Fluide au repos, pression et loi de Mariotte

Ce que tu vas savoir faire

Relier qualitativement grandeurs macroscopiques et comportement microscopique.
Calculer et convertir une masse volumique sans la confondre avec la densité.
Distinguer pression, force pressante, aire et température.
Utiliser la loi de Mariotte dans ses conditions de validité.
Concevoir et interpréter un test expérimental de la loi de Mariotte.
Construire une force pressante normale à une surface plane.
Utiliser la loi fondamentale de la statique avec un axe z explicite.
Interpréter un test de pression en fonction de la profondeur.

Vérifie tes prérequis

Convertir litres, millilitres, mètres cubes et centimètres carrés.
Lire une proportion inverse et une droite expérimentale.
Distinguer valeur, unité et ordre de grandeur.
Repérer l’altitude sur un axe vertical orienté.

Le chapitre en bref

Un fluide au repos se décrit localement par sa masse volumique, sa pression et sa température. Ces grandeurs macroscopiques résument le comportement collectif des entités microscopiques. Pour une quantité fixe de gaz à température constante, la loi de Mariotte donne P₁V₁=P₂V₂. Une pression uniforme P sur une surface plane d’aire S produit une force pressante normale de valeur F=PS ; la résultante entre deux faces dépend de la différence des pressions. Dans un liquide incompressible au repos, avec z orienté vers le haut, P₂−P₁=ρg(z₁−z₂) : la pression augmente lorsque l’altitude diminue.

1. Que représentent les grandeurs d’un fluide ?

À l’échelle microscopique, un fluide contient un très grand nombre d’entités en mouvement et en interaction. À l’échelle macroscopique, on ne suit pas chaque trajectoire : on attribue à une petite région représentative des grandeurs mesurables comme la masse volumique $ρ$ , la pression $P$ et la température $T$ .

La pression d’un gaz résulte qualitativement des chocs des entités sur les parois. Augmenter l’agitation thermique ou rapprocher davantage d’entités dans un même volume modifie la fréquence et l’effet de ces chocs. Ce modèle explique une tendance ; il ne transforme pas une molécule isolée en objet possédant à elle seule la pression du gaz.

Observation → modèle → grandeur → mesure

À quelle échelle appartient chaque phrase ?

ÉchellemicroscopiqueObjetmolécules en mouvementÉvénementchocs sur la paroiNe porte pas seulela pression du gaz

Le modèle microscopique explique qualitativement une grandeur collective.

2. Comment passer d’une masse et d’un volume à une masse volumique ?

La masse volumique est $ρ= \frac{m}{V}$ . Son unité SI est $kg· m^{−3}$ . Ainsi, $250 mL=2,50× 10^{−4} m^{3}$ et une masse de $0,200 kg$ contenue dans ce volume donne $ρ= \frac{0,200}{2,50× 10^{−4}} =800 kg· m^{−3}$ .

La densité d’un liquide ou d’un solide est souvent définie relativement à l’eau : $d= \frac{ρ}{ρ_{eau}}$ . C’est un rapport sans unité. Dire « densité en kg·m⁻³ » mélange donc deux grandeurs. Une masse volumique locale peut aussi varier d’un point à l’autre si le fluide n’est pas homogène.

Donnée → SI → quotient → unité → contrôle

Quelle conversion verrouille le calcul ?

Masse0,200 kgVolume $2,50× 10^{−4} m^{3}$ Calcul $ρ= \frac{m}{V}$ Résultat $800 kg· m^{−3}$

Le facteur 10⁻⁶ entre mL et m³ est appliqué avant le quotient.

3. Pourquoi pression et force ne sont-elles pas la même grandeur ?

Sur une petite surface plane d’aire $S$ où la pression est uniforme, $P= \frac{F}{S}$ . Le pascal vérifie $1 Pa=1 N· m^{−2}$ . Une même force répartie sur une aire plus petite produit donc une pression plus grande. Le manomètre mesure une pression ou une différence de pression ; il ne mesure pas directement une force totale sur n’importe quelle paroi.

Il faut annoncer le type de pression : absolue si le zéro correspond au vide, relative si la référence est la pression ambiante. Par exemple, $1 atm=101 325 Pa$ exactement pour l’atmosphère standard. Une valeur de $2,0 bar$ correspond à $2,0× 10^{5} Pa$ , mais « 2 bar relatifs » et « 2 bar absolus » ne décrivent pas le même état.

Référence → force → aire → pression → unité

Quelle grandeur le nombre décrit-il ?

Force normale $F=120 N$ Aire $S=0,030 m^{2}$ Relation $P= \frac{F}{S}$ Résultat $4000 Pa$

La force seule ne fixe pas la pression sans connaitre l’aire sur laquelle elle se répartit.

4. Dans quelles conditions peut-on écrire P₁V₁=P₂V₂ ?

Pour une quantité fixe de gaz modélisé comme parfait et maintenu à température constante, $PV=constante$ , donc $P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2}$ . Si le volume est divisé par deux, la pression absolue double. Cette relation inverse ne vaut pas automatiquement si du gaz fuit, si la compression échauffe le gaz ou si l’on emploie une pression relative.

Exemple : $P_{1} =100 kPa$ , $V_{1} =60 mL$ et $V_{2} =40 mL$ . Alors $P_{2} = \frac{P_{1} V_{1}}{V_{2}} = \frac{100×60}{40} =150 kPa$ . Les volumes peuvent rester dans la même unité puisqu’ils forment un rapport ; les deux pressions doivent utiliser la même référence.

Système → invariants → relation → proportion → contrôle

La relation s’applique-t-elle à ces deux états ?

Gazmême quantitéTempératureconstantePressionsabsoluesLoi $P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2}$

Les deux états appartiennent au même protocole isotherme et fermé.

5. Comment une seringue et un capteur testent-ils vraiment Mariotte ?

On enferme une même quantité d’air, on modifie lentement son volume et on attend l’équilibre thermique avant chaque mesure. Le volume mort du raccord doit être ajouté au volume lu sur la seringue. Pour chaque couple $(V;P)$ , on calcule $PV$ et on estime les incertitudes plutôt que de chercher des produits artificiellement identiques.

Deux contrôles se complètent : $PV$ doit être approximativement constant et le graphe $P=f(\frac{1}{V})$ doit être proche d’une droite passant par l’origine dans le modèle idéal. Une courbure systématique peut révéler température variable, fuite, pression relative non corrigée, volume mort oublié ou limite du capteur.

Conditions → mesure → linéarisation → écart

Quel détail fait réussir ou échouer le test ?

Volume60 mLPression100 kPaProduit PV6,0 kPa·L

Une même quantité d’air est enfermée

Le volume du raccord appartient au gaz et doit être ajouté si la graduation ne le compte pas.

6. Comment construire la force pressante sur une paroi ?

Si la pression P est uniforme sur une surface plane S, le fluide exerce une force pressante perpendiculaire à la surface, dirigée du fluide vers la paroi, de valeur $F=PS$ . Avec $P=2,0× 10^{5} Pa$ et $S=25 c m^{2} =2,5× 10^{−3} m^{2}$ , on obtient $F=500 N$ .

Sur une membrane soumise à $P_{gauche}$ et $P_{droite}$ , les deux forces sont opposées. La force résultante a pour valeur $F_{rés} =| P_{gauche} − P_{droite} |S$ si les pressions sont uniformes. Employer la pression absolue d’un seul côté surestime donc la force nette lorsque l’autre face n’est pas dans le vide.

Face → normale → pression → aire → résultante

Quelle force agit réellement sur la paroi ?

Pression $2,0× 10^{5} Pa$ Aire $2,5× 10^{−3} m^{2}$ Valeur $F=PS=500 N$ Sensfluide vers paroi

Le vecteur est perpendiculaire à la surface, même si la paroi est verticale ou inclinée.

7. Pourquoi la pression augmente-t-elle quand on descend ?

Dans un fluide incompressible au repos soumis à la pesanteur, choisissons z vertical vers le haut. Entre deux points 1 et 2 du même fluide, $P_{2} − P_{1} =ρg(z_{1} − z_{2})$ . Si le point 2 est plus bas, $z_{2} < z_{1}$ , donc $P_{2} > P_{1}$ . Écrire la relation sans dessiner l’axe rend le signe impossible à contrôler.

À une profondeur $h= z_{1} − z_{2}$ sous une surface à la pression $P_{1}$ , $P_{2} = P_{1} +ρgh$ . Dans l’eau, pour $h=2,0 m$ , $ρ=1,00× 10^{3} kg· m^{−3}$ et $g=9,81 m· s^{−2}$ , $ΔP=1,96× 10^{4} Pa$ . À même altitude dans un même liquide connecté au repos, la pression est la même.

Axe → points → altitudes → signe → pression

Peux-tu prévoir le signe avant le calcul ?

Donnée $h=0$ Relation $P_{2} − P_{1} =ρg(z_{1} − z_{2})$ Verdict $ΔP=0$

Le point de référence est choisi à la surface

La pression P₁ peut être atmosphérique en absolu ou nulle si le capteur mesure relativement à l’air.

8. Comment confronter la loi hydrostatique à des mesures ?

On mesure la pression à plusieurs profondeurs h dans un liquide homogène au repos, sans enfermer de bulle dans le tube. Si le capteur donne une pression relative à la surface, le modèle prévoit $ΔP=ρgh$ . Le graphe $ΔP=f(h)$ doit être affine, de pente $a=ρg$ et d’ordonnée à l’origine proche de zéro.

Une pente mesurée $a=9,65 kPa· m^{−1}$ donne $ρ= \frac{a}{g} = \frac{9,65× 10^{3}}{9,81} ≈984 kg· m^{−3}$ . Avant de conclure, on contrôle le zéro, l’unité, la verticalité, la profondeur réelle du capteur et l’incertitude. Un écart isolé ne réfute pas une loi ; un écart structuré demande une hypothèse testable.

Capteur → série → pente → résidus → verdict

Que révèle la droite ΔP=f(h) ?

Abscisseh en mOrdonnéeΔP en PaFormedroitePente $a=ρg$

Le modèle prévoit à la fois une forme graphique et une valeur de pente.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

ρ, P et T sont des grandeurs macroscopiques locales.
ρ=m/V en kg·m⁻³ ; la densité relative est sans unité.
P=F/S et 1 Pa=1 N·m⁻².
Mariotte exige gaz fermé, température constante et pression absolue.
Tester un modèle implique mesures, graphe et écarts.
Une force pressante est normale à la surface.
Avec z vers le haut, P₂−P₁=ρg(z₁−z₂).
La pente de ΔP en fonction de h vaut ρg.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Que décrit la pression d’un gaz à l’échelle microscopique ? L’effet collectif des chocs des entités sur une surface La pression propre de chaque molécule isolée Uniquement la masse totale du récipient

2. Une masse de 0,200 kg occupe 250 mL. Quelle est sa masse volumique ? 800 kg·m⁻³ 0,8 kg·m⁻³ 1 250 kg·m⁻³

3. Que signifie 1 Pa ? 1 N réparti sur 1 m² 1 kg contenu dans 1 m³ 1 N appliqué pendant 1 s

4. À température constante, le volume d’un gaz fermé est divisé par deux. Que devient sa pression absolue dans le modèle de Mariotte ? Elle double Elle est divisée par deux Elle ne change pas

5. Quel protocole teste correctement Mariotte ? Mesurer lentement plusieurs couples P,V à quantité de gaz et température contrôlées Comprimer vite un gaz qui fuit et relever un seul point Changer simultanément quantité, température et volume

6. Une membrane sépare 150 kPa et 100 kPa sur 0,010 m². Quelle est la valeur de la force résultante ? 500 N 1 500 N 50 N

7. Avec z orienté vers le haut, le point 2 est plus bas que le point 1. Que peut-on conclure dans le même liquide au repos ? P₂>P₁ P₂<P₁ La pression est toujours nulle en bas

8. Que représente la pente du graphe ΔP=f(h) ? ρg P/ρ Le volume du récipient

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