Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

Ce que tu vas savoir faire

Distinguer situation réelle, fréquence observée et loi d’un modèle.
Traduire et, ou, non par intersection, réunion et complémentaire.
Vérifier une loi et calculer la probabilité d’un événement.
Calculer une probabilité conditionnelle dans un tableau d’effectifs.
Interpréter les branches conditionnelles et multiplier un chemin d’arbre.
Distinguer les deux sens d’un conditionnement dans un test diagnostique.

Avant de commencer

Manipuler fractions, proportions et pourcentages.
Utiliser les symboles d’appartenance, d’intersection et de réunion.
Lire un tableau à double entrée.

Le chapitre en bref

Un calcul de probabilité commence par un modèle : univers, événements et loi dont les hypothèses doivent être dites. Une probabilité conditionnelle P_A(B) restreint l’univers à A ; dans une population équiprobable, elle vaut Card(A∩B)/Card(A). Sur un arbre, la pondération d’une seconde branche se lit sachant le premier événement et les probabilités d’un chemin se multiplient. Inverser la condition change le dénominateur : P_A(B) et P_B(A) ne sont donc généralement pas égales.

1. Une probabilité est-elle observée ou choisie dans un modèle ?

Une situation réelle ne porte pas seule ses probabilités. Le modèle précise l’univers Ω, les événements et une loi. Dire qu’un dé est équilibré ou qu’un individu est tiré au hasard dans une population justifie une hypothèse d’équiprobabilité ; cette hypothèse n’est pas démontrée par le seul nombre d’issues.

Pour un phénomène réel, une longue série peut suggérer un modèle : lorsque le nombre d’essais est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. Elle fluctue toutefois d’une série à l’autre et ne prédit pas chaque essai.

Sur quoi repose la probabilité annoncée ?

Dé à six faces annoncé équilibréAucune série observéeHypothèse : six issues équiprobablesP(6)=1/6 dans ce modèle

L’équiprobabilité est une hypothèse du modèle, pas une propriété démontrée par le mot « dé ».

2. Comment traduire une phrase en opération sur les événements ?

Une issue est un résultat possible ; un événement est un sous-ensemble de Ω. L’événement certain est Ω et l’impossible est ∅. Pour deux événements A et B, « A et B » devient A∩B ; « A ou B » devient A∪B, avec un ou inclusif.

Le complémentaire de A rassemble les issues de Ω qui ne sont pas dans A et vérifie P(non A)=1−P(A). Deux événements incompatibles ont une intersection vide. Cela ne signifie pas qu’ils sont indépendants : incompatibilité et indépendance répondent à des questions différentes.

Quelle opération traduit la phrase ?

Ω={1,2,3,4,5,6}A={2,4,6} : pairB={4,5,6} : au moins 4A∩B={4,6}

« Et » devient une intersection ; commence par les issues avant d’appliquer une formule.

3. Comment vérifier une loi et calculer la probabilité d’un événement ?

Dans un univers fini, une loi associe à chaque issue un nombre compris entre 0 et 1 et la somme de tous ces nombres vaut 1. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qu’il contient.

Si toutes les issues sont équiprobables, P(A)=Card(A)/Card(Ω). Sans équiprobabilité, compter les issues ne suffit pas : il faut additionner leurs poids. Pour une réunion, P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B), car l’intersection serait sinon comptée deux fois.

La loi respecte-t-elle le contrat probabiliste ?

Rouge 0,2 · Bleu 0,5 · Vert 0,3Chaque valeur est dans [0;1]Somme = 1P(Rouge ou Vert)=0,5

Une loi attribue des poids aux issues ; un événement additionne les poids de ses issues.

4. Que change le mot « sachant » dans le calcul ?

Conditionner par A signifie que l’on sait A réalisé. Le nouvel univers est donc A. Si P(A)>0, P_A(B)=P(A∩B)/P(A). Dans un tirage équiprobable d’un individu, cela devient Card(A∩B)/Card(A).

Dans un tableau, le dénominateur est le total de la ligne ou de la colonne correspondant à la condition. La même intersection figure au numérateur de P_A(B) et P_B(A), mais les dénominateurs sont différents. Lis donc la phrase de gauche à droite : parmi A, quelle part vérifie B ?

Quel groupe devient le nouvel univers ?

Parmi les 40 élèves musiciens, 10 chantentA = « musicien » : 40A∩B = « musicien et chanteur » : 10Pₐ(B)=10/40=0,25

Le mot « parmi » fixe le dénominateur : on ne divise plus par toute la population.

5. Comment lire et calculer un chemin dans un arbre pondéré ?

Les premières branches portent des probabilités comme P(A). Depuis le nœud A, les branches suivantes portent des probabilités conditionnelles comme P_A(B). Les pondérations issues d’un même nœud forment une loi et leur somme vaut 1.

Le chemin A puis B représente A∩B et vaut P(A)×P_A(B). Dans le lancer de deux pièces équilibrées et indépendantes, les secondes branches valent encore 1/2 ; c’est un cas particulier justifié, pas une règle à recopier sur tout arbre. Le programme demande de calculer des chemins, mais pas la formule générale des probabilités totales relative à une partition.

Que signifie chaque branche de l’arbre ?

P(A)=0,30Pₐ(B)=0,80A puis B : 0,30×0,80P(A∩B)=0,24

On multiplie le long d’un chemin parce que la seconde branche est conditionnée par la première.

6. Pourquoi un bon test peut-il produire beaucoup de résultats positifs trompeurs ?

La sensibilité P_M(+) est la probabilité d’un test positif parmi les personnes malades. La probabilité P_+(M) regarde au contraire les personnes positives et demande quelle part est malade. Ces deux questions inversent condition et événement.

Un faux positif est un résultat positif chez une personne non malade ; un faux négatif est un résultat négatif chez une personne malade. Pour éviter l’inversion, construis un tableau d’effectifs sur une population fictive, puis entoure la ligne ou la colonne correspondant au mot « parmi ». Le calcul reste descriptif du modèle et ne remplace jamais un avis médical.

Quelle population la question regarde-t-elle ?

Malades : 100 dont 90 tests positifsNon-malades : 900 dont 45 tests positifsParmi les tests positifs : 90 sur 135 sont maladesPₚ(M)=90/135≈0,667

Une sensibilité de 90 % ne signifie pas que 90 % des personnes positives sont malades : le dénominateur a changé.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Modèle explicité.
Univers traduit.
Loi contrôlée.
Dénominateur conditionné.
Chemin multiplié.
Conditionnement non inversé.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Pourquoi chaque face d’un dé équilibré reçoit-elle 1/6 ? Parce que le modèle suppose six issues équiprobables Parce que tout objet à six faces est forcément équilibré Parce qu’une fréquence vaut toujours exactement sa probabilité

2. A ou B correspond à… A∪B A∩B au complémentaire de A

3. Les poids 0,2 ; 0,5 ; 0,4 forment-ils une loi ? Non, leur somme vaut 1,1 Oui, chaque poids est inférieur à 1 Oui, ils sont positifs

4. Parmi 40 musiciens, 10 chantent. Combien vaut P_musicien(chanteur) ? 10/40 10 divisé par toute la population 40/10

5. Sur un arbre, que représente une branche B partant du nœud A ? P_A(B) Toujours P(B) P(A∪B)

6. P(A)=0,3 et P_A(B)=0,8. Combien vaut P(A∩B) ? 0,24 1,1 0,5

7. Un test est positif chez 90 malades sur 100. Que mesure 90 % ? La probabilité d’être positif sachant malade La probabilité d’être malade sachant positif La part de malades dans toute population

8. Que dit la version vulgarisée de la loi des grands nombres ? Pour n grand, sauf exception, la fréquence est proche de la probabilité Toute fréquence devient exactement égale à la probabilité Le prochain résultat devient prévisible

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