Ensembles, logique et démonstrations | Mathématiques Seconde

Ce que tu vas savoir faire

Distinguer élément, sous-ensemble, appartenance et inclusion.
Calculer ou interpréter réunion, intersection, complémentaire et produit cartésien.
Reconnaître une proposition et combiner des conditions avec et, ou et non.
Distinguer implication, réciproque, contraposée et équivalence.
Lire et nier des formulations avec pour tout et il existe.
Choisir une stratégie de démonstration adaptée au but.

Avant de commencer

Connaître les principaux ensembles de nombres.
Savoir tester un exemple numérique.
Savoir développer et factoriser une expression simple.

Le chapitre en bref

Le langage des ensembles distingue les objets, reliés par l’appartenance, des ensembles, comparés par l’inclusion. Réunion, intersection, complémentaire et produit cartésien traduisent ensuite précisément des conditions. En logique, une proposition a une valeur de vérité dans un domaine fixé. Une implication n’est pas sa réciproque, mais elle est équivalente à sa contraposée. Pour démontrer, on choisit une stratégie adaptée : calcul direct, disjonction de cas, contraposée, contre-exemple ou raisonnement par l’absurde.

1. Un nombre appartient-il ou est-il inclus ?

Un élément est un objet ; un ensemble rassemble des objets. On écrit 3∈{1,2,3,4}, car 3 est un élément. On écrit {2,4}⊂{1,2,3,4}, car chaque élément du premier ensemble appartient au second. Écrire 3⊂E ou {2,4}∈E change la nature de la relation et demande une justification particulière.

L’ensemble vide ∅ ne contient aucun élément et il est inclus dans tout ensemble. Si A et B sont deux ensembles, leur produit cartésien A×B est l’ensemble des couples ordonnés (a,b) avec a∈A et b∈B. L’ordre compte : A×B n’est pas en général égal à B×A.

Le symbole relie-t-il un objet ou un ensemble ?

3∈{1,2,3,4}3 est un élément

∈ relie un objet à un ensemble ; ⊂ compare deux ensembles.

2. Comment traduire « et », « ou » et « non » avec des ensembles ?

La réunion A∪B contient les éléments qui appartiennent à A ou à B, y compris ceux qui appartiennent aux deux. L’intersection A∩B ne conserve que les éléments communs. Le complémentaire de A dans un univers E contient les éléments de E qui ne sont pas dans A.

Toujours annoncer l’univers avant de parler de complémentaire : le complémentaire des nombres pairs dans ℤ est l’ensemble des impairs, mais dans ℝ il contient aussi tous les réels non entiers. Les intervalles de ℝ et les ensembles de solutions utilisent exactement cette grammaire.

Quelles issues la phrase conserve-t-elle ?

A={1,2,3}B={3,4}A∪B{1,2,3,4}

Le ou mathématique est inclusif : l’intersection reste dans la réunion.

3. Quand une phrase mathématique a-t-elle une valeur de vérité ?

Une proposition est une phrase à laquelle on peut attribuer vrai ou faux. « 7 est premier » est une proposition vraie. « x+1>x » est une phrase ouverte tant que le domaine et la portée de x ne sont pas fixés ; elle devient vraie si l’on affirme qu’elle vaut pour tout réel x.

La négation échange vrai et faux. La proposition P et Q est vraie seulement si les deux propositions le sont. La proposition P ou Q utilise le ou inclusif : elle est vraie si au moins l’une des deux l’est, y compris lorsque les deux le sont.

Peut-on attribuer vrai ou faux ?

x+1>xx∈ℝVariable quantifiée implicitement par « pour tout »Proposition vraie

Une phrase avec variable devient une proposition seulement lorsque le domaine et la quantification sont fixés.

4. Pourquoi une implication n’autorise-t-elle pas sa réciproque ?

L’implication P⇒Q affirme que chaque situation où P est vraie vérifie aussi Q. Sa réciproque est Q⇒P : elle peut être fausse. « Multiple de 4 ⇒ pair » est vraie, mais « pair ⇒ multiple de 4 » est réfutée par 6.

La contraposée de P⇒Q est « non Q ⇒ non P » ; elle a la même valeur logique que l’implication. Une équivalence P⇔Q exige les deux sens. Pour établir une équivalence, il faut donc démontrer l’implication et sa réciproque, ou une chaîne d’équivalences justifiées.

Quelle proposition est vraiment justifiée ?

Si n est multiple de 4, alors n est pairContraposéeSi n n’est pas pair, alors n n’est pas multiple de 4Même valeur logique

La contraposée est équivalente à l’implication ; la réciproque demande une preuve séparée.

5. Comment raisonner avec « pour tout » et « il existe » ?

Pour prouver « pour tout x, P(x) », un seul exemple ne suffit pas : le raisonnement doit couvrir chaque objet du domaine. Pour réfuter cette phrase, un contre-exemple précis suffit. À l’inverse, pour prouver « il existe x tel que P(x) », il suffit de fournir un témoin et de le vérifier.

Nier « tous vérifient P » revient à affirmer qu’il existe au moins un objet qui ne vérifie pas P. Nier « il existe un objet vérifiant P » revient à affirmer qu’aucun objet ne le vérifie. Le programme demande de lire et d’écrire ces formulations en mots ; les symboles ∀ et ∃ ne sont pas exigibles.

Quel témoin suffit ?

Tout entier impair est premierMontrer que la proposition est fausse9 est impair et 9=3×3Un contre-exemple suffit

Les symboles ∀ et ∃ sont hors programme, mais les mots « pour tout » et « il existe » doivent être lus avec précision.

6. Quelle méthode choisir pour démontrer sans rallonger ?

Commence par traduire le but. Pour montrer que n+(n+1) est impair, le calcul direct donne 2n+1 : la forme attendue apparaît immédiatement. Une disjonction de cas est utile lorsque l’hypothèse sépare réellement les situations ; par exemple, selon la parité de n, l’un des entiers n et n+1 est pair, donc leur produit est pair.

La contraposée simplifie parfois une implication. Le raisonnement par l’absurde suppose la négation du résultat et en déduit une contradiction : s’il existait un plus grand entier M, alors M+1 serait un entier strictement plus grand. Une preuve doit nommer ses hypothèses, couvrir tous les cas et conclure exactement sur le but annoncé.

Quelle architecture rend la preuve courte et complète ?

La somme de deux entiers consécutifs est impaireCalcul directn+(n+1)=2n+1Forme d’un entier impair

Choisis la structure qui exploite directement la forme des hypothèses et du but.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Objets et ensembles distingués.
Opérations traduites.
Propositions contextualisées.
Implications transformées.
Quantificateurs maîtrisés.
Preuves proportionnées.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Quelle écriture traduit correctement que 3 est un élément de A ? 3∈A 3⊂A A∈3

2. Si A={1,2,3} et B={3,4}, que vaut A∩B ? {3} {1,2,3,4} ∅

3. Dans A×B, que représente (a,b) ? Un couple ordonné avec a∈A et b∈B Une réunion de deux nombres Toujours le même objet que (b,a)

4. Quelle phrase est la contraposée de « multiple de 4 ⇒ pair » ? Non pair ⇒ non multiple de 4 Pair ⇒ multiple de 4 Non multiple de 4 ⇒ non pair

5. Que suffit-il de donner pour réfuter « tout entier impair est premier » ? Un entier impair non premier, par exemple 9 Trois nombres premiers impairs La définition des entiers

6. Comment prouver que n+(n+1) est impair pour tout entier n ? Écrire n+(n+1)=2n+1 Tester n=1 et n=2 seulement Supposer que n est premier

7. Si P⇒Q et Q⇒P sont démontrées, que peut-on conclure ? P⇔Q P et Q sont toujours fausses P⊂Q

8. Les symboles ∀ et ∃ sont-ils exigibles dans le programme 2026 de seconde ? Non, les formulations en mots sont travaillées Oui, sans explication en français Seulement en probabilités

Réviser au bon moment

Révèle chaque réponse, puis indique la difficulté de ton rappel pour programmer la prochaine révision dans ce navigateur.