Représentations d’une fonction : formule, tableau, courbe et domaine

Ce que tu vas savoir faire

Identifier variable d’entrée, sortie et domaine d’une fonction.
Distinguer image et antécédent dans chaque registre.
Tester l’appartenance d’un point à la courbe y=f(x).
Traduire formule, programme de calcul, tableau et courbe sans perdre d’information.
Déterminer un domaine comme intersection de contraintes.
Choisir une méthode pour résoudre f(x)=k ou comparer f et g.

Avant de commencer

Calculer une expression numérique.
Lire des coordonnées dans un repère.
Utiliser intervalles, intersections et valeurs interdites.

Le chapitre en bref

Une fonction est une règle qui associe à chaque nombre x autorisé une unique valeur f(x). Cette même règle peut être décrite par une formule, un programme de calcul, un tableau ou une courbe. Changer de représentation exige de conserver le domaine, les couples (x;f(x)) et le sens image-antécédent. La courbe d’équation y=f(x) est exactement l’ensemble de ces couples, et non un simple dessin.

1. Quel contrat définit une fonction ?

Une fonction f définie sur un ensemble D associe à chaque x de D une unique image f(x). L’entrée x peut représenter un temps, une longueur ou un nombre abstrait ; la sortie dépend de cette entrée selon une règle annoncée.

Un même y peut avoir plusieurs antécédents, mais un x autorisé ne peut pas avoir deux images différentes. Le domaine D fait partie du contrat : une formule calculable hors du contexte peut encore y être interdite par une longueur, une durée ou une capacité.

La règle donne-t-elle une sortie unique ?

x=33∈D=[0;10]f(x)=2x+1f(3)=7Une image unique

Le domaine autorise l’entrée ; la règle lui associe une seule sortie.

2. Comment lire image et antécédent sans inverser la question ?

Calculer l’image de a signifie partir de a et obtenir f(a). Chercher les antécédents de k signifie trouver tous les x du domaine tels que f(x)=k. Les flèches de lecture sont opposées.

Dans un tableau, l’image se lit de la ligne x vers la ligne f(x). Sur une courbe, l’image se lit verticalement depuis l’abscisse ; les antécédents se lisent horizontalement depuis l’ordonnée. Une formule permet un calcul exact lorsque l’équation est résoluble.

Dans quel sens faut-il lire ?

Calculer l’image de 3x=3Formule f(x)=x²−23 → f(3)f(3)=7

ContrôlePartir de la donnée de la question

PiègeInverser x et f(x)

L’image se lit vers la sortie ; les antécédents remontent vers toutes les entrées possibles.

3. Quand un point appartient-il exactement à la courbe ?

La courbe représentative de f est l’ensemble des points M(x;y) qui vérifient y=f(x), avec x dans le domaine. Le point A(a;b) appartient donc à la courbe si a est autorisé et si b=f(a).

Le tracé relie les couples calculés selon la nature de la fonction et le domaine. Un point qui semble posé sur un trait épais n’est pas une preuve : la substitution teste l’appartenance exacte ; le graphique sert à lire, prévoir ou contrôler.

Le point satisfait-il y=f(x) ?

A(2 ; 5)2∈Df(x)=x²+1f(2)=5A∈Cƒ

La substitution établit l’appartenance exacte ; le trait ne fait que la représenter.

4. Que faut-il préserver en changeant de représentation ?

Une formule comme f(x)=(x−2)²+1 devient un programme : soustraire 2, élever au carré, ajouter 1. Un tableau échantillonne quelques entrées ; il ne décrit pas à lui seul toutes les valeurs entre elles.

Pour construire une courbe, choisis des x du domaine, calcule des couples exacts, repère les invariants connus puis trace avec une échelle annoncée. Pour retrouver une formule depuis un tableau ou un graphique, plusieurs règles peuvent convenir à un échantillon fini : il faut une hypothèse de famille ou davantage d’information.

Quelle information survit au changement de registre ?

f(x)=(x−2)²+1Soustraire 2Mettre au carréAjouter 1Programme équivalent

ConservéRègle, domaine et couples

Perte possibleAucune si le programme suit exactement les opérations

Une traduction est valide quand les mêmes entrées autorisées produisent les mêmes sorties.

5. Comment construire le domaine sans oublier une contrainte ?

Le domaine est l’intersection de toutes les autorisations. Un dénominateur impose qu’il soit non nul ; une racine carrée impose un radicande positif ou nul ; un logarithme, lorsqu’il sera étudié plus tard, imposera une stricte positivité ; le contexte peut ajouter longueur positive ou durée bornée.

Pour f(x)=√(x−1)/(x−3), il faut x≥1 et x≠3, donc D=[1;3[∪]3;+∞[. Écrire d’abord chaque contrainte puis les intersecter évite de conserver une valeur interdite après simplification.

Quelles autorisations doivent être satisfaites ensemble ?

√(x−1)/(x−3)x−1≥0 → x≥1x−3≠0 → x≠3Intersection[1;3[∪]3;+∞[

Contrôle1 inclus ; 3 exclu

PiègeRéunir les contraintes

Une entrée doit satisfaire toutes les contraintes : on prend leur intersection.

6. Quelle représentation répond le mieux à la question ?

Résoudre f(x)=k revient à chercher les antécédents de k, donc les intersections de la courbe avec y=k. Résoudre f(x)=g(x) revient aux intersections de deux courbes. Une lecture graphique donne souvent une valeur approchée ou un nombre de solutions.

La formule donne des solutions exactes lorsqu’elle est exploitable ; un tableau localise seulement les valeurs présentes ; un logiciel explore et approche. La réponse finale précise domaine, exactitude ou approximation, ensemble solution et contrôle dans l’énoncé initial.

Quel registre répond avec la bonne précision ?

Résoudre f(x)=4Courbe graduée à 0,5Lecture graphiqueIntersections avec y=4x≈−1,5 et x≈2

QualificationValeurs approchées

ContrôleReporter dans le graphique ou la formule

La représentation choisie détermine ce qu’on peut conclure et avec quelle précision.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Contrat entrée-sortie.
Lecture orientée.
Courbe exacte.
Traduction auditée.
Domaine intersecté.
Méthode qualifiée.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Une fonction peut-elle donner deux images différentes au même x ? Non Oui, toujours Seulement sur un graphique

2. Si f(3)=7, que représente 7 ? L’image de 3 Un antécédent de 3 Le domaine

3. Quand A(2;5) appartient-il à la courbe de f ? Si 2∈D et f(2)=5 Si f(5)=2 S’il semble proche du trait

4. Quel programme correspond à f(x)=(x−2)²+1 ? Soustraire 2, mettre au carré, ajouter 1 Mettre au carré, soustraire 2, ajouter 1 Ajouter 2 puis multiplier par 1

5. Quel est le domaine de √(x−1)/(x−3) ? [1;3[∪]3;+∞[ [1;+∞[ ℝ\{3}

6. Graphiquement, résoudre f(x)=4 revient à… Lire les abscisses des intersections avec y=4 Lire f(4) seulement Chercher les ordonnées égales à x

7. Un tableau donnant trois couples détermine-t-il toujours une formule unique ? Non Oui, sans hypothèse Oui, si les valeurs sont entières

8. Que doit préciser une solution lue sur un graphique ? Qu’elle est approchée si la graduation ne donne pas l’exactitude Qu’elle est toujours exacte Seulement la couleur de la courbe

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