Comment un nombre réel s’enroule‑t‑il sur le cercle pour devenir un sinus et un cosinus ?

Sur un cercle de rayon $R$, un angle au centre de mesure $x$ radians intercepte un arc de longueur $\text{ℓ=Rx}$. Ainsi $\text{x=}\frac{\text{ℓ}}{R}$ : le radian compare deux longueurs et ne porte pas d’unité physique. Sur le cercle unité, $\text{R=1}$ et la longueur orientée de l’arc est numériquement égale à x.

Un tour complet vaut $\text{2π}$ radians et 360°, donc $\pi$ radians valent 180°. Pour convertir, utilise cette proportion : $\text{60°=}\frac{\pi }{3}$ et $\frac{\text{3π}}{4}\text{=135°}$. Avant de calculer un sinus sur une calculatrice, contrôle le mode degré ou radian.

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens antihoraire. On part de $\text{I(1;0)}$. Un réel positif avance dans le sens positif ; un réel négatif parcourt le cercle dans le sens horaire. Le réel x désigne une longueur orientée, pas seulement un angle compris entre 0 et $\text{2π}$.

Ajouter ou retrancher un tour ne change pas le point image : x, $\text{x+2π}$, $\text{x−2π}$ et plus généralement $\text{x+2kπ}$ avec $\text{k∈ℤ}$ ont la même image. Pour placer un grand nombre, retire des tours complets ; pour un négatif, tu peux ajouter 2π jusqu’à obtenir un représentant plus lisible.

Si M est le point image de x, alors $\text{M(cos(x);sin(x))}$. Le cosinus est l’abscisse, donc la projection sur l’axe horizontal ; le sinus est l’ordonnée, projection sur l’axe vertical. Comme M appartient au cercle unité, $\text{co}{s}^2\text{(x)+si}{n}^2\text{(x)=1}$.

Les coordonnées restent entre $\text{−1}$ et 1. Dans le quadrant I, sinus et cosinus sont positifs ; dans II, seul le sinus est positif ; dans III, ils sont négatifs ; dans IV, seul le cosinus est positif. Commence par le quadrant avant de choisir le signe d’une racine ou d’une valeur remarquable.

Dans un carré de côté 1 coupé par sa diagonale, le triangle rectangle isocèle possède une hypoténuse $\text{√2}$. Après normalisation sur le cercle unité, les deux projections valent $\frac{1}{\text{√2}}\text{=}\frac{\text{√2}}{2}$. Ainsi $\text{cos(}\frac{\pi }{4}\text{)=sin(}\frac{\pi }{4}\text{)=}\frac{\text{√2}}{2}$.

Dans un triangle équilatéral de côté 2, une hauteur crée un triangle rectangle d’hypoténuse 2, de petit côté 1 et de hauteur $\text{√3}$. On obtient $\text{cos(}\frac{\pi }{3}\text{)=}\frac{1}{2}$ et $\text{sin(}\frac{\pi }{3}\text{)=}\frac{\text{√3}}{2}$. Les angles complémentaires échangent sinus et cosinus, ce qui donne les valeurs en $\frac{\pi }{6}$.

Le point image de $\text{−x}$ est le symétrique de celui de x par rapport à l’axe des abscisses : $\text{cos(−x)=cos(x)}$ et $\text{sin(−x)=−sin(x)}$. Le point de $\text{π−x}$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : son cosinus change de signe et son sinus est conservé.

Ajouter $\pi$ donne le point opposé : $\text{cos(x+π)=−cos(x)}$ et $\text{sin(x+π)=−sin(x)}$. Pour $\text{2π−x}$, on retrouve la symétrie par rapport à l’axe horizontal. Dessine ou nomme la symétrie avant d’appliquer un signe : la relation géométrique produit la formule.

Pour un angle aigu x dans un triangle rectangle, place un triangle semblable dont l’hypoténuse vaut 1. Le sommet correspondant se trouve sur le cercle unité : sa projection horizontale vaut $\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\text{=cos(x)}$ et sa projection verticale $\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\text{=sin(x)}$.

Les rapports ne dépendent pas de la taille du triangle grâce à la similitude. Le cercle étend ensuite ces nombres à tous les réels, y compris aux quadrants où les coordonnées sont négatives, tandis que des longueurs de triangle restent positives. Il faut donc distinguer rapport de longueurs pour un angle aigu et coordonnée orientée sur le cercle.

Un tour complet ramène au même point, donc $\text{cos(x+2π)=cos(x)}$ et $\text{sin(x+2π)=sin(x)}$. Les deux fonctions sont $\text{2π}$-périodiques. Cela signifie que 2π est une période commune ; avant de parler de plus petite période, précise la fonction et la définition utilisée.

La symétrie par rapport à l’axe horizontal conserve l’abscisse et change l’ordonnée : le cosinus est pair, le sinus impair. Sur les graphes, la courbe du cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et celle du sinus par rapport à l’origine. Ces propriétés viennent du cercle et servent à reconstruire des valeurs, pas à remplacer le placement.

Pour un cercle de rayon 1, la circonférence vaut $\text{2π}$. Un polygone régulier inscrit a un périmètre inférieur à la circonférence ; un polygone circonscrit a un périmètre supérieur. Si leurs périmètres sont $P_n$ et $Q_n$, alors .

En doublant le nombre n de côtés, les deux périmètres se rapprochent de la circonférence et l’intervalle se resserre. L’algorithme doit conserver borne basse, borne haute, nombre de côtés et largeur de l’encadrement. Archimède ne lit pas $\pi$ sur un dessin : il transforme une construction géométrique en preuve numérique contrôlée.