Variation de vitesse et forces

Ce que tu vas savoir faire

Définir système, référentiel, point matériel, échelle et intervalle de temps.
Extraire des positions datées d’une vidéo ou d’une chronophotographie.
Construire et calculer des vecteurs vitesse à partir des positions.
Construire graphiquement et par coordonnées un vecteur variation de vitesse.
Relier approximativement variation de vitesse, durée, masse et somme des forces.
Prévoir une variation de vitesse lorsque les forces sont connues.
Estimer une résultante lorsque le mouvement est observé.
Auditer un traitement Python de données cinématiques.

Vérifie tes prérequis

Distinguer trajectoire, vitesse et vecteur vitesse.
Additionner, soustraire et multiplier des vecteurs par un scalaire.
Convertir pixels en mètres et images en secondes.
Faire l’inventaire des forces extérieures sur un système.

Le chapitre en bref

Entre deux instants séparés par une durée donnée, le vecteur variation de vitesse s’obtient en soustrayant la vitesse initiale à la vitesse finale. Il se construit en plaçant les deux vitesses à la même origine, puis en traçant le vecteur allant de l’extrémité de la vitesse initiale à celle de la vitesse finale. En Première, on utilise une relation approchée entre la résultante des forces, la masse, la durée et cette variation. La résultante et la variation ont donc même direction et même sens. À résultante et durée identiques, une masse plus grande produit une variation plus petite. Une chronophotographie permet d’estimer les vitesses, puis leur variation ; le raisonnement inverse estime la résultante, pas chaque force séparément.

1. Que faut-il fixer avant de parler du mouvement ?

On choisit d’abord le système étudié, puis on le modélise si possible par un point matériel M. On précise le référentiel d’étude, l’origine et les axes, l’échelle des longueurs et les dates. Une position n’a de sens que dans ce contrat. Les forces retenues sont seulement celles exercées par l’extérieur sur ce système.

Exemple : pour une balle filmée près de la surface terrestre, le système est la balle, le référentiel est terrestre, l’axe y peut être orienté vers le haut et deux images sont séparées de $τ=0,040 s$ . Le poids agit sur la balle ; la force exercée par la balle sur la Terre n’appartient pas au même bilan.

Système → référentiel → repère → temps → forces

Quelle ligne du contrat manque-t-elle ?

ObjetballeModèlepoint MMasse0,20 kgForcessur la balle seulement

Changer de système changerait la masse, les forces extérieures et parfois le point suivi.

2. Comment lire une chronophotographie sans confondre trace et vitesse ?

Une chronophotographie superpose des positions prises à intervalles réguliers. La trajectoire est la courbe qui relie ces positions ; l’écart entre deux points successifs renseigne sur la valeur moyenne de la vitesse pendant l’intervalle. Un écart croissant ne donne pas encore la direction complète du vecteur variation de vitesse.

Pour exploiter l’image, on étalonne pixels et mètres, on associe $t_{i} =iτ$ à chaque point $M_{i} (x_{i}; y_{i})$ , puis on conserve les unités. Un pointage incertain de quelques pixels peut fortement perturber une différence de vitesses ; l’échelle et la fréquence d’image sont donc des données physiques, pas des détails graphiques.

Images → points → durée → vitesse → variation

Que peux-tu conclure avant même le calcul ?

Écarts égaux et direction constante

À intervalles égaux, les vecteurs vitesse gardent direction, sens et norme ; leur variation est proche du vecteur nul.

3. Comment estimer le vecteur vitesse en un point ?

Autour de l’instant $t_{i}$ , une estimation centrée utilise les positions qui encadrent le point : $v_{x,i} ≈ \frac{x_{i+1} − x_{i−1}}{2τ}$ et $v_{y,i} ≈ \frac{y_{i+1} − y_{i−1}}{2τ}$ . Le vecteur vitesse à l’instant étudié est appliqué au point correspondant, tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement et dessiné avec une échelle annoncée.

Exemple : si $x_{i−1} =0,18 m$ , $x_{i+1} =0,34 m$ et $τ=0,040 s$ , alors $v_{x,i} ≈ \frac{0,34−0,18}{0,080} =2,0 m· s^{−1}$ . Les premier et dernier points ne permettent pas cette formule centrée sans autre choix d’approximation.

Points encadrants → composantes → vecteur → échelle

Quel indice et quelle durée appartiennent à la vitesse étudiée ?

Positionsi−1 et i+1Durée $2τ$ Composante x $v_{x,i} ≈ \frac{x_{i+1} − x_{i−1}}{2τ}$ Placementen Mᵢ

Le déplacement entre les deux voisins estime la vitesse autour de la date centrale.

4. Comment soustraire deux vecteurs vitesse ?

Entre deux instants A et B, $\vec{Δ v} = {\vec{v}}_{B} − {\vec{v}}_{A}$ . Pour la construction, on translate les deux vecteurs vitesse afin qu’ils aient la même origine sans changer leur direction ni leur norme. Le vecteur variation va alors de l’extrémité de la vitesse initiale à celle de la vitesse finale. Ce n’est généralement pas $| v_{B} |−| v_{A} |$ .

En coordonnées, $Δ v_{x} = v_{x,B} − v_{x,A}$ et $Δ v_{y} = v_{y,B} − v_{y,A}$ . Si ${\vec{v}}_{A} =(3;0) m· s^{−1}$ et ${\vec{v}}_{B} =(3;−2) m· s^{−1}$ , alors $\vec{Δ v} =(0;−2) m· s^{−1}$ : la valeur de la vitesse augmente et sa variation est verticale vers le bas.

Translation → même origine → final moins initial

Où commence et finit le vecteur variation ?

Même origine : la variation va de A à B

Ici les deux vitesses sont verticales opposées ; la variation est orientée vers le bas dans le repère du schéma.

5. Quelle relation la Première utilise-t-elle entre forces et variation de vitesse ?

Sur un intervalle $Δt$ suffisamment court et pour une masse constante, on utilise $\vec{Σ F} ≈ \frac{m{\vec{Δ v}}}{{Δt}}$ , soit $\vec{Δ v} ≈ \frac{\vec{Σ F}}{m} Δt$ . C’est une relation vectorielle approchée : la résultante des forces et la variation de vitesse doivent avoir même direction et même sens. Les normes seules ne suffisent pas à la tester.

Le contrôle d’unités donne $kg× \frac{m· s^{−1}}{s} =kg·m· s^{−2} =N$ . L’approximation compare une résultante représentative de l’intervalle à une variation mesurée. Écrire une égalité sans discuter durée, forces variables et incertitudes donnerait une précision que l’expérience ne possède pas.

Même intervalle → direction → sens → norme → unité

Quels contrôles testent vraiment la relation ?

RésultanteverticaleVariation de vitesseverticaleTestcolinéaritéVerdictcompatible

Comparer seulement deux valeurs numériques ferait perdre l’information vectorielle.

6. Comment prévoir la variation de vitesse lorsque les forces sont connues ?

On fait l’inventaire des forces extérieures, on les additionne vectoriellement, puis on applique $\vec{Δ v} ≈ \frac{\vec{Σ F}}{m} Δt$ . Avec une résultante constante $\vec{Σ F} =(0;−4,0) N$ , $m=0,50 kg$ et $Δt=0,20 s$ , on obtient $\vec{Δ v} =(0;−1,6) m· s^{−1}$ .

À force et durée identiques, doubler la masse divise la variation de vitesse par deux. À masse et force identiques, doubler la durée double la variation tant que la résultante reste représentative. Une résultante nulle conduit à $\vec{Δ v} ≈ \vec{0}$ : le vecteur vitesse reste approximativement constant, sans exiger que le système soit immobile.

Forces → somme → masse → durée → variation

Quel paramètre modifie la variation de vitesse et comment ?

Résultante(0 ; −4,0) NMasse0,50 kgDurée0,20 sVariation(0 ; −1,6) m·s⁻¹

Le sens vertical négatif est conservé pendant les opérations par scalaires positifs.

7. Que peut-on déduire des forces à partir du mouvement ?

À partir de deux vitesses et de leur durée, $\vec{Σ F} ≈ \frac{m{\vec{Δ v}}}{{Δt}}$ estime la somme des forces extérieures. Avec $m=0,20 kg$ , $\vec{Δ v} =(0;−0,98) m· s^{−1}$ et $Δt=0,10 s$ , on trouve $\vec{Σ F} ≈(0;−1,96) N$ , compatible avec un poids proche de $mg=1,96 N$ .

Le mouvement ne décompose pas à lui seul cette résultante en forces individuelles. Une variation nulle peut correspondre à aucune force ou à plusieurs forces qui se compensent. Une variation courbe ou bruitée exige d’examiner les incertitudes, la durée choisie et d’éventuelles forces négligées avant de nommer une interaction précise.

Vitesses → variation → résultante → interactions

Jusqu’où le mouvement permet-il de remonter ?

Variation(0 ; −0,98) m·s⁻¹Masse0,20 kgDurée0,10 sRésultante(0 ; −1,96) N

La valeur et le sens sont compatibles avec le poids si l’action de l’air est négligeable.

8. Comment tester la relation avec une vidéo et Python ?

Le traitement suit une chaine traçable : importer les dates et les positions ; vérifier longueurs et unités ; calculer les composantes centrées de la vitesse pour les indices intérieurs ; calculer sa variation sur les indices communs ; comparer $\frac{m{\vec{Δ v}}}{{Δt}}$ à la résultante des forces ; représenter vecteurs et écarts. Chaque opération raccourcit les listes : un indice mal décalé compare des grandeurs à des dates différentes.

Le code doit conserver les données brutes, annoncer l’échelle des flèches et signaler les points non calculables. On teste direction, sens et rapport des normes, puis on étudie les résidus. Automatiser ne remplace ni le choix du système, ni l’inventaire des forces, ni l’analyse d’un écart systématique.

Données brutes → vitesses → variations → forces → résidus

À quelle ligne les dates se décalent-elles ?

Listest, x, yLongueurségalesUnitéss et mArchivedonnées brutes conservées

Le code doit refuser des listes incompatibles plutôt que tronquer silencieusement.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Définir système et référentiel avant les forces.
Une chronophotographie fournit des positions datées.
La vitesse centrée utilise deux positions qui encadrent l’instant.
Le vecteur variation est final moins initial, pas la différence des seules normes.
La relation entre résultante, masse, durée et variation est vectorielle et approchée.
À force égale, une masse plus grande donne une variation plus petite.
Le mouvement révèle une résultante, pas chaque force séparée.
Python exige unités, indices et points de bord contrôlés.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Quel choix doit précéder l’inventaire des forces ? Définir précisément le système étudié Additionner toutes les forces de l’univers Choisir le résultat attendu

2. Que faut-il ajouter à une suite de positions pour estimer une vitesse ? Une échelle spatiale et les dates ou l’intervalle entre images Seulement la couleur des points Le nom du logiciel utilisé

3. Quelle formule centrée estime vₓ à l’instant tᵢ ? (xᵢ₊₁−xᵢ₋₁)/(2τ) (xᵢ₊₁+xᵢ₋₁)×2τ xᵢ/τ²

4. Comment construire le vecteur variation entre A et B ? Placer les vitesses à la même origine puis aller de l’extrémité de la vitesse en A à celle de la vitesse en B Additionner uniquement leurs normes Tracer un vecteur toujours tangent à la trajectoire

5. Quel contrôle directionnel impose la relation entre résultante et variation de vitesse ? La résultante et la variation ont même direction et même sens Elles sont toujours perpendiculaires Seules leurs normes comptent

6. À force et durée identiques, la masse est doublée. Que devient la variation de vitesse ? Sa norme est divisée par deux Sa norme double Son sens s’inverse

7. Que permet d’estimer un mouvement mesuré et la masse connue ? La somme des forces extérieures sur l’intervalle Chaque force individuelle sans autre modèle La température du système

8. Pourquoi les listes Python de vitesse sont-elles plus courtes que les listes de positions avec une formule centrée ? Le premier et le dernier point n’ont pas deux voisins encadrants Python efface les valeurs négatives La masse occupe deux cases

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