Comment lire et prouver les variations et les extrémums d’une fonction ?

L’idée et la définitionImagine deux entrées rangées de la gauche vers la droite. Si leurs images restent dans le même ordre, la fonction conserve l’ordre ; si elles échangent leur ordre, elle le renverse. Formellement, sur un intervalle $I$, $f$ est croissante si, pour tous $a$ et $b$ de $I$, $\text{a≤b}$ implique $\text{f(a)≤f(b)}$. Elle est décroissante si $\text{a≤b}$ implique $\text{f(a)≥f(b)}$. Les inégalités sont larges : une fonction constante est à la fois croissante et décroissante. Avec des inégalités strictes, on parle de fonction strictement croissante ou strictement décroissante.

Méthode de preuveLa preuve tient en quatre lignes : choisir deux réels quelconques $\text{a≤b}$ dans $I$ ; former $\text{f(b)−f(a)}$ ou comparer directement les images ; déterminer le signe grâce aux hypothèses sur $I$ ; traduire ce signe en sens de variation. Le mot « quelconques » est essentiel : il transforme un calcul en résultat valable pour tous les couples de l’intervalle.

Exemple résoluPour $\text{g(x)=3x−5}$ sur $\text{ℝ}$, choisissons deux réels $\text{a≤b}$. La différence des images se calcule étape par étape ; son signe permettra ensuite de comparer $\text{g(a)}$ et $\text{g(b)}$.

Contre-exemplePour réfuter une affirmation universelle, un contre-exemple suffit. La fonction carré n’est pas croissante sur $\text{ℝ}$ car mais $\text{4>1}$. Elle n’est pas non plus décroissante sur $\text{ℝ}$ car mais pour les images. Deux couples bien choisis réfutent ici les deux sens ; ils ne remplaceraient pas une preuve si l’on voulait établir une monotonie.

Structure du tableauUn tableau de variations condense trois informations différentes : les abscisses autorisées sur la première ligne, les valeurs de la fonction aux points clés, puis les flèches qui traduisent le sens de variation entre deux colonnes. On commence donc par le domaine et ses bornes, jamais par les flèches.

Exemple résoluPour $\text{f(x)=}{x}^2$ sur $\text{[−2;2]}$, les points clés sont $\text{−2}$, $0$ et $2$. On calcule $\text{f(−2)=4}$, $\text{f(0)=0}$ et $\text{f(2)=4}$. La fonction carré décroît sur $\text{[−2;0]}$, puis croît sur $\text{[0;2]}$ : la ligne des valeurs s’écrit $\text{4 ↘ 0 ↗ 4}$. Le minimum vaut $0$ et il est atteint en $\text{x=0}$ ; le maximum vaut $4$ et il est atteint aux deux bornes.

Lire les flèchesLire un tableau se fait dans les deux sens. Si sont dans une même zone croissante, alors $\text{f(a)≤f(b)}$. S’ils sont dans une même zone décroissante, alors $\text{f(a)≥f(b)}$. S’ils se trouvent de part et d’autre d’un changement de sens, le tableau ne permet pas toujours de comparer leurs images sans valeurs supplémentaires.

AttentionUne flèche ne donne pas une valeur exacte. Si le dessin suggère un sommet vers $\text{x=1,4}$, on écrit une approximation ; si une valeur de bord n’est pas fournie ou calculable, on ne l’invente pas. Une borne ouverte peut apparaître dans la ligne des $x$, mais la fonction n’y prend aucune valeur.

DéfinitionDire que $M$ est le maximum de $f$ sur $I$ signifie que $M$ est atteint : il existe $\text{c∈I}$ tel que $\text{f(c)=M}$, et pour tout $\text{x∈I}$, $\text{f(x)≤M}$. Le minimum se définit de même avec $\text{f(x)≥m}$. $M$ et $m$ sont des valeurs ; $c$ est une abscisse d’atteinte et le point de la courbe a pour coordonnées $\text{(c;M)}$ ou $\text{(c;m)}$.

Rôle de l’intervalleL’intervalle change la réponse. La fonction $\text{x↦x}$ sur $\text{]0;1[}$ n’a ni minimum ni maximum : $0$ et $1$ bornent ses valeurs mais ne sont jamais atteints. Un sommet local peut être dépassé ailleurs. Avant de conclure, il faut donc entourer dans l’énoncé l’intervalle et le mot « local » ou « global » lorsqu’il apparaît.

Optimisation résolueUn rectangle a un périmètre de $\text{20 cm}$. Si $x$ est sa largeur, sa longueur vaut $\text{10−x}$ et l’aire vaut $\text{A(x)=x(10−x)}$, avec $x$ dans $\text{[0;10]}$. Pour comparer toutes les aires à une même valeur, réécrivons cette expression sous forme canonique.

MéthodeCette résolution montre la structure à retenir : choisir une variable ; traduire les contraintes en domaine ; exprimer la grandeur à optimiser ; étudier ou réécrire la fonction ; donner la valeur extrême, l’abscisse où elle est atteinte et une phrase avec l’unité. Tester seulement quelques rectangles ne prouverait pas le maximum.

PropriétéPour $\text{f(x)=mx+p}$, le nombre $m$ est le taux d’accroissement : lorsque $x$ varie de $h$, l’image varie de $\text{mh}$. Si $\text{h>0}$, le signe de cette variation est celui de $m$. Ainsi $f$ est croissante si $\text{m>0}$, décroissante si et constante si $\text{m=0}$. Le nombre $\text{p=f(0)}$ est l’ordonnée à l’origine.

DémonstrationPour $\text{a≤b}$, calculons $\text{f(b)−f(a)}$. En remplaçant les deux images, le terme $p$ disparaît : il déplace la droite verticalement sans changer sa pente. La factorisation fait alors apparaître le rôle de $m$.

Ne pas confondreLe sens de variation ne donne pas à lui seul le signe des valeurs. Si $\text{m≠0}$, la racine $\frac{\text{−p}}{m}$ sépare les zones de signe ; si $\text{m=0}$, le signe dépend de $p$. Par exemple $\text{f(x)=2x+3}$ est croissante sur $\text{ℝ}$, mais pour et $\text{f(x)>0}$ pour $\text{x>}\frac{\text{−3}}{2}$.

Sur un intervalleSur un intervalle restreint, on ne conserve que la portion utile. Pour $\text{g(x)=−x+2}$ sur $\text{[0;1]}$, la droite est décroissante, mais sa racine $2$ est hors de l’intervalle : $g$ reste positive puisque ses valeurs vont de $2$ à $1$. Variation, signe et domaine répondent à trois questions distinctes.

Valeur absolueLa fonction valeur absolue vérifie $\text{|x|=−x}$ sur $\text{]−∞;0]}$ et $\text{|x|=x}$ sur $\text{[0;+∞[}$. Elle décroît donc jusqu’à $0$ puis croît à partir de $0$ ; son minimum global est $0$. Sa courbe en V et celle de la fonction carré ont la même symétrie, mais leurs valeurs et leur croissance ne sont pas identiques.

Fonction carréLa fonction carré décroît sur $\text{]−∞;0]}$ puis croît sur $\text{[0;+∞[}$. Pour $\text{0≤a≤b}$, $b^2\text{−}{a}^2\text{=(b−a)(b+a)≥0}$. Pour $\text{a≤b≤0}$, le premier facteur est positif ou nul mais le second est négatif ou nul, donc $b^2\text{−}{a}^2\text{≤0}$. La même factorisation prouve les deux sens selon l’intervalle.

Fonction inversePour non nuls et de même signe, comparons leurs inverses en les plaçant au même dénominateur. Il faut ensuite contrôler séparément le signe du numérateur et celui du dénominateur.

Comparer deux courbesSur $\text{[0;+∞[}$, comparer les courbes $\text{y=}{x}^2$ et $\text{y=x}$ revient à étudier $x^2\text{−x=x(x−1)}$. Ce produit est négatif ou nul sur $\text{[0;1]}$, puis positif ou nul sur $\text{[1;+∞[}$. Donc la courbe de $x^2$ est sous celle de $x$ entre $0$ et $1$, les deux se coupent en $\text{x=0}$ et $\text{x=1}$, puis la courbe de $x^2$ passe au-dessus. Une comparaison de courbes est ainsi ramenée au signe d’une différence.

Ce que l’écran montreUne courbe numérique dépend de la fenêtre ; un tableau dépend du pas ; un extremum affiché dépend de l’intervalle de recherche et de la précision. Ces outils repèrent des candidats, testent des exemples et rendent une tendance visible, mais ils n’examinent pas automatiquement tout le domaine.

BalayageLe balayage calcule $\text{f(a)}$, $\text{f(a+h)}$, $\text{f(a+2h)}$, puis conserve la meilleure valeur rencontrée jusqu’à $b$. Pour $\text{f(x)=−}{\text{(x−1,37)}}^2\text{+4}$ sur $\text{[0;3]}$, un pas $\text{h=0,1}$ repère un maximum près de $\text{x=1,4}$. Un second balayage entre $\mathrm{1,3}$ et $\mathrm{1,5}$ avec $\text{h=0,01}$ trouve $\text{x=1,37}$ et la valeur $4$. La première étape localise ; la seconde affine.

DichotomieUne recherche par dichotomie exploite un tableau qui garantit que la fonction croît puis décroît. On coupe l’intervalle candidat en deux, on compare des valeurs de part et d’autre du milieu, puis on écarte la moitié incompatible avec le sens connu. Après chaque étape, l’intervalle contenant l’abscisse du maximum est deux fois plus court. Le résultat est un encadrement, pas une égalité décimale magique.

ConclusionNote toujours l’intervalle initial, la méthode, le pas ou le nombre d’étapes et la précision finale. Ensuite, certifie ce qui peut l’être par une propriété ou un calcul. Par exemple, la courbe de ${\text{(x−20)}}^2$ paraît décroissante dans la fenêtre $\text{[−5;5]}$, alors que la forme de la fonction prouve que son minimum global est atteint en $\text{x=20}$.