Statistique descriptive : pourcentages, moyenne, médiane et écart type

Ce que tu vas savoir faire

Choisir la bonne population de référence et calculer une proportion de proportion.
Distinguer variation absolue, taux, coefficients successifs et évolution réciproque.
Passer de données brutes à des classes, un histogramme et des fréquences cumulées.
Calculer une moyenne pondérée et prévoir l’effet d’une transformation ou d’une valeur ajoutée.
Déterminer médiane, quartiles, classe médiane et estimation sous hypothèse uniforme.
Comparer deux séries avec un couple cohérent de centre et de dispersion.

Avant de commencer

Calculer une fraction et un pourcentage.
Ordonner une liste de nombres.
Utiliser une racine carrée et lire un graphique.

Le chapitre en bref

Une information chiffrée devient interprétable seulement si l’on nomme sa population de référence, son unité et son mode de construction. Les proportions décrivent une part ; les taux décrivent une évolution. Pour une série, moyenne ou médiane situent le centre, tandis qu’écart type ou écart interquartile décrivent la dispersion. Si les données sont regroupées en classes, certaines valeurs deviennent des estimations dépendant d’une hypothèse de répartition.

1. De quelle population le pourcentage parle-t-il ?

Une proportion p=nA/nE compare l’effectif d’une sous-population A à celui de sa population de référence E. Le pourcentage 100p ne change pas le rapport : il l’exprime sur une base 100. Avant tout calcul, écris donc partie, tout et unité.

Si B est inclus dans A, elle-même incluse dans E, alors la proportion de B dans E est le produit de la proportion de A dans E par celle de B dans A. Dire « 60 % des 50 % » donne 0,60×0,50=0,30, soit 30 % de E ; additionner les pourcentages n’a pas de sens ici.

Quel dénominateur donne du sens au pourcentage ?

Population E : 200A : 100, soit 50 % de EB : 60, soit 60 % de A0,50 × 0,60B représente 30 % de E

Chaque pourcentage porte sa propre population de référence ; les étages emboîtés se multiplient.

2. Proportion ou évolution : quel pourcentage calcule-t-on ?

Une proportion compare deux effectifs simultanés ; une évolution compare une valeur finale V₂ à une valeur initiale V₁. La variation absolue V₂−V₁ conserve l’unité. Le taux (V₂−V₁)/V₁ est sans unité et exige V₁ non nul ; le coefficient V₂/V₁ vaut 1+t.

Pour plusieurs évolutions, multiplie les coefficients. Une hausse de 10 % puis une baisse de 10 % donne 1,10×0,90=0,99, soit −1 %. Pour revenir exactement à la valeur initiale après un coefficient c non nul, le coefficient réciproque est 1/c.

Quelle chaîne relie la valeur initiale à la valeur finale ?

V₁=100+10 % → ×1,10−10 % → ×0,90Coefficient global 0,99V₂=99 ; taux global −1 %

Les taux ne s’additionnent pas lorsque chaque étape change la base.

3. Que perd-on quand on regroupe les données en classes ?

Une série brute garde chaque valeur. Pour une variable continue, des classes de même amplitude résument les données : l’histogramme représente les effectifs ou fréquences par rectangles, et le polygone des fréquences cumulées montre la part située sous chaque borne.

Le regroupement efface la position exacte de chaque valeur à l’intérieur d’une classe. Si l’on suppose une répartition uniforme, le centre de classe représente sa moyenne et une interpolation dans la classe médiane devient possible. Sans cette hypothèse, parle de classe ou d’intervalle, pas de valeur exacte.

Que conserve le regroupement en classes ?

12 valeurs brutes[0;10[, [10;20[, [20;30[Histogramme, amplitudes égalesEffectifs par intervallePositions exactes perdues

Une classe localise une valeur dans un intervalle sans révéler sa position exacte.

4. Comment la moyenne réagit-elle aux poids et aux transformations ?

Avec des valeurs xi d’effectifs ni, la moyenne est Σnixi/Σni. Si des groupes ont des moyennes mi et des effectifs ni, la moyenne globale est Σnimi/Σni : les groupes nombreux pèsent davantage. Pour des classes, remplacer chaque classe par son centre donne une estimation seulement si l’hypothèse retenue le permet.

Transformer toutes les valeurs par y=ax+b transforme la moyenne en a x̄+b. Ajouter une valeur z à n données de moyenne x̄ donne (n x̄+z)/(n+1) : elle augmente la moyenne si z>x̄, la diminue si z<x̄. La médiane, elle, dépend surtout du rang et peut rester inchangée.

Quel poids chaque groupe donne-t-il à la moyenne ?

20 élèves : 10 ; 10 élèves : 1620×10 + 10×16 = 360N=30x̄=12Le groupe de 20 pèse deux fois plus

Une moyenne de moyennes n’est correcte qu’avec les effectifs comme poids.

5. Comment localiser médiane et quartiles sans fausse précision ?

Ordonne d’abord n valeurs. Selon la convention scolaire française, Q1 est la valeur de rang plafond(n/4) et Q3 celle de rang plafond(3n/4) ; la médiane partage l’effectif ordonné en deux moitiés. Dans une série discrète, ces seuils ne forment pas toujours quatre groupes exactement égaux.

Pour des données regroupées, cumule les effectifs jusqu’à atteindre 50 % : tu obtiens la classe médiane. Si une répartition uniforme est supposée dans cette classe, interpole la position de la médiane ; le résultat est alors une estimation, non une donnée observée.

Quel rang ou quel cumul atteint le seuil ?

10, 20, 30, 40, 50Q1 : seuil 25 %rang ⌈5/4⌉=22e valeur : 20Q1=20

Le plafond transforme le seuil théorique en rang entier sans inventer quatre groupes égaux.

6. Quel couple d’indicateurs raconte vraiment la différence ?

La moyenne et l’écart type décrivent respectivement le centre arithmétique et la dispersion autour de ce centre ; ils réagissent aux valeurs extrêmes. La médiane et l’écart interquartile Q3−Q1 décrivent un centre de rang et la largeur des 50 % centraux ; ils sont généralement plus robustes.

Comparer deux séries exige le même caractère, la même unité et des indicateurs calculés selon les mêmes conventions. Ne dis pas seulement « plus homogène » : annonce le centre, la dispersion, la forme visible du graphique, les valeurs atypiques et la limite éventuelle d’un regroupement en classes.

Quel profil distingue les deux séries ?

A : moyenne 12 ; écart type 2B : moyenne 12 ; écart type 8Même centre arithmétiqueB plus disperséeMême moyenne, homogénéités différentes

Un centre sans dispersion peut masquer la différence la plus importante entre deux séries.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Référence nommée.
Coefficient chaîné.
Regroupement qualifié.
Moyenne pondérée.
Quantile localisé.
Profil comparé.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. 60 % d’un groupe qui représente 50 % de la population correspondent à… 30 % de la population 110 % de la population 10 % de la population

2. Un prix passe de 80 € à 100 €. Quel est son taux d’évolution ? +25 % +20 % +80 %

3. Une hausse de 20 % suivie de sa baisse réciproque exige quel coefficient ? 1/1,20 0,80 1,20

4. Que sait-on exactement d’une valeur seulement donnée par sa classe [10;20[ ? Qu’elle est au moins 10 et strictement inférieure à 20 Qu’elle vaut 15 Qu’elle vaut 10 ou 20

5. Deux groupes de moyennes 10 et 16 ont des effectifs 20 et 10. Quelle est la moyenne globale ? 12 13 26

6. Pour 5 valeurs ordonnées, quel est le rang de Q1 selon la convention scolaire française ? 2 1 2,5

7. Que fournit d’abord un cumul qui franchit 50 % dans une série groupée ? La classe médiane La médiane exacte sans hypothèse L’écart type

8. Deux séries ont la même moyenne mais des écarts types 2 et 8. Laquelle est la plus dispersée autour de sa moyenne ? Celle d’écart type 8 Celle d’écart type 2 On ne peut rien dire

Réviser au bon moment

Révèle chaque réponse, puis indique la difficulté de ton rappel pour programmer la prochaine révision dans ce navigateur.