Variations et extrémums d’une fonction : cours de seconde

Ce que tu vas savoir faire

Prouver croissance, décroissance ou absence de monotonie par comparaison.
Traduire une courbe, un tableau de variations et une phrase sans perdre les bornes.
Distinguer valeur extrême, abscisse d’atteinte, extremum local et global.
Relier le coefficient directeur d’une affine à son sens de variation.
Justifier les variations des fonctions carré et inverse sur les bons intervalles.
Utiliser un outil numérique comme instrument de conjecture contrôlée.

Avant de commencer

Comparer des nombres réels et manipuler des intervalles.
Lire une courbe et un tableau de valeurs.
Reconnaître les fonctions affine, carré et inverse.

Le chapitre en bref

Étudier les variations d’une fonction consiste à comparer l’ordre des entrées et celui de leurs images sur un intervalle précis. Une fonction est croissante si l’ordre est conservé, décroissante s’il est renversé. Un maximum ou un minimum est une valeur atteinte sur l’intervalle étudié, éventuellement en plusieurs abscisses. Graphique et logiciel aident à conjecturer ; tableau, calcul et propriétés de référence permettent de formuler puis de justifier la conclusion.

1. Comment prouver un sens de variation ?

Sur un intervalle I, une fonction f est croissante si a≤b implique f(a)≤f(b). Elle est décroissante si a≤b implique f(a)≥f(b). La première conserve l’ordre ; la seconde le renverse. Ces définitions utilisent des inégalités larges : une fonction constante satisfait les deux.

Un couple bien choisi peut réfuter une variation, mais quelques exemples ne prouvent pas tous les couples. Pour démontrer, pars de deux réels quelconques a≤b de l’intervalle, compare f(a) et f(b), puis conclus seulement sur cet intervalle.

L’ordre des images suit-il celui des entrées ?

I=ℝ1<4f(1)=1 ; f(4)=71<7 : ordre conservéCroissante

Pour f(x)=2x−1, tout écart positif d’entrée produit un écart positif d’image.

2. Comment traduire une courbe en tableau de variations ?

Commence par inscrire le domaine et ses bornes. Repère ensuite les abscisses où le sens change, calcule ou lis les valeurs correspondantes, puis place une flèche montante, descendante ou horizontale entre deux colonnes successives.

Pour f(x)=x² sur [−2;2], les valeurs clés sont 4, 0 et 4 : la fonction décroît de −2 à 0 puis croît de 0 à 2. Le tableau ne décrit pas le déplacement d’un point dans le temps ; il compare les images lorsque x parcourt l’intervalle de gauche à droite.

Que doit conserver le tableau de variations ?

D=[−2;2]x : −2 | 0 | 2f(x) : 4 ↘ 0 ↗ 4Changement en x=0Décroît puis croît

Les flèches traduisent l’ordre des images ; les nombres inscrits doivent être calculés ou fournis.

3. Maximum ou minimum : quelle valeur, sur quel intervalle ?

Dire que M est le maximum de f sur I signifie que M est atteint : il existe c dans I tel que f(c)=M, et pour tout x de I, f(x)≤M. Le minimum se définit de même avec f(x)≥m. M et m sont des valeurs ; les points de la courbe ont pour coordonnées (c;M) ou (c;m).

L’intervalle change la réponse. La fonction x sur ]0;1[ n’a ni minimum ni maximum : 0 et 1 sont des bornes non atteintes. Un sommet local peut être dépassé ailleurs ; vérifie toujours si la question porte sur un voisinage ou sur tout l’intervalle annoncé.

La valeur extrême est-elle vraiment atteinte ?

I=[−2;2]f(x)=x²Minimum candidat : 0f(0)=0 et f(x)≥0Minimum 0, atteint en x=0

Un extremum est une valeur atteinte et comparée à toutes les images de l’intervalle.

4. Que révèle le coefficient directeur d’une fonction affine ?

Pour f(x)=ax+b, si x augmente de h, alors f(x+h)−f(x)=ah. Avec h>0, le signe de cette différence est celui de a : f est croissante si a>0, décroissante si a<0 et constante si a=0.

Le sens de variation ne donne pas à lui seul le signe de f. Si a≠0, la racine −b/a sépare les zones de signe ; si a=0, le signe est celui de b. Ainsi f(x)=2x+3 est croissante mais devient négative pour x<−3/2.

Pente et signe répondent-ils à la même question ?

f(x)=3x−6a=3>0Croissante sur ℝRacine : x=2f(x)<0 avant 2 ; f(x)>0 après 2

Le signe de a fixe la variation ; la racine sépare les zones de signe lorsque a≠0.

5. Pourquoi l’intervalle décide-t-il pour carré et inverse ?

La fonction carré décroît sur ]−∞;0] puis croît sur [0;+∞[. Pour 0≤a≤b, b²−a²=(b−a)(b+a)≥0. Sur les nombres négatifs, l’ordre des valeurs absolues s’inverse lorsque les nombres se rapprochent de zéro.

Pour a<b non nuls de même signe, 1/a−1/b=(b−a)/(ab)>0 : la fonction inverse est décroissante séparément sur ]−∞;0[ et ]0;+∞[. On ne peut pas annoncer une variation sur un intervalle qui contient 0, car la fonction n’y est pas définie partout.

Quelle comparaison certifie la variation ?

0≤a≤bf(x)=x²b²−a²=(b−a)(b+a)Produit positif ou nulCarré croissante sur [0;+∞[

La factorisation transforme la comparaison d’images en signe de facteurs contrôlés.

6. Que prouve vraiment une calculatrice ou un logiciel ?

Une courbe numérique dépend de la fenêtre ; un tableau dépend du pas ; un extremum affiché dépend de l’intervalle de recherche et de la précision. Ces outils repèrent des candidats, testent des exemples et rendent une tendance visible, mais ils n’examinent pas automatiquement tout le domaine.

Note la fenêtre, affine-la autour d’un changement, compare plusieurs représentations puis certifie la conclusion par une propriété connue ou un calcul. Par exemple, la courbe de (x−20)² semble décroissante dans la fenêtre [−5;5], alors que son minimum global est atteint en x=20.

Que cache la fenêtre numérique ?

Courbe de f(x)=(x−20)²Fenêtre x∈[−5;5]La courbe visible descendLe point x=20 est hors écranConjecture locale, pas preuve globale

À noterFenêtre, pas et précision

À certifierIntervalle et propriété générale

L’outil organise l’exploration ; la justification fixe la portée de la conclusion.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Ordres comparés.
Tableau traduit.
Intervalle annoncé.
Valeur atteinte.
Preuve par différence.
Fenêtre auditée.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Que faut-il montrer pour prouver que f est croissante sur I ? Pour tous a≤b dans I, f(a)≤f(b) Pour un seul couple a<b, f(a)<f(b) Que f(x) est toujours positive

2. Une fonction constante est-elle croissante au sens large ? Oui, et elle est aussi décroissante Non, jamais Seulement si sa valeur vaut zéro

3. Quel est le sens de variation de x↦x² sur ℝ ? Elle n’est monotone ni croissante ni décroissante sur tout ℝ Elle est croissante sur tout ℝ Elle est décroissante sur tout ℝ

4. Si f(2)=7 est le maximum sur [0;4], quel nombre est le maximum ? 7 2 (2;7)

5. La fonction f(x)=x possède-t-elle un maximum sur ]0;1[ ? Non, car 1 n’est pas atteint Oui, 1 Oui, 0

6. Si f(x)=−3x+5, quel est son sens de variation ? Décroissante sur ℝ Croissante sur ℝ Toujours positive

7. Où la fonction inverse est-elle décroissante ? Séparément sur ]−∞;0[ et ]0;+∞[ Sur tout ℝ Sur [−1;1]

8. Une courbe affichée dans une seule fenêtre prouve-t-elle un maximum global ? Non, il faut contrôler domaine, fenêtre et justification Oui, toujours Oui, si la courbe est colorée

Réviser au bon moment

Révèle chaque réponse, puis indique la difficulté de ton rappel pour programmer la prochaine révision dans ce navigateur.