Satellites, orbites et lois de Kepler

Objectifs du parcours

Ce que tu vas savoir faire

Écrire la force gravitationnelle vectorielle.
Distinguer altitude et rayon orbital.
Établir vitesse et période d'une orbite circulaire.
Interpréter les trois lois de Kepler.
Décrire les conditions géostationnaires.
Relier énergie orbitale et rayon.

Le chapitre en bref

Pour un satellite de masse m à distance r du centre d'un astre de masse M, la force gravitationnelle est dirigée vers le centre et de norme $F= \frac{GMm}{r^{2}}$ . Dans une orbite circulaire, l'accélération centripète vaut $a= \frac{v^{2}}{r}$ . La deuxième loi donne $v=√(\frac{GM}{r})$ puis $T=2π√(\frac{r^{3}}{GM})$ , donc $GM T^{2} =4 π^{2} r^{3}$ . La masse m du satellite se simplifie. Pour une orbite elliptique, la troisième loi utilise le demi-grand axe a. Un satellite géostationnaire doit être circulaire, dans le plan équatorial, tourner dans le sens de la Terre et avoir la période sidérale terrestre.

1. Comment varie le champ gravitationnel ?

Une masse M supposée sphérique crée à l'extérieur un champ dirigé vers son centre, de norme $g(r)= \frac{GM}{r^{2}}$ . Une masse m placée dans ce champ subit $\vec{F} =m \vec{g}$ .

La distance r se mesure entre les centres. Pour un satellite à l'altitude h au-dessus d'un astre de rayon R, $r=R+h$ . Utiliser h seul dans la loi en 1/r² est une erreur fréquente.

Le champ n'est pas uniforme sur une orbite étendue : sa direction change avec la position et sa valeur change si r varie.

2. Comment une orbite circulaire est-elle possible ?

Dans le modèle circulaire uniforme, la vitesse est tangente à l'orbite et l'accélération pointe vers le centre. La gravitation fournit exactement cette accélération normale.

La deuxième loi s'écrit en norme $\frac{GMm}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}$ . La masse m se simplifie : $v=√(\frac{GM}{r})$ . À rayon identique et dans le même champ central, la vitesse orbitale circulaire ne dépend pas de la masse du satellite.

Une vitesse initiale insuffisante, excessive ou non tangentielle ne donne pas cette orbite circulaire. La formule décrit un état orbital précis, pas tout lancement.

3. Comment relier période et rayon ?

Pour parcourir un cercle de longueur 2πr à vitesse v, $T= \frac{2πr}{v}$ . En remplaçant v, on obtient $T=2π√(\frac{r^{3}}{GM})$ .

Le carré donne $GM T^{2} =4 π^{2} r^{3}$ . Tous les corps orbitant principalement le même astre central partagent la même relation dans le modèle newtonien.

L'analyse dimensionnelle contrôle la formule : GM est en m³·s⁻², donc le quotient de r³ par GM est en s².

4. Que disent les lois de Kepler ?

Première loi : les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer. Une orbite circulaire est un cas particulier où les deux foyers coïncident au centre.

Deuxième loi : le rayon reliant l'astre au corps balaie des aires égales pendant des durées égales. Sur une ellipse, le corps se déplace donc plus vite près du périastre que près de l'apoastre.

Troisième loi : pour des corps orbitant le même centre, $\frac{T^{2}}{a^{3}} =constante$ , où a est le demi-grand axe de l'ellipse. Remplacer a par une altitude serait incorrect.

5. Quelles conditions rendent un satellite géostationnaire ?

Vu depuis le sol, un satellite géostationnaire reste au-dessus du même point de l'équateur. Sa période doit égaler la période de rotation sidérale de la Terre, environ 23 h 56 min, et non une durée choisie arbitrairement.

Son orbite doit être circulaire, dans le plan équatorial, avec le même sens de rotation que la Terre. Une orbite de même période mais inclinée ou elliptique produit un mouvement apparent dans le ciel.

La relation de période permet de calculer r puis l'altitude h = r−R. La condition de période seule n'est donc pas suffisante pour le qualificatif géostationnaire.

6. Comment l'énergie dépend-elle de l'orbite ?

L'énergie potentielle gravitationnelle choisie nulle à l'infini vaut $E_{p} =− \frac{GMm}{r}$ . Pour une orbite circulaire, $E_{c} =GMm/(2r)$ et $E_{m} =−GMm/(2r)$ .

L'énergie mécanique négative caractérise ici un état lié. Une orbite circulaire plus haute possède une énergie mécanique moins négative, même si sa vitesse est plus faible : il faut fournir de l'énergie pour l'atteindre.

Un transfert orbital réel comporte des phases propulsées et des trajectoires non circulaires. Les formules circulaires s'appliquent seulement aux états circulaires avant ou après le transfert.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

La gravitation est centrale et en 1/r².
r = R + h pour un satellite.
Orbite circulaire : v = √(GM/r).
T²/r³ est constant autour du même astre pour les cercles.
Kepler utilise le demi-grand axe pour les ellipses.
Géostationnaire impose quatre conditions.

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Sources et traçabilité

Dernière vérification : 2026-08-12

Programme de l'enseignement de spécialité de physique-chimie de la classe terminale, Ministère de l'Éducation nationale, consulté le 2026-08-12.
Programmes et ressources en physique-chimie - voie générale et technologique, Éduscol, consulté le 2026-08-12.
Les lois de Kepler sans trop de calculs, Édubase - Ministère de l'Éducation nationale, consulté le 2026-08-12.
Planetary Fact Sheet, NASA, consulté le 2026-08-12.
CODATA Value - Newtonian constant of gravitation, NIST, consulté le 2026-08-12.

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