Comment passer d’une équation à la géométrie d’une droite ?

L’équation $\text{ax+by+c=0}$ décrit l’ensemble des points $\text{M(x;y)}$ dont les coordonnées la vérifient, à condition que a et b ne soient pas tous les deux nuls. Cette condition garantit qu’il existe une direction de droite.

Tester un point consiste à substituer exactement ses coordonnées. Si le résultat vaut 0, le point appartient à la droite ; sinon il n’y appartient pas. Multiplier toute l’équation par un réel non nul ne change pas cet ensemble de points.

Pour d : $\text{ax+by+c=0}$, le vecteur $\text{n=(a;b)}$ est normal à la droite. Le vecteur $\text{u=(−b;a)}$, ou tout multiple non nul, est directeur car $\text{a(−b)+ba=0}$.

Un vecteur directeur doit être non nul. Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Le déterminant évite de calculer une pente et fonctionne aussi pour les droites verticales.

Si $\text{b≠0}$, on peut isoler y : $\text{y=mx+p}$ avec $\text{m=−}\frac{a}{b}$ et $\text{p=−}\frac{c}{b}$. Le coefficient directeur m indique la variation de y lorsque x augmente d’une unité. Cette forme rend pente et ordonnée à l’origine immédiatement lisibles.

Une droite verticale a une équation $\text{x=k}$ : elle ne possède pas de coefficient directeur et ne s’écrit pas $\text{y=mx+p}$. La forme cartésienne reste universelle pour toutes les droites du plan.

Avec un point $\text{A(xA;yA)}$ et un vecteur directeur $\text{u=(u1;u2)}$ non nul, le point $\text{M(x;y)}$ appartient à la droite lorsque AM et u sont colinéaires : $\text{det(AM,u)=0}$, soit $\text{(x−xA)u2−(y−yA)u1=0}$.

Avec deux points distincts A et B, on prend $\text{u=AB}$. Avec un coefficient m et un point A, on écrit $\text{y−yA=m(x−xA)}$. Le contrôle final consiste à vérifier le point donné et la colinéarité d’un vecteur directeur avec la droite obtenue.

Pour tracer une droite, trouve deux points exacts distincts. Dans $\text{y=mx+p}$, (0;p) est disponible et une écriture fractionnaire de m fournit un déplacement horizontal et vertical. Dans $\text{ax+by+c=0}$, on peut choisir une coordonnée puis résoudre l’autre.

Les intersections avec les axes sont utiles lorsqu’elles existent : poser $\text{y=0}$ pour l’axe des abscisses et $\text{x=0}$ pour l’axe des ordonnées. Une lecture graphique contrôle le calcul, mais ne remplace pas une substitution quand l’appartenance exacte est demandée.

On compare d’abord les directions. Si elles ne sont pas colinéaires, les droites sont sécantes et le système de leurs équations possède une solution unique. Si elles sont colinéaires, il faut encore tester un point pour distinguer droites parallèles distinctes et droites confondues.

Le point d’intersection se trouve en résolvant le système, puis en vérifiant les deux équations. Pour prouver l’alignement de trois points, on peut tester $\text{det(AB,AC)=0}$ sans calculer de quotient susceptible d’avoir un dénominateur nul.