Pourquoi les fréquences fluctuent‑elles d’un échantillon à l’autre ?

Dans une expérience à deux issues, on nomme succès l’issue observée et p sa probabilité dans le modèle. Un échantillon de taille n est une suite de n résultats obtenus selon le protocole annoncé. Le nombre de succès X est compris entre 0 et n et la fréquence vaut $\text{f=}\frac{X}{n}$.

Répéter des appels indépendants signifie que le résultat courant ne modifie pas la loi du suivant. Un tirage sans remise dans une population finie ne vérifie pas automatiquement cette condition. Avant de coder, il faut donc décrire ce qui est répété, ce qui reste constant et ce qui est compté.

Pour un même p et un même n, les suites de résultats possibles sont nombreuses. Le nombre de succès varie donc et les fréquences fluctuent. Une fréquence éloignée de p ne prouve pas à elle seule que le modèle est faux : il faut la replacer parmi de nombreuses répétitions.

Simuler N échantillons permet de regarder un ensemble de fréquences : centre, dispersion, valeurs rares. Relancer le programme produit une nouvelle galerie. L’objectif n’est pas de choisir la série la plus convaincante, mais d’observer ce qui est typique sous le modèle.

Quand n augmente, une unité supplémentaire au compteur modifie la fréquence de $\frac{1}{n}$ : la grille devient plus fine. Dans des simulations répétées, on observe en général une concentration plus forte autour de p.

La version vulgarisée de la loi des grands nombres dit : lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. Les mots proche et sauf exception sont essentiels. Une taille finie ne garantit ni $\text{f=p}$, ni le prochain résultat.

La simulation décrit la fluctuation sous un modèle. Une enquête réelle ajoute d’autres questions : la liste couvre-t-elle la population ? qui accepte de répondre ? la formulation modifie-t-elle la réponse ? les non-réponses sont-elles documentées ?

Augmenter la taille réduit surtout l’incertitude aléatoire autour du protocole utilisé. Si ce protocole exclut systématiquement un groupe ou mesure autre chose que le caractère visé, davantage de données peut rendre l’estimation plus stable sans la rendre plus juste.

Une fonction fréquence(n,p) peut initialiser un compteur à 0, répéter n fois un tirage U entre 0 et 1, ajouter 1 lorsque , puis renvoyer compteur/n. Le paramètre p permet de simuler n’importe quelle probabilité de succès entre 0 et 1.

Lis chaque ligne par son invariant : avant la boucle, aucun essai n’est compté ; après k tours, le compteur contient les succès des k premiers essais ; à la fin, il est compris entre 0 et n. Tester $\text{n>0}$ et $\text{0≤p≤1}$ empêche des entrées incohérentes.

Une fréquence peut servir d’estimation de la probabilité ou de la proportion visée si le protocole relie correctement l’échantillon à la population. La conclusion doit annoncer le caractère mesuré, la population, la taille, le recrutement et les limites connues.

L’ancien cours testait la formule $\text{|f−}\frac{\text{p|≤1}}{\text{√n}}$. Le programme 2026 demande l’observation de la loi des grands nombres par simulation, mais ne donne pas cette formule comme capacité attendue. Elle n’est donc pas utilisée ici comme recette. On compare plutôt plusieurs tailles et on formule une conclusion qualitative proportionnée aux observations.