Comment écrire une idée mathématique sans changer ce qu’elle affirme ?

Un élément est un objet ; un ensemble rassemble des objets. On écrit $\text{3∈{1;2;3}}$, mais $\text{{1;3}⊂{1;2;3}}$. L’appartenance $\text{∈}$ relie un objet à un ensemble ; l’inclusion $\text{⊂}$ compare deux ensembles. Ainsi $\text{x∈A}$ et $\text{{x}⊂A}$ peuvent être vraies ensemble, mais elles n’ont pas la même grammaire.

L’ensemble vide $\text{∅}$ est inclus dans tout ensemble. Le produit cartésien $\text{A×B}$ rassemble les couples ordonnés $\text{(a;b)}$ tels que $\text{a∈A}$ et $\text{b∈B}$. Si $\text{A={1;2}}$ et $\text{B={u;v;w}}$, alors $\text{Card(A×B)=2×3=6}$ : l’ordre des positions fait partie du couple.

$\text{A∩B}$ traduit « dans A et dans B » ; $\text{A∪B}$ traduit « dans A ou dans B », avec un ou inclusif. Le complémentaire de A dépend d’un univers E : on écrit $\text{E∖A}$ ou, en probabilités, $\text{Ā}$. Sans E, on ne sait pas quels objets extérieurs à A sont autorisés.

Pour des ensembles finis, $\text{Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)−Card(A∩B)}$. L’intersection est retirée une fois parce qu’elle a été comptée dans A puis dans B. Si A et B sont disjoints, $\text{A∩B=∅}$ et la formule devient une addition directe.

Une proposition est une phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité. « 7 est premier » est vraie. « $x^2\text{=4}$ » reste une phrase ouverte tant que le rôle de x et la quantification ne sont pas fixés. « Il existe un réel x tel que $x^2\text{=4}$ » est vraie ; « pour tout réel x, $x^2\text{=4}$ » est fausse.

Les connecteurs portent sur des propositions complètes. P et Q exige que les deux soient vraies. P ou Q est vrai dès qu’au moins l’une l’est, y compris lorsque les deux le sont. Nier une proposition ne consiste pas à ajouter vaguement « ce n’est pas vrai » : il faut construire exactement les cas qui la rendent fausse.

L’égalité ${\text{(x+1)}}^2\text{=}{x}^2\text{+2x+1}$ est une identité : elle est vraie pour tout réel x. L’écriture $x^2\text{−5x+6=0}$ est une équation : x est une inconnue et l’égalité n’est vraie que pour certaines valeurs. Dans $\text{f(x)=ax+b}$, x peut être la variable et a, b des paramètres qui déterminent une famille de fonctions.

Une transformation doit préserver le statut de l’écriture. Développer une identité produit une autre forme valable sur tout le domaine. Résoudre une équation cherche au contraire l’ensemble des valeurs qui la vérifient. Une lettre ne possède donc pas un rôle permanent : l’énoncé fixe si elle varie, si on la cherche ou si elle règle le problème.

Dans $\text{P⇒Q}$, P est une condition suffisante pour Q : dès que P est vraie, Q l’est. Q est une condition nécessaire pour P : P ne peut être vraie sans Q. « Multiple de 4 ⇒ pair » signifie donc qu’être multiple de 4 suffit pour être pair et qu’être pair est nécessaire pour être multiple de 4.

La réciproque $\text{Q⇒P}$ est une nouvelle affirmation ; ici elle est fausse car 6 est pair sans être multiple de 4. La contraposée $\text{non Q⇒non P}$ est équivalente à l’implication initiale. Une équivalence $\text{P⇔Q}$ exige les deux implications et rend chaque condition à la fois nécessaire et suffisante.

Pour réfuter « tout élément du domaine vérifie P », un seul contre-exemple du bon domaine suffit. Pour prouver « il existe un élément vérifiant P », un témoin explicite et vérifié suffit. En revanche, quelques exemples ne prouvent jamais une affirmation universelle.

La négation de « pour tout x, $\text{P(x)}$ » est « il existe au moins un x tel que $\text{P(x)}$ est fausse ». La négation de « il existe x tel que $\text{P(x)}$ » est « pour tout x, $\text{P(x)}$ est fausse ». Le programme demande de maitriser ces formulations ; les symboles $\text{∀}$ et $\text{∃}$ ne sont pas exigibles.

Commence par écrire les hypothèses et la forme exacte du résultat. Pour tout entier n, $\text{n+(n+1)=2n+1}$ prouve directement que la somme de deux entiers consécutifs est impaire. Une disjonction de cas est utile si les hypothèses séparent réellement les situations, par exemple selon le signe d’un réel ou la parité d’un entier.

La contraposée sert lorsque « non Q » exploite mieux les hypothèses que P. L’absurde suppose la négation du but et produit une contradiction : s’il existait un plus grand entier M, alors $\text{M+1>M}$. Un contre-exemple réfute une proposition universelle mais ne construit pas la preuve d’une autre proposition.

En analyse, résoudre $\text{f(x)≥0}$ construit un ensemble de solutions et impose de distinguer implication et équivalence à chaque transformation. En géométrie, une équation caractérise un lieu seulement si les deux sens sont établis. En probabilités, intersection, réunion et complémentaire traduisent et, ou et non ; une partition exige couverture et disjonction.

En algorithmique, une condition booléenne sélectionne les éléments d’une liste et les quantifications sont souvent implicites dans une boucle. À chaque changement de chapitre, utilise le même contrôle : quels objets ? quel domaine ? quelle proposition ? quel sens de l’implication ? quel ensemble de résultats ?