Second degré : formes, discriminant, racines et signe

Ce que tu vas savoir faire

Vérifier qu’une expression est bien du second degré et distinguer fonction, équation et inéquation.
Choisir entre formes développée, factorisée et canonique selon la question.
Passer d’une racine à un facteur et exploiter somme et produit des racines.
Déterminer une forme canonique simple par complétion du carré.
Démontrer et appliquer la formule de résolution avec le discriminant.
Construire le signe et contrôler la cohérence avec la parabole.
Résoudre équations et inéquations avec la méthode la plus adaptée.
Optimiser une grandeur en contrôlant domaine, unités et hypothèses du modèle.

Vérifie tes prérequis

Développer, factoriser et reconnaître les identités remarquables.
Résoudre une équation produit nul et manipuler une racine carrée.
Lire intervalles, signes et coordonnées dans un repère.

Le chapitre en bref

Un polynôme du second degré s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a non nul. Ses trois formes sont équivalentes mais ne répondent pas aux mêmes questions : la développée expose les coefficients, la factorisée les racines et le signe, la canonique le sommet et l’extremum. On cherche d’abord une structure simple — produit nul, carré, racine apparente ou somme-produit — puis on emploie le discriminant pour le cas général. La complétion du carré explique à la fois la forme canonique et la formule des racines. Enfin, graphique, tableau de signe et contexte servent de contrôles : une solution doit appartenir au domaine demandé et un optimum doit rester réalisable.

1. À quelle question l’expression doit-elle répondre ?

Une fonction polynôme du second degré a la forme $f(x)=a x^{2} +bx+c$ avec $a≠0$ . Si $a=0$ , l’expression devient affine et les divisions par $2a$ ou les raisonnements propres au discriminant sont interdits. Les coefficients $b$ et $c$ peuvent être nuls.

Distingue l’objet demandé. Étudier la fonction signifie chercher zéros, signe, variations ou courbe ; résoudre $a x^{2} +bx+c=0$ signifie déterminer un ensemble de solutions ; résoudre une inéquation signifie produire des intervalles. La même expression change donc de rôle selon le contrat.

Coefficient dominant → domaine → question

Est-ce vraiment un second degré ?

Expression $f(x)=2 x^{2} −3x+1$ Coefficient $a=2≠0$ Degré2Contratfonction polynôme du second degré

Le coefficient de x² doit être non nul ; b ou c peuvent en revanche être nuls.

2. Quelle forme rend l’information utile immédiatement visible ?

La forme développée $a x^{2} +bx+c$ expose les coefficients et facilite certaines substitutions. La forme factorisée $a(x− x_{1})(x− x_{2})$ expose les racines réelles et prépare le signe. La forme canonique $a {(x−α)}^{2} +β$ expose l’axe $x=α$ , le sommet $(α;β)$ et l’extremum.

Aucune forme n’est supérieure en soi. Pour contrôler une conversion, développe la forme obtenue et compare terme à terme les coefficients. Pour résoudre, commence par la structure déjà disponible au lieu de calculer automatiquement un discriminant.

Développée, factorisée ou canonique

Quelle forme rend la question visible ?

Question $f(10)$ Forme $f(x)= x^{2} −6x+5$ Substitution $100−60+5$ Résultat $f(10)=45$

La forme développée donne directement les coefficients et facilite souvent une substitution.

3. Comment une racine devient-elle un facteur ?

Un réel $r$ est racine de $P$ lorsque $P(r)=0$ . Alors $x−r$ est un facteur. Si les deux racines réelles sont $x_{1}$ et $x_{2}$ , $P(x)=a(x− x_{1})(x− x_{2})$ . Le facteur $a$ est indispensable : il conserve le coefficient de $x^{2}$ .

En développant, on obtient $x_{1} + x_{2} = \frac{−b}{a}$ et $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ . Ces relations servent à contrôler des racines ou à détecter mentalement des racines entières simples. Elles ne dispensent ni de vérifier le produit ni de traiter le cas où les racines réelles n’existent pas.

Valeur testée → facteur → seconde racine

Une racine suffit-elle à factoriser ?

Polynôme $P(x)= x^{2} −5x+6$ Test $P(2)=0$ Facteur $x−2$ Factorisation $P(x)=(x−2)(x−3)$

Une valeur r est racine exactement lorsque x−r est un facteur.

4. Comment la complétion du carré révèle-t-elle le sommet ?

Pour transformer $x^{2} +6x+5$ , reconnais ${(x+3)}^{2} = x^{2} +6x+9$ , puis ajoute et retire 9 : $x^{2} +6x+5= {(x+3)}^{2} −4$ . Si $a≠1$ , factorise d’abord $a$ devant les termes en $x$ . Chaque étape doit être une identité contrôlable par développement.

Dans $a {(x−α)}^{2} +β$ , le carré est positif ou nul. Si $a>0$ , $β$ est un minimum ; si $a<0$ , c’est un maximum. Le programme 2026 demande de savoir que cette forme existe et de la déterminer dans des cas simples par complétion, sans transformer toute question en conversion générale mécanique.

Demi-coefficient → ajouter-retirer → sommet

Comment faire apparaître un carré sans formule aveugle ?

Départ $x^{2} +6x+5$ Carré proche ${(x+3)}^{2} = x^{2} +6x+9$ Compensation ${(x+3)}^{2} −9+5$ Canonique ${(x+3)}^{2} −4$

On ajoute et retire le même nombre : l’expression reste identique.

5. D’où viennent le discriminant et la formule des racines ?

À partir de $a x^{2} +bx+c=0$ avec $a≠0$ , la complétion du carré conduit à $(x+ \frac{b}{2a})²= \frac{b^{2} −4ac}{4 a^{2}}$ . On note $Δ= b^{2} −4ac$ . Le signe de $Δ$ indique si ce carré réel peut égaler le membre de droite.

Si $Δ>0$ , il existe deux solutions $x_{1} = \frac{−b− \sqrt{Δ}}{2a}$ et $x_{2} = \frac{−b+ \sqrt{Δ}}{2a}$ . Si $Δ=0$ , la racine double est $x_{0} = \frac{−b}{2a}$ . Si $Δ<0$ , il n’existe aucune solution dans $ℝ$ . Cette chaîne est la démonstration demandée par le programme, pas seulement une fiche de cas.

Complétion du carré → signe → formule

Pourquoi Δ commande-t-il les solutions réelles ?

Équation $a x^{2} +bx+c=0$ Carré $(x+ \frac{b}{2a})²= \frac{Δ}{4 a^{2}}$ Discriminant $Δ= b^{2} −4ac$ Solutions $x= \frac{−b± \sqrt{Δ}}{2a}$ si $Δ≥0$

Le discriminant apparaît comme le numérateur du carré obtenu après complétion.

6. Comment faire coïncider factorisation, signe et parabole ?

Si $x_{1} < x_{2}$ sont deux racines simples, le signe de $a(x− x_{1})(x− x_{2})$ est celui de $a$ à l’extérieur de $[x_{1}; x_{2}$ ] et son opposé à l’intérieur. À chaque racine simple, la courbe traverse l’axe et le signe change.

Avec une racine double, $a {(x− x_{0})}^{2}$ garde le signe de $a$ et s’annule seulement en $x_{0}$ : la parabole touche l’axe. Sans racine réelle, le signe est constant et égal à celui de $a$ . Le graphique contrôle le tableau, mais le calcul en justifie les bornes exactes.

Facteur dominant + passages par zéro

Comment racines, signe et parabole se contrôlent-ils ?

Forme $a(x− x_{1})(x− x_{2})$ Hypothèses $a>0; x_{1} < x_{2}$ Signe+ puis − puis +Courbeau-dessus, dessous, au-dessus de l’axe

Avec a positif, le signe est celui de a à l’extérieur des racines et l’opposé entre elles.

7. Quelle stratégie résout l’équation ou l’inéquation avec le moins de détours ?

Cherche d’abord produit nul, identité remarquable, carré égal à un nombre, racine apparente ou couple somme-produit. Utilise le discriminant quand aucune structure plus courte n’est disponible. Chaque solution est vérifiée dans l’équation initiale et rassemblée dans un ensemble adapté au domaine.

Pour une inéquation, les racines ne sont que des frontières : construis le signe, sélectionne les zones correspondant à $>$ , $≥$ , $<$ ou $≤$ , puis écris l’union d’intervalles avec les bonnes inclusions. Une réponse composée seulement de deux nombres ne résout pas une inéquation.

Structure visible avant discriminant

Quelle méthode est la plus courte et reste justifiée ?

Équation $(2x−3)(x+4)=0$ Méthodeproduit nulBranches $2x−3=0$ ou $x+4=0$ Solutions $x_{1} = \frac{3}{2}; x_{2} =−4$

Une forme déjà factorisée ne demande aucun discriminant.

8. Quand l’extremum algébrique devient-il une réponse au problème réel ?

Définis variable, unité et domaine avant d’optimiser. Pour $A(x)=x(20−x)=− {(x−10)}^{2} +100$ sur $[0;20$ ], le maximum 100 atteint en $x=10$ est admissible. Si le sommet sort du domaine, compare les valeurs aux bornes ou aux contraintes entières du problème.

Une trajectoire quadratique suppose par exemple un champ uniforme et une résistance de l’air négligée ; un profit suppose prix, coûts et capacité dans un intervalle défini. Une parabole ajustée à quelques données ne garantit ni causalité ni extrapolation. Termine par unité, arrondi éventuel et interprétation dans les mots de la question.

Variable → domaine → modèle → extremum → contrôle

Que prouve le sommet dans le problème réel ?

Modèle $A(x)=x(20−x)$ Domaine $0≤x≤20$ Canonique $A(x)=− {(x−10)}^{2} +100$ Maximum $100$ pour $x=10$

L’extremum algébrique est admissible parce que x=10 appartient au domaine géométrique.

Erreurs fréquentes

L'essentiel à mémoriser

a doit être non nul.
Chaque forme rend une information différente visible.
Racine et facteur sont deux faces du même fait.
La complétion du carré révèle le sommet.
Le discriminant vient d’une démonstration par carré.
Racines, signe et parabole se contrôlent mutuellement.
La structure la plus simple guide la méthode.
Un optimum n’est valide que dans le domaine du problème.

Vérifier sa compréhension

Réponds aux 8 questions. Ton score et les réponses justes ou fausses apparaissent immédiatement.

1. Quelle condition fait de ax²+bx+c un polynôme du second degré ?

a≠0

b≠0

c≠0

2. Quelle forme rend immédiatement visibles les racines 1 et 5 ?

f(x)=a(x−1)(x−5)

f(x)=a x^{2} +bx+c

f(x)=a {(x−3)}^{2} −4a

3. Quelle est la forme canonique de x²+6x+5 ?

{(x+3)}^{2} −4

{(x+3)}^{2} +5

{(x−3)}^{2} −4

4. Que signifie Δ=0 dans ℝ ? Une racine réelle double Deux racines réelles distinctes Aucune racine réelle

5. Quelle méthode choisir d’abord pour (2x−3)(x+4)=0 ? La règle du produit nul Calculer systématiquement Δ Tracer une courbe approximative

6. Si a>0 et x₁<x₂ sont deux racines simples, quel est le signe entre les racines ? Négatif Positif Toujours nul

7. Que faut-il rendre pour résoudre f(x)≤0 ? Un ou plusieurs intervalles issus du tableau de signe Seulement la valeur de Δ Seulement les coordonnées du sommet

8. Le sommet d’un modèle est hors du domaine admissible. Que faire ? Comparer les valeurs aux bornes et contraintes du domaine Conserver le sommet malgré tout Supprimer les unités

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