Géométrie repérée : droites, projections et cercles

Ce que tu vas savoir faire

Lire un vecteur normal dans une équation cartésienne de droite.
Déterminer une équation de droite à partir d’un point et d’un vecteur normal.
Passer entre vecteur directeur et vecteur normal sans confondre leurs rôles.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite.
Calculer et interpréter la distance d’un point à une droite.
Déterminer l’équation d’un cercle à partir de son centre et de son rayon.
Reconnaitre un cercle et retrouver son centre et son rayon par complétion du carré.
Utiliser un repère pour étudier une configuration et contrôler les solutions obtenues.

Vérifie tes prérequis

Calculer avec des coordonnées et des vecteurs dans un repère orthonormé.
Résoudre un système de deux équations du premier degré.
Développer une identité remarquable et utiliser le produit scalaire.

Le chapitre en bref

Dans un repère orthonormé, une droite d’équation $ax+by+c=0$ possède le vecteur normal $\vec{n} =(a;b)$ . Avec un point $A(x_{A}; y_{A})$ , on écrit $a(x− x_{A})+b(y− y_{A})=0$ . Le projeté orthogonal H d’un point P appartient à la droite et le vecteur $\vec{P H}$ est colinéaire au normal ; ces deux contraintes déterminent ses coordonnées. Un cercle de centre $Ω(α;β)$ et de rayon r a pour équation ${(x−α)}^{2} + {(y−β)}^{2} = r^{2}$ . Pour reconnaitre un cercle dans une équation développée, on complète les carrés, puis on vérifie que le rayon carré obtenu est positif ou nul. La méthode sûre consiste toujours à nommer l’objet, traduire ses contraintes, résoudre, puis vérifier le résultat dans la figure et dans les équations.

1. Que révèle une équation cartésienne de droite ?

Soit la droite d d’équation $ax+by+c=0$ , avec $(a;b)≠(0;0)$ . Si A et M sont deux points de d, la soustraction de leurs équations donne $a(x_{M} − x_{A})+b(y_{M} − y_{A})=0$ . Ainsi $\vec{n} =(a;b)$ est orthogonal au vecteur $\vec{A M}$ : c’est un vecteur normal à d.

Un vecteur directeur possible est $\vec{u} =(−b;a)$ , car $\vec{n} · \vec{u} =a(−b)+ba=0$ . Multiplier a, b et c par un même réel non nul ne change pas la droite. En revanche, lire $(a;b)$ comme un vecteur directeur inverse la géométrie.

Coefficients → orthogonalité → rôle

Normal ou directeur : que lis-tu dans l’équation ?

Droite $3x−2y+5=0$ Normal $\vec{n} =(3;−2)$ Directeur $\vec{u} =(2;3)$ Contrôle $\vec{n} · \vec{u} =0$

Les coefficients de x et y donnent directement le normal.

2. Comment construire l’équation d’une droite avec un point et un normal ?

Si d passe par $A(x_{A}; y_{A})$ et admet $\vec{n} =(a;b)$ pour normal, un point $M(x;y)$ appartient à d exactement lorsque $\vec{A M} · \vec{n} =0$ . On obtient $a(x− x_{A})+b(y− y_{A})=0$ , puis on développe seulement si une forme $ax+by+c=0$ est demandée.

Exemple : avec $A(2;−1)$ et $\vec{n} =(3;4)$ , $3(x−2)+4(y+1)=0$ , donc $3x+4y−2=0$ . Le contrôle immédiat consiste à remplacer x et y par les coordonnées de A : $6−4−2=0$ .

Point + normal → orthogonalité → contrôle

Comment le point fixe-t-il la constante ?

Point $A(2;−1)$ Normal $(3;4)$ Équation-point $3(x−2)+4(y+1)=0$ Réduite $3x+4y−2=0$

La forme point-normal évite de deviner la constante c.

3. Quelles données suffisent réellement à déterminer une droite ?

Un point et un vecteur normal non nul déterminent une droite. Un point et un vecteur directeur non nul aussi. Deux points distincts A et B suffisent également, car $\vec{A B}$ fournit une direction. Le vieux quiz rejetait ce dernier cas : c’était faux.

À partir d’un directeur $\vec{u} =(p;q)$ , on peut choisir le normal $\vec{n} =(q;−p)$ . À partir de deux points, calcule d’abord $\vec{A B} =(x_{B} − x_{A}; y_{B} − y_{A})$ , puis prends un normal. Deux points confondus ou un vecteur nul ne déterminent aucune direction.

Données → direction ou normal → équation

Quelles données ouvrent quelle méthode ?

DonnéesA et $\vec{n} ≠ \vec{0}$ Vecteur $\vec{A M}$ Contrainte $\vec{A M} · \vec{n} =0$ Sortieéquation cartésienne

C’est l’entrée directe attendue par le programme.

4. Comment calculer le projeté orthogonal d’un point ?

Pour projeter $P(x_{P}; y_{P})$ sur $d:ax+by+c=0$ , le point H recherché doit vérifier deux contraintes : $H∈d$ et $\vec{P H}$ colinéaire à $\vec{n} =(a;b)$ . On peut poser $H=P− \vec{λ n}$ , puis imposer l’équation de d.

On trouve $λ= \frac{a x_{P} +b y_{P} +c}{a^{2} + b^{2}}$ , puis $H(x_{P} −aλ; y_{P} −bλ)$ . Le dénominateur est strictement positif puisque $(a;b)≠(0;0)$ . Une autre méthode consiste à écrire la droite perpendiculaire à d passant par P et à résoudre l’intersection des deux droites.

Appartenance + perpendicularité → coordonnées

Quel système enferme le projeté en un point unique ?

Droite $ax+by+c=0$ Normal $\vec{n} =(a;b)$ Point $H=P− \vec{λ n}$ Coefficient $λ= \frac{a x_{P} +b y_{P} +c}{a^{2} + b^{2}}$

Le déplacement de P vers H suit la direction du normal.

5. Comment contrôler la distance d’un point à une droite ?

La distance de P à d est la longueur PH, où H est le projeté orthogonal. Avec le calcul précédent, $PH=|λ|‖ \vec{n} ‖$ , donc $d(P,d)= \frac{|a x_{P} +b y_{P} +c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ . La valeur absolue garantit une distance positive.

Cette formule sert aussi de contrôle du projeté : calcule H, vérifie $H∈d$ , vérifie que $\vec{P H}$ est colinéaire au normal, puis compare PH à la formule. Une distance nulle signifie exactement $P∈d$ .

Numérateur signé → valeur absolue → norme

La formule de distance passe-t-elle tous les contrôles ?

Droite $3x+4y−10=0$ Point $P(0;0)$ Numérateur $|−10|$ Distance $\frac{10}{√25} =2$

La norme du normal vaut 5.

6. Comment écrire l’équation d’un cercle donné ?

Le cercle de centre $Ω(α;β)$ et de rayon $r≥0$ est l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ΩM=r$ . Dans un repère orthonormé, $Ω M^{2} = {(x−α)}^{2} + {(y−β)}^{2}$ , d’où ${(x−α)}^{2} + {(y−β)}^{2} = r^{2}$ .

L’équation est une condition nécessaire et suffisante : tout point du cercle la vérifie, et tout couple qui la vérifie représente un point à distance r du centre. Si $r=0$ , le cercle est réduit au seul point Ω.

Centre → différences → Pythagore

Quelle équation conserve exactement la distance au centre ?

Centre $Ω(α;β)$ Rayon $r≥0$ Distance carrée ${(x−α)}^{2} + {(y−β)}^{2}$ Équation ${(x−α)}^{2} + {(y−β)}^{2} = r^{2}$

L’équation traduit la définition métrique du cercle.

7. Comment retrouver centre et rayon dans une équation développée ?

Pour $x^{2} + y^{2} −6x+4y−12=0$ , regroupe les termes en x et en y puis complète les carrés : $x^{2} −6x= {(x−3)}^{2} −9$ et $y^{2} +4y= {(y+2)}^{2} −4$ . On obtient ${(x−3)}^{2} + {(y+2)}^{2} =25$ . Le centre est $Ω(3;−2)$ et le rayon vaut 5.

Dans une équation de cercle sous cette forme, les coefficients de x² et y² sont égaux et aucun terme xy n’apparait. Après complétion, un rayon carré positif donne un cercle, nul un point, négatif aucun point réel. Ce dernier contrôle évite d’annoncer un rayon imaginaire.

Regrouper → compléter → classer

Que révèle la complétion du carré ?

Départ $x^{2} + y^{2} −6x+4y−12=0$ Carrés ${(x−3)}^{2} −9; {(y+2)}^{2} −4$ Forme ${(x−3)}^{2} + {(y+2)}^{2} =25$ Lecturecentre $(3;−2)$ , rayon 5

Chaque demi-coefficient donne une translation.

8. Comment utiliser un repère sans transformer la preuve en calcul aveugle ?

Commence par traduire chaque objet : appartenance à une droite, perpendicularité, distance constante ou intersection. Choisis ensuite les inconnues et les équations minimales. Après résolution, reviens à la figure : une solution algébrique doit respecter toutes les contraintes géométriques.

Pour couper le cercle ${(x−1)}^{2} + {(y+2)}^{2} =9$ par la droite horizontale $y=0$ , remplace y par 0 : ${(x−1)}^{2} +4=9$ , donc ${(x−1)}^{2} =5$ et $x=1±√5$ . Les deux points sont $(1−√5;0)$ et $(1+√5;0)$ . Une droite parallèle à un axe réduit ainsi l’intersection à une équation du second degré simple.

Traduire → résoudre → filtrer → interpréter

Comment empêcher le calcul de perdre la figure ?

DroiteéquationCercledistance au centreOrthogonalitéproduit nulIntersectioncontraintes simultanées

Nommer l’invariant choisit les bonnes équations.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

Les coefficients a et b donnent un normal.
Un point transforme l’orthogonalité en équation.
Deux points distincts déterminent une droite.
Le projeté satisfait deux contraintes simultanées.
La distance est la longueur jusqu’au projeté.
Le cercle traduit une distance constante.
La complétion du carré révèle centre et rayon.
Toute solution algébrique doit revenir à la figure.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Quel vecteur est normal à

3x−2y+5=0

?

(3;−2)

(2;3)

(3;2)

2. Quelle équation décrit la droite passant par

A(2;−1)

de normal

(3;4)

?

3x+4y−2=0

4x−3y=0

3x+4y+2=0

3. Quelles données déterminent une droite unique ? Deux points distincts Un seul point Un vecteur nul et un point

4. Quelles contraintes définissent le projeté H de P sur d ?

H∈d

et

\vec{P H} ⊥d

P∈d

et

H=P

\vec{P H}

parallèle à d

5. Quelle est la distance de

P(0;0)

à

3x+4y−10=0

?

2

10

\frac{10}{7}

6. Quelle équation correspond au cercle de centre

(2;−3)

et de rayon 4 ?

{(x−2)}^{2} + {(y+3)}^{2} =16

{(x+2)}^{2} + {(y−3)}^{2} =4

{(x−2)}^{2} + {(y−3)}^{2} =16

7. Que décrit

{(x−3)}^{2} + {(y+2)}^{2} =25

? Centre (3;−2), rayon 5 Centre (−3;2), rayon 25 Centre (3;2), rayon 5

8. Après complétion, on obtient

{(x−1)}^{2} + {(y+4)}^{2} =−3

. Quelle conclusion ? Aucun point réel Un cercle de rayon 3 Un point unique

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