Droites du plan : équations, vecteurs directeurs et intersection

Ce que tu vas savoir faire

Reconnaître une droite comme ensemble de solutions d’une équation cartésienne.
Relier coefficients, vecteur normal et vecteur directeur.
Choisir entre forme cartésienne, réduite et équation verticale.
Déterminer une équation à partir de points, d’un vecteur ou d’une pente.
Tester l’appartenance et tracer une droite avec deux points exacts.
Décider parallélisme, coïncidence, sécance et point d’intersection.

Avant de commencer

Calculer les coordonnées d’un vecteur.
Tester la colinéarité avec un déterminant.
Résoudre une équation du premier degré.

Le chapitre en bref

Une droite du plan peut être décrite comme l’ensemble des points M(x;y) qui vérifient ax+by+c=0, avec (a,b)≠(0,0). Le vecteur (a,b) lui est normal et (−b,a) est directeur. La forme y=mx+p convient seulement aux droites non verticales ; x=k traite les verticales. Pour construire, comparer ou faire intersecter des droites, on choisit la représentation qui évite les divisions inutiles puis on revient à la conclusion géométrique.

1. Quand une équation décrit-elle vraiment une droite ?

L’équation ax+by+c=0 décrit l’ensemble des points M(x;y) dont les coordonnées la vérifient, à condition que a et b ne soient pas tous les deux nuls. Cette condition garantit qu’il existe une direction de droite.

Tester un point consiste à substituer exactement ses coordonnées. Si le résultat vaut 0, le point appartient à la droite ; sinon il n’y appartient pas. Multiplier toute l’équation par un réel non nul ne change pas cet ensemble de points.

L’équation définit-elle la droite et accepte-t-elle le point ?

2x−y−3=0(a ; b)=(2 ; −1)≠(0 ; 0)M(2 ; 1)2×2−1−3=0M ∈ d

ContrôleLe membre de gauche s’annule exactement

PiègeDécider à l’œil sur le graphique

Une droite est un ensemble de solutions ; la substitution tranche l’appartenance.

2. Comment les coefficients donnent-ils la direction ?

Pour d : ax+by+c=0, le vecteur n=(a;b) est normal à la droite. Le vecteur u=(−b;a), ou tout multiple non nul, est directeur car a(−b)+ba=0.

Un vecteur directeur doit être non nul. Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Le déterminant évite de calculer une pente et fonctionne aussi pour les droites verticales.

Quel vecteur est normal et lequel dirige ?

2x−3y+1=0n=(2 ; −3)u=(3 ; 2)n·u=6−6=0u dirige d

Contrôleu est non nul et orthogonal à n

Passerelle(−b ; a) à partir de ax+by+c=0

Les coefficients donnent une normale ; une rotation d’un quart de tour donne une direction.

3. Quelle forme d’équation faut-il choisir ?

Si b≠0, on peut isoler y : y=mx+p avec m=−a/b et p=−c/b. Le coefficient directeur m indique la variation de y lorsque x augmente d’une unité. Cette forme rend pente et ordonnée à l’origine immédiatement lisibles.

Une droite verticale a une équation x=k : elle ne possède pas de coefficient directeur et ne s’écrit pas y=mx+p. La forme cartésienne reste universelle pour toutes les droites du plan.

Peut-on isoler y sans perdre un cas ?

2x−y+3=0b=−1≠0y=2x+3m=2 ; p=3Aucun cas perdu

ContrôleRedévelopper donne l’équation initiale

PiègeDiviser par b lorsque b=0

La forme réduite est une option efficace, pas une obligation universelle.

4. Comment construire une équation sans exclure le cas vertical ?

Avec un point A(xA;yA) et un vecteur directeur u=(u1;u2) non nul, le point M(x;y) appartient à la droite lorsque AM et u sont colinéaires : det(AM,u)=0, soit (x−xA)u2−(y−yA)u1=0.

Avec deux points distincts A et B, on prend u=AB. Avec un coefficient m et un point A, on écrit y−yA=m(x−xA). Le contrôle final consiste à vérifier le point donné et la colinéarité d’un vecteur directeur avec la droite obtenue.

Comment transformer les données en équation ?

A(1 ; 2)u=(3 ; −1)AM=(x−1 ; y−2)det(AM,u)=−(x−1)−3(y−2)x+3y−7=0

Point contrôlé1+3×2−7=0

Direction contrôlée(3 ; −1) est colinéaire à (−b ; a)

Le déterminant construit l’équation sans jamais exiger une pente.

5. Comment tracer sans se fier à une approximation ?

Pour tracer une droite, trouve deux points exacts distincts. Dans y=mx+p, (0;p) est disponible et une écriture fractionnaire de m fournit un déplacement horizontal et vertical. Dans ax+by+c=0, on peut choisir une coordonnée puis résoudre l’autre.

Les intersections avec les axes sont utiles lorsqu’elles existent : poser y=0 pour l’axe des abscisses et x=0 pour l’axe des ordonnées. Une lecture graphique contrôle le calcul, mais ne remplace pas une substitution quand l’appartenance exacte est demandée.

Quels deux points exacts déterminent le tracé ?

y=(2/3)x−1A(0 ; −1)B(3 ; 1)+3 en x ; +2 en yA et B distincts

Contrôle exactLes deux points vérifient l’équation

Contrôle visuelLe sens du tracé correspond au signe de la pente

Deux points exacts construisent la droite ; le dessin vérifie seulement sa cohérence.

6. Comment comparer deux droites et trouver leur intersection ?

On compare d’abord les directions. Si elles ne sont pas colinéaires, les droites sont sécantes et le système de leurs équations possède une solution unique. Si elles sont colinéaires, il faut encore tester un point pour distinguer droites parallèles distinctes et droites confondues.

Le point d’intersection se trouve en résolvant le système, puis en vérifiant les deux équations. Pour prouver l’alignement de trois points, on peut tester det(AB,AC)=0 sans calculer de quotient susceptible d’avoir un dénominateur nul.

Direction commune ou intersection unique ?

d₁ : x+y=5d₂ : x−y=1u₁=(1 ; −1), u₂=(1 ; 1)det=2≠0Droites sécantes

Système ou testx+y=5 ; x−y=1

RésultatI(3 ; 2), vérifié deux fois

Direction → position → calcul exact → conclusion géométrique.

Comparer les directions avant de résoudre évite un système inutile ou mal interprété.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Solutions qualifiées.
Normale et direction.
Verticale préservée.
Équation construite.
Tracé exact.
Position conclue.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Quelle condition permet à ax+by+c=0 de définir une droite ? (a;b)≠(0;0) c=0 obligatoirement a=b=0

2. Quel vecteur dirige la droite 2x−3y+1=0 ? (3;2) (2;−3) (0;0)

3. Quelle équation décrit une droite verticale ? x=4 y=2x+1 y=4

4. Le point M(2;1) appartient-il à 2x−y−3=0 ? Oui, car 4−1−3=0 Non, car 2+1≠0 Impossible à savoir

5. Quelle équation passe par A(1;2) et a pour directeur (3;−1) ? x+3y−7=0 3x−y−1=0 x−3y+5=0

6. Deux droites y=2x+1 et y=2x−4 sont… Parallèles distinctes Confondues Sécantes

7. Quel est le point d’intersection de x+y=5 et x−y=1 ? I(3;2) I(2;3) I(5;1)

8. A(1;1), B(3;2) et C(5;3) sont-ils alignés ? Oui, car det(AB,AC)=0 Non, car AB≠AC Oui, car toutes les coordonnées sont positives

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