Comment traduire une figure en équations sans perdre sa géométrie ?

Soit la droite d d’équation $\text{ax+by+c=0}$, avec $\text{(a;b)≠(0;0)}$. Si A et M sont deux points de d, la soustraction de leurs équations donne $\text{a(}{x}_{\text{M}}\text{−}{x}_{\text{A}}\text{)+b(}{y}_{\text{M}}\text{−}{y}_{\text{A}}\text{)=0}$. Ainsi $\overrightarrow{n}\text{=(a;b)}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{AM}$ : c’est un vecteur normal à d.

Un vecteur directeur possible est $\overrightarrow{u}\text{=(−b;a)}$, car $\overrightarrow{n}\text{·}\overrightarrow{u}\text{=a(−b)+ba=0}$. Multiplier a, b et c par un même réel non nul ne change pas la droite. En revanche, lire $\text{(a;b)}$ comme un vecteur directeur inverse la géométrie.

Si d passe par $\text{A(}{x}_{\text{A}}\text{;}{y}_{\text{A}}\text{)}$ et admet $\overrightarrow{n}\text{=(a;b)}$ pour normal, un point $\text{M(x;y)}$ appartient à d exactement lorsque $\overrightarrow{AM}\text{·}\overrightarrow{n}\text{=0}$. On obtient $\text{a(x−}{x}_{\text{A}}\text{)+b(y−}{y}_{\text{A}}\text{)=0}$, puis on développe seulement si une forme $\text{ax+by+c=0}$ est demandée.

Exemple : avec $\text{A(2;−1)}$ et $\overrightarrow{n}\text{=(3;4)}$, $\text{3(x−2)+4(y+1)=0}$, donc $\text{3x+4y−2=0}$. Le contrôle immédiat consiste à remplacer x et y par les coordonnées de A : $\text{6−4−2=0}$.

Un point et un vecteur normal non nul déterminent une droite. Un point et un vecteur directeur non nul aussi. Deux points distincts A et B suffisent également, car $\overrightarrow{AB}$ fournit une direction. Le vieux quiz rejetait ce dernier cas : c’était faux.

À partir d’un directeur $\overrightarrow{u}\text{=(p;q)}$, on peut choisir le normal $\overrightarrow{n}\text{=(q;−p)}$. À partir de deux points, calcule d’abord $\overrightarrow{AB}\text{=(}{x}_{\text{B}}\text{−}{x}_{\text{A}}\text{;}{y}_{\text{B}}\text{−}{y}_{\text{A}}\text{)}$, puis prends un normal. Deux points confondus ou un vecteur nul ne déterminent aucune direction.

Pour projeter $\text{P(}{x}_{\text{P}}\text{;}{y}_{\text{P}}\text{)}$ sur $\text{d:ax+by+c=0}$, le point H recherché doit vérifier deux contraintes : $\text{H∈d}$ et $\overrightarrow{PH}$ colinéaire à $\overrightarrow{n}\text{=(a;b)}$. On peut poser $\text{H=P−}\overrightarrow{\lambda n}$, puis imposer l’équation de d.

On trouve $\text{λ=}\frac{\text{a}{x}_{\text{P}}\text{+b}{y}_{\text{P}}\text{+c}}{a^2\text{+}{b}^2}$, puis $\text{H(}{x}_{\text{P}}\text{−aλ;}{y}_{\text{P}}\text{−bλ)}$. Le dénominateur est strictement positif puisque $\text{(a;b)≠(0;0)}$. Une autre méthode consiste à écrire la droite perpendiculaire à d passant par P et à résoudre l’intersection des deux droites.

La distance de P à d est la longueur PH, où H est le projeté orthogonal. Avec le calcul précédent, $\text{PH=|λ|‖}\overrightarrow{n}\text{‖}$, donc $\text{d(P,d)=}\frac{\text{|a}{x}_{\text{P}}\text{+b}{y}_{\text{P}}\text{+c|}}{\sqrt{a^2\text{+}{b}^2}}$. La valeur absolue garantit une distance positive.

Cette formule sert aussi de contrôle du projeté : calcule H, vérifie $\text{H∈d}$, vérifie que $\overrightarrow{PH}$ est colinéaire au normal, puis compare PH à la formule. Une distance nulle signifie exactement $\text{P∈d}$.

Le cercle de centre $\text{Ω(α;β)}$ et de rayon $\text{r≥0}$ est l’ensemble des points $\text{M(x;y)}$ tels que $\text{ΩM=r}$. Dans un repère orthonormé, $\text{Ω}{M}^2\text{=}{\text{(x−α)}}^2\text{+}{\text{(y−β)}}^2$, d’où ${\text{(x−α)}}^2\text{+}{\text{(y−β)}}^2\text{=}{r}^2$.

L’équation est une condition nécessaire et suffisante : tout point du cercle la vérifie, et tout couple qui la vérifie représente un point à distance r du centre. Si $\text{r=0}$, le cercle est réduit au seul point Ω.

Pour $x^2\text{+}{y}^2\text{−6x+4y−12=0}$, regroupe les termes en x et en y puis complète les carrés : $x^2\text{−6x=}{\text{(x−3)}}^2\text{−9}$ et $y^2\text{+4y=}{\text{(y+2)}}^2\text{−4}$. On obtient ${\text{(x−3)}}^2\text{+}{\text{(y+2)}}^2\text{=25}$. Le centre est $\text{Ω(3;−2)}$ et le rayon vaut 5.

Dans une équation de cercle sous cette forme, les coefficients de $x^2$ et $y^2$ sont égaux et aucun terme xy n’apparait. Après complétion, un rayon carré positif donne un cercle, nul un point, négatif aucun point réel. Ce dernier contrôle évite d’annoncer un rayon imaginaire.

Commence par traduire chaque objet : appartenance à une droite, perpendicularité, distance constante ou intersection. Choisis ensuite les inconnues et les équations minimales. Après résolution, reviens à la figure : une solution algébrique doit respecter toutes les contraintes géométriques.

Pour couper le cercle ${\text{(x−1)}}^2\text{+}{\text{(y+2)}}^2\text{=9}$ par la droite horizontale $\text{y=0}$, remplace y par 0 : ${\text{(x−1)}}^2\text{+4=9}$, donc ${\text{(x−1)}}^2\text{=5}$ et $\text{x=1±√5}$. Les deux points sont $\text{(1−√5;0)}$ et $\text{(1+√5;0)}$. Une droite parallèle à un axe réduit ainsi l’intersection à une équation du second degré simple.