Comment passer d’une représentation de fonction à une autre ?

Une fonction f définie sur un ensemble D associe à chaque x de D une unique image $\text{f(x)}$. L’entrée x peut représenter un temps, une longueur ou un nombre abstrait ; la sortie dépend de cette entrée selon une règle annoncée.

Un même y peut avoir plusieurs antécédents, mais un x autorisé ne peut pas avoir deux images différentes. Le domaine D fait partie du contrat : une formule calculable hors du contexte peut encore y être interdite par une longueur, une durée ou une capacité.

Calculer l’image de a signifie partir de a et obtenir $\text{f(a)}$. Chercher les antécédents de k signifie trouver tous les x du domaine tels que $\text{f(x)=k}$. Les flèches de lecture sont opposées.

Dans un tableau, l’image se lit de la ligne x vers la ligne $\text{f(x)}$. Sur une courbe, l’image se lit verticalement depuis l’abscisse ; les antécédents se lisent horizontalement depuis l’ordonnée. Une formule permet un calcul exact lorsque l’équation est résoluble.

La courbe représentative de f est l’ensemble des points $\text{M(x;y)}$ qui vérifient $\text{y=f(x)}$, avec x dans le domaine. Le point $\text{A(a;b)}$ appartient donc à la courbe si a est autorisé et si $\text{b=f(a)}$.

Le tracé relie les couples calculés selon la nature de la fonction et le domaine. Un point qui semble posé sur un trait épais n’est pas une preuve : la substitution teste l’appartenance exacte ; le graphique sert à lire, prévoir ou contrôler.

Une formule comme $\text{f(x)=}{\text{(x−2)}}^2\text{+1}$ devient un programme : soustraire 2, élever au carré, ajouter 1. Un tableau échantillonne quelques entrées ; il ne décrit pas à lui seul toutes les valeurs entre elles.

Pour construire une courbe, choisis des x du domaine, calcule des couples exacts, repère les invariants connus puis trace avec une échelle annoncée. Pour retrouver une formule depuis un tableau ou un graphique, plusieurs règles peuvent convenir à un échantillon fini : il faut une hypothèse de famille ou davantage d’information.

Le domaine est l’intersection de toutes les autorisations. Un dénominateur impose qu’il soit non nul ; une racine carrée impose un radicande positif ou nul ; un logarithme, lorsqu’il sera étudié plus tard, imposera une stricte positivité ; le contexte peut ajouter longueur positive ou durée bornée.

Pour $\text{f(x)=}\sqrt{\text{x−1}}\text{/(x−3)}$, il faut $\text{x≥1}$ et $\text{x≠3}$, donc $\text{D=[1;3[∪]3;+∞[}$. Écrire d’abord chaque contrainte puis les intersecter évite de conserver une valeur interdite après simplification.

Résoudre $\text{f(x)=k}$ revient à chercher les antécédents de k, donc les intersections de la courbe avec $\text{y=k}$. Résoudre $\text{f(x)=g(x)}$ revient aux intersections de deux courbes. Une lecture graphique donne souvent une valeur approchée ou un nombre de solutions.

La formule donne des solutions exactes lorsqu’elle est exploitable ; un tableau localise seulement les valeurs présentes ; un logiciel explore et approche. La réponse finale précise domaine, exactitude ou approximation, ensemble solution et contrôle dans l’énoncé initial.