Trigonométrie : cercle, radians, sinus et cosinus

Ce que tu vas savoir faire

Relier angle en radians, longueur d’arc et rayon, puis convertir degrés et radians.
Enrouler un réel positif ou négatif sur le cercle trigonométrique dans le bon sens.
Lire sinus et cosinus comme coordonnées et contrôler leurs signes par quadrant.
Établir les valeurs remarquables de π/4, π/3 et π/6 par géométrie.
Déduire sinus et cosinus d’angles associés grâce aux symétries du cercle.
Relier les définitions du cercle unité aux rapports dans un triangle rectangle.
Expliquer périodicité et parité par l’image géométrique, sans récitation isolée.
Comprendre l’encadrement de π par la méthode polygonale d’Archimède.

Vérifie tes prérequis

Calculer avec π, des fractions et des racines carrées.
Utiliser Pythagore dans un triangle rectangle.
Lire des coordonnées et des symétries dans un repère orthonormé.

Le chapitre en bref

Sur un cercle de rayon R, un angle de x radians intercepte un arc orienté de longueur Rx ; sur le cercle unité, la longueur orientée de l’arc vaut donc x. On enroule la droite réelle à partir du point I(1;0), dans le sens antihoraire pour x>0 et horaire pour x<0. Le point image M possède les coordonnées (cos x; sin x) : le cosinus est son abscisse et le sinus son ordonnée. Ajouter 2π effectue un tour et ramène au même point. Les symétries du cercle donnent les angles associés, la parité et les signes par quadrant. Les triangles rectangle isocèle et équilatéral démontrent les valeurs de π/4, π/3 et π/6. Pour approcher π, la méthode d’Archimède encadre la circonférence par les périmètres de polygones réguliers inscrits et circonscrits dont on augmente le nombre de côtés.

1. Pourquoi le radian mesure-t-il naturellement un arc ?

Sur un cercle de rayon $R$ , un angle au centre de mesure $x$ radians intercepte un arc de longueur $ℓ=Rx$ . Ainsi $x= \frac{ℓ}{R}$ : le radian compare deux longueurs et ne porte pas d’unité physique. Sur le cercle unité, $R=1$ et la longueur orientée de l’arc est numériquement égale à x.

Un tour complet vaut $2π$ radians et 360°, donc $π$ radians valent 180°. Pour convertir, utilise cette proportion : $60°= \frac{π}{3}$ et $\frac{3π}{4} =135°$ . Avant de calculer un sinus sur une calculatrice, contrôle le mode degré ou radian.

Rayon × angle en radians = longueur d’arc

Quelle mesure relie directement angle et arc ?

Rayon $R=1$ Angle $x$ radArc $ℓ=Rx=x$ Lecturemême valeur numérique

L’égalité entre arc et angle est propre au rayon unité.

2. Comment la droite réelle s’enroule-t-elle sur le cercle ?

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens antihoraire. On part de $I(1;0)$ . Un réel positif avance dans le sens positif ; un réel négatif parcourt le cercle dans le sens horaire. Le réel x désigne une longueur orientée, pas seulement un angle compris entre 0 et $2π$ .

Ajouter ou retrancher un tour ne change pas le point image : x, $x+2π$ , $x−2π$ et plus généralement $x+2kπ$ avec $k∈ℤ$ ont la même image. Pour placer un grand nombre, retire des tours complets ; pour un négatif, tu peux ajouter 2π jusqu’à obtenir un représentant plus lisible.

Départ I → sens → tours complets → représentant

Quel trajet orienté mène au point image ?

Départ $I(1;0)$ Réel $x= \frac{π}{2}$ SensantihoraireArrivée $(0;1)$

Un quart de tour positif mène au sommet du cercle.

3. Où se lisent le cosinus et le sinus sur le cercle ?

Si M est le point image de x, alors $M(cos(x);sin(x))$ . Le cosinus est l’abscisse, donc la projection sur l’axe horizontal ; le sinus est l’ordonnée, projection sur l’axe vertical. Comme M appartient au cercle unité, $co s^{2} (x)+si n^{2} (x)=1$ .

Les coordonnées restent entre −1 et 1. Dans le quadrant I, sinus et cosinus sont positifs ; dans II, seul le sinus est positif ; dans III, ils sont négatifs ; dans IV, seul le cosinus est positif. Commence par le quadrant avant de choisir le signe d’une racine ou d’une valeur remarquable.

Projection horizontale, projection verticale, signe

Quelles coordonnées lit-on dans chaque quadrant ?

Abscisse $cos(x)>0$ Ordonnée $sin(x)>0$ Pointà droite et en hautSignes(+ ; +)

Dans le premier quadrant, les deux projections sont positives.

4. Comment la géométrie démontre-t-elle les valeurs remarquables ?

Dans un carré de côté 1 coupé par sa diagonale, le triangle rectangle isocèle possède une hypoténuse $√2$ . Après normalisation sur le cercle unité, les deux projections valent $\frac{1}{√2} = \frac{√2}{2}$ . Ainsi $cos(\frac{π}{4})=sin(\frac{π}{4})= \frac{√2}{2}$ .

Dans un triangle équilatéral de côté 2, une hauteur crée un triangle rectangle d’hypoténuse 2, de petit côté 1 et de hauteur $√3$ . On obtient $cos(\frac{π}{3})= \frac{1}{2}$ et $sin(\frac{π}{3})= \frac{√3}{2}$ . Les angles complémentaires échangent sinus et cosinus, ce qui donne les valeurs en $\frac{π}{6}$ .

Figure → Pythagore → normalisation → coordonnées

Quel triangle reconstruit la valeur exacte ?

Trianglerectangle isocèleCôtés $1;1;√2$ Normaliser $\frac{1}{√2} = \frac{√2}{2}$ Valeurssin = cos = $\frac{√2}{2}$

Les deux projections sont égales par symétrie et leur carré total vaut 1.

5. Comment une symétrie transforme-t-elle les coordonnées d’un angle ?

Le point image de $−x$ est le symétrique de celui de x par rapport à l’axe des abscisses : $cos(−x)=cos(x)$ et $sin(−x)=−sin(x)$ . Le point de $π−x$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : son cosinus change de signe et son sinus est conservé.

Ajouter π donne le point opposé : $cos(x+π)=−cos(x)$ et $sin(x+π)=−sin(x)$ . Pour $2π−x$ , on retrouve la symétrie par rapport à l’axe horizontal. Dessine ou nomme la symétrie avant d’appliquer un signe : la relation géométrique produit la formule.

Point de x → transformation → coordonnées

Quelle symétrie change quelle coordonnée ?

Symétrieaxe des abscissesAbscisseconservéeOrdonnéeopposéeFormulescos pair ; sin impair

On obtient cos(−x)=cos(x) et sin(−x)=−sin(x).

6. Pourquoi les rapports du triangle rectangle coïncident-ils avec le cercle ?

Pour un angle aigu x dans un triangle rectangle, place un triangle semblable dont l’hypoténuse vaut 1. Le sommet correspondant se trouve sur le cercle unité : sa projection horizontale vaut $\frac{côté adjacent}{hypoténuse} =cos(x)$ et sa projection verticale $\frac{côté opposé}{hypoténuse} =sin(x)$ .

Les rapports ne dépendent pas de la taille du triangle grâce à la similitude. Le cercle étend ensuite ces nombres à tous les réels, y compris aux quadrants où les coordonnées sont négatives, tandis que des longueurs de triangle restent positives. Il faut donc distinguer rapport de longueurs pour un angle aigu et coordonnée orientée sur le cercle.

Triangle semblable → hypoténuse 1 → projection

Quel rapport devient une coordonnée après normalisation ?

Anglex aiguRapport $\frac{adjacent}{hypoténuse}$ Normaliserhypoténuse 1Projection $cos(x)$

Le côté adjacent devient l’abscisse du point du cercle unité.

7. D’où viennent périodicité et parité de sinus et cosinus ?

Un tour complet ramène au même point, donc $cos(x+2π)=cos(x)$ et $sin(x+2π)=sin(x)$ . Les deux fonctions sont $2π$ -périodiques. Cela signifie que 2π est une période commune ; avant de parler de plus petite période, précise la fonction et la définition utilisée.

La symétrie par rapport à l’axe horizontal conserve l’abscisse et change l’ordonnée : le cosinus est pair, le sinus impair. Sur les graphes, la courbe du cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et celle du sinus par rapport à l’origine. Ces propriétés viennent du cercle et servent à reconstruire des valeurs, pas à remplacer le placement.

Tour complet ou miroir → identité fonctionnelle

Quelle propriété vient du trajet sur le cercle ?

Trajetajouter $2π$ PointinchangéCosinus $cos(x+2π)=cos(x)$ Sinus $sin(x+2π)=sin(x)$

Les deux coordonnées répètent leurs valeurs après un tour complet.

8. Comment des polygones peuvent-ils encadrer π ?

Pour un cercle de rayon 1, la circonférence vaut $2π$ . Un polygone régulier inscrit a un périmètre inférieur à la circonférence ; un polygone circonscrit a un périmètre supérieur. Si leurs périmètres sont $P_{n}$ et $Q_{n}$ , alors $\frac{P_{n}}{2} \frac{<π<{Q_{n}}}{{2}}$ .

En doublant le nombre n de côtés, les deux périmètres se rapprochent de la circonférence et l’intervalle se resserre. L’algorithme doit conserver borne basse, borne haute, nombre de côtés et largeur de l’encadrement. Archimède ne lit pas π sur un dessin : il transforme une construction géométrique en preuve numérique contrôlée.

Inscrit < cercle < circonscrit

Comment deux périmètres enferment-ils π ?

Rayon $R=1$ Cercle $C=2π$ Périmètres $P_{n} <C< Q_{n}$ Donc $\frac{P_{n}}{2} \frac{<π<{Q_{n}}}{{2}}$

Diviser l’encadrement des périmètres par 2 donne directement celui de π.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Le radian relie longueur d’arc et rayon.
Le sens positif est antihoraire.
M(cos x; sin x) est sur le cercle unité.
Les valeurs remarquables viennent de triangles.
Les symétries commandent les signes.
Le cercle étend les rapports de triangle.
Périodicité et parité viennent du point image.
Archimède encadre π par deux polygones.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Sur un cercle de rayon R, quelle relation lie arc ℓ et angle x en radians ?

ℓ=Rx

ℓ= \frac{R}{x}

ℓ=R+x

2. Dans quel sens place-t-on un réel positif depuis I(1;0) ? Dans le sens antihoraire Dans le sens des aiguilles d’une montre Toujours sur l’axe vertical

3. Quelles sont les coordonnées du point image de x ?

(cos(x);sin(x))

(sin(x);cos(x))

(x;1)

4. Quelle valeur vaut cos(π/4) ?

\frac{√2}{2}

\frac{1}{2}

\frac{√3}{2}

5. Que vaut sin(π−x) ?

sin(x)

−sin(x)

cos(x)

6. Dans un triangle rectangle, quel rapport donne cos(x) pour un angle aigu ?

\frac{côté adjacent}{hypoténuse}

\frac{côté opposé}{hypoténuse}

\frac{hypoténuse}{côté adjacent}

7. Quelle identité exprime la périodicité du cosinus ?

cos(x+2π)=cos(x)

cos(x+π)=cos(x)

dans tous les cas

cos(−x)=−cos(x)

8. Que fournit la méthode d’Archimède avec des polygones inscrits et circonscrits ? Un encadrement de π qui se resserre Une égalité exacte dès six côtés Une preuve que π est entier

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