Fonctions de référence en seconde : domaines, courbes et équations

Ce que tu vas savoir faire

Associer chaque fonction de référence à son domaine et à sa courbe.
Lire fonctions affine et valeur absolue par pente, sommet et signe.
Relier carré et racine carrée sur les domaines où elles s’inversent.
Contrôler domaine, signe et branches de la fonction inverse.
Comparer identité, carré et cube sur des intervalles qualifiés.
Résoudre f(x)=k ou f(x)<k par une méthode adaptée.

Avant de commencer

Calculer une image f(x).
Lire des coordonnées et des intersections sur un graphique.
Résoudre une équation ou inéquation simple.

Le chapitre en bref

Une fonction de référence se reconnaît par une formule et un profil stable : domaine, signe, symétrie, variations et courbe. Avant de comparer ou résoudre, identifie la famille et son domaine. Le calcul donne une réponse exacte ; la courbe prévoit le nombre de solutions et leur position. Les fonctions affine, valeur absolue, carré, inverse, racine carrée et cube forment un répertoire à choisir selon la structure du problème.

1. Quel passeport mémoriser pour chaque fonction ?

Une formule ne suffit pas. Pour chaque fonction, mémorise son domaine, ses zéros, son signe, ses symétries, ses variations et quelques points exacts. Ces éléments permettent de reconstruire la courbe au lieu d’en retenir un dessin fragile.

Les domaines sont essentiels : affine, valeur absolue, carré et cube sont définies sur ℝ ; l’inverse sur ℝ\{0} ; la racine carrée sur [0;+∞[. Une question portant sur une valeur hors domaine s’arrête avant le calcul.

Quel passeport reconstruit la courbe ?

q(x)=x²ℝq(x)≥0Paire : axe des ordonnéesDécroît puis croît(−1;1), (0;0), (1;1)

Les invariants permettent de reconstruire la courbe sans mémoriser une image floue.

2. Comment distinguer droite affine et V de la valeur absolue ?

La fonction affine f(x)=mx+p a pour courbe une droite. Le signe de m donne son sens de variation et p est l’ordonnée à l’origine. Résoudre f(x)=k revient à chercher l’intersection avec y=k.

La fonction valeur absolue v(x)=|x| mesure la distance à 0. Elle est paire, positive, décroissante sur ]−∞;0] puis croissante sur [0;+∞[, avec minimum 0. Sa courbe en V rappelle que |x|=k possède deux solutions si k>0, une si k=0 et aucune si k<0.

Droite ou V : quel mécanisme produit la forme ?

f(x)=2x−1Taux constant m=2Droite croissante(0 ; −1)f(x)=3 ⇔ x=2

La droite code un taux constant ; le V code une distance à zéro.

3. Pourquoi carré et racine carrée se répondent-ils seulement sur ℝ+ ?

La fonction carré q(x)=x² est paire et positive. Elle décroît sur ]−∞;0] puis croît sur [0;+∞[. Pour comparer a² et b² sans supposer a et b positifs, compare |a| et |b|.

La fonction racine r(x)=√x est définie pour x≥0, positive et croissante. Sa courbe est la branche y≥0 de la parabole couchée x=y² : elle part de O vers la droite. Sur ℝ+, carré et racine s’annulent l’une l’autre : (√x)²=x pour x≥0 et √(x²)=|x| pour tout réel x.

Que restitue la racine après le carré ?

x=−4x²=16√16=4√(x²)=|x|Racine définie sur ℝ+

Le carré efface le signe ; la racine choisit toujours la valeur positive ou nulle.

4. Comment raisonner avec les deux branches de l’inverse ?

La fonction inverse i(x)=1/x exclut 0. Sa courbe est une hyperbole à deux branches, symétrique par rapport à l’origine : une branche pour x>0 et une pour x<0. Le signe de 1/x est celui de x.

Sur chacun des intervalles ]−∞;0[ et ]0;+∞[, l’inverse est décroissante. Mais on ne compare pas 1/a et 1/b en invoquant une seule variation si a et b sont de signes différents : on utilise d’abord le signe, puis la variation sur la branche concernée.

Sur quelle branche se trouve le raisonnement ?

a=2 ; b=5a,b∈]0;+∞[2<51/2>1/5Branche positive décroissante

Le signe choisit la branche ; la décroissance compare ensuite les valeurs.

5. Où identité, carré et cube changent-ils d’ordre ?

La fonction cube c(x)=x³ est impaire, définie sur ℝ et strictement croissante. Elle conserve le signe de x et sa courbe possède une symétrie centrale en O.

Pour x≥0, les courbes y=x, y=x² et y=x³ se rencontrent en 0 et 1. Sur ]0;1[, x³<x²<x ; sur ]1;+∞[, x<x²<x³. Cette phrase limitée à deux intervalles remplace toute comparaison vague de vitesse ou de hauteur.

Quels seuils changent l’ordre des courbes ?

0<x<1x=1/21/8 ; 1/4 ; 1/2x³<x²<xÉgalités en 0 et 1

Une comparaison de fonctions n’est valide que sur l’intervalle qui la justifie.

6. Comment choisir entre lecture graphique et calcul exact ?

Pour f(x)=k, la droite y=k prévoit le nombre d’intersections ; l’algèbre donne les solutions exactes. Pour f(x)<k, on repère les zones où la courbe est sous cette droite puis on traduit en intervalles en respectant les bornes ouvertes ou fermées.

Commence par le domaine et la famille : x²=k dépend du signe de k ; 1/x=k exige x≠0 et k≠0 pour une solution ; √x=k exige k≥0 ; x³=k possède une solution réelle unique. Un graphique approximatif contrôle la cohérence, pas l’exactitude d’une borne.

Combien de solutions le profil autorise-t-il ?

x²=9x∈ℝDeux solutions symétriques|x|=3S={−3 ; 3}

ContrôleLes deux valeurs donnent 9

Lecture graphiqueDeux intersections avec y=9

Le domaine et la courbe prévoient la structure de l’ensemble solution avant le calcul.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Passeport complet.
Droite ou V.
Carré et racine qualifiés.
Inverse par branches.
Ordre par intervalles.
Résolution contrôlée.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Quel est le domaine de la fonction inverse ? ℝ\{0} [0;+∞[ ℝ

2. Combien de solutions possède |x|=4 ? Deux : −4 et 4 Une : 4 Aucune

3. Que vaut √(x²) pour un réel x ? |x| x dans tous les cas x²

4. Comment comparer (−5)² et 3² ? Comparer |−5| et |3| : 25>9 Comme −5<3, alors 25<9 Ils sont égaux

5. Sur ]0;1[, quel ordre est correct ? x³<x²<x x<x²<x³ x²<x³<x

6. Combien de solutions réelles possède √x=−2 ? Aucune Une : 4 Une : −4

7. Sur quel intervalle la fonction inverse est-elle décroissante ? Séparément sur ]−∞;0[ et ]0;+∞[ Sur tout ℝ Seulement sur [0;+∞[

8. Quelle fonction a une courbe en V et un minimum en 0 ? x↦|x| x↦1/x x↦x³

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