Comment passer d’un déplacement à une preuve vectorielle ?

Le vecteur MM’ est le déplacement de la translation qui envoie M sur M’. Une autre flèche AA’ représente le même vecteur si la même translation envoie A sur A’. L’emplacement change, mais pas le déplacement.

Pour un vecteur non nul, direction, sens et norme permettent de comparer deux représentants. Le vecteur nul AA a une norme nulle et des coordonnées (0;0), mais aucune direction ni aucun sens privilégié. Une définition par translation ou coordonnées traite ce cas sans exception artificielle.

Additionner u puis v revient à enchainer leurs translations : on place un représentant de v à la suite de u, puis on relie le départ initial à l’arrivée finale. Avec des points, $\text{AB+BC=AC}$ : c’est la relation de Chasles.

Le point intermédiaire doit se raccorder : $\text{AB+CD}$ ne se simplifie pas directement. On peut introduire un point utile, inverser un vecteur avec $\text{BA=−AB}$ et regrouper les termes. Un schéma d’itinéraire contrôle l’ordre avant le calcul.

Si $\text{A(xA;yA)}$ et $\text{B(xB;yB)}$, alors $\text{AB=(xB−xA;yB−yA)}$. On soustrait arrivée moins départ. Une composante négative indique un déplacement vers la gauche ou vers le bas ; ce n’est pas une distance.

Dans une base (i,j), le vecteur $\text{u=(x;y)}$ signifie $\text{u=xi+yj}$. Les sommes et produits se calculent composante par composante : $\text{(x;y)+(x’;y’)=(x+x’;y+y’)}$ et $\text{λ(x;y)=(λx;λy)}$. Représente ensuite le résultat pour contrôler le sens.

Le vecteur λu a la même direction que u si u est non nul. Si $\text{λ>0}$, il garde le sens ; si , il l’inverse ; sa norme est $\text{|λ|×||u||}$. Si $\text{λ=0}$, le résultat est le vecteur nul.

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si l’un est un multiple réel de l’autre. Dans le plan, deux vecteurs non colinéaires i et j forment une base : chaque vecteur s’écrit de façon unique $\text{xi+yj}$. Cette décomposition sépare les deux directions de travail.

Dans une base orthonormée, $\text{||(x;y)||=}\sqrt{x^2\text{+}{y}^2}$. Donc $\text{AB=||AB||=√(}{\text{(xB−xA)}}^2\text{+}{\text{(yB−yA)}}^2\text{)}$. L’orthonormalité est essentielle à cette formule de Pythagore.

Le milieu I de [AB] vérifie $\text{AI=IB}$ et ses coordonnées sont $\text{((xA+xB)/2;(yA+yB)/2)}$. Cette moyenne est affine et ne requiert pas l’orthonormalité. Distinguer outil métrique et outil affine évite d’ajouter des hypothèses inutiles.

Dans une base du plan, pour $\text{u=(x;y)}$ et $\text{v=(x’;y’)}$, $\text{det(u,v)=xy’−yx’}$. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. La base n’a pas besoin d’être orthonormée pour ce critère.

Pour prouver que A, B et C sont alignés, calcule AB et AC puis det(AB,AC). Pour prouver que deux droites sont parallèles, choisis un vecteur directeur de chacune. Annonce les vecteurs, leurs coordonnées, le déterminant et la conclusion géométrique.