2$ est paire et positive. Elle décroît sur $\text{]−∞;0]}$ puis croît sur $\text{[0;+∞[}$. Pour comparer $a^2$ et $b^2$ sans supposer a et b positifs, compare |a| et |b|.

La fonction racine $\text{r(x)=√x}$ est définie pour $\text{x≥0}$, positive et croissante. Sa courbe est la branche $\text{y≥0}$ de la parabole couchée $\text{x=}{y}^2$ : elle part de O vers la droite. Sur ℝ+, carré et racine s’annulent l’une l’autre : ${\text{(√x)}}^2\text{=x}$ pour $\text{x≥0}$ et $\sqrt{x^2}\text{=|x|}$ pour tout réel x.

La fonction inverse $\text{i(x)=}\frac{1}{x}$ exclut 0. Sa courbe est une hyperbole à deux branches, symétrique par rapport à l’origine : une branche pour $\text{x>0}$ et une pour . Le signe de $\frac{1}{x}$ est celui de x.

Sur chacun des intervalles $\text{]−∞;0[}$ et $\text{]0;+∞[}$, l’inverse est décroissante. Mais on ne compare pas $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$ en invoquant une seule variation si a et b sont de signes différents : on utilise d’abord le signe, puis la variation sur la branche concernée.

La fonction cube $\text{c(x)=}{x}^3$ est impaire, définie sur $\text{ℝ}$ et strictement croissante. Elle conserve le signe de x et sa courbe possède une symétrie centrale en O.

Pour $\text{x≥0}$, les courbes $\text{y=x}$, $\text{y=}{x}^2$ et $\text{y=}{x}^3$ se rencontrent en 0 et 1. Sur $\text{]0;1[}$, ; sur $\text{]1;+∞[}$, . Cette phrase limitée à deux intervalles remplace toute comparaison vague de vitesse ou de hauteur.

Pour $\text{f(x)=k}$, la droite $\text{y=k}$ prévoit le nombre d’intersections ; l’algèbre donne les solutions exactes. Pour , on repère les zones où la courbe est sous cette droite puis on traduit en intervalles en respectant les bornes ouvertes ou fermées.

Commence par le domaine et la famille : $x^2\text{=k}$ dépend du signe de k ; $\frac{1}{x}\text{=k}$ exige $\text{x≠0}$ et $\text{k≠0}$ pour une solution ; $\text{√x=k}$ exige $\text{k≥0}$ ; $x^3\text{=k}$ possède une solution réelle unique. Un graphique approximatif contrôle la cohérence, pas l’exactitude d’une borne.