Comment choisir la bonne forme d’un polynôme du second degré pour résoudre le problème ?

Une fonction polynôme du second degré a la forme $\text{f(x)=a}{x}^2\text{+bx+c}$ avec $\text{a≠0}$. Si $\text{a=0}$, l’expression devient affine et les divisions par $\text{2a}$ ou les raisonnements propres au discriminant sont interdits. Les coefficients $b$ et $c$ peuvent être nuls.

Distingue l’objet demandé. Étudier la fonction signifie chercher zéros, signe, variations ou courbe ; résoudre $\text{a}{x}^2\text{+bx+c=0}$ signifie déterminer un ensemble de solutions ; résoudre une inéquation signifie produire des intervalles. La même expression change donc de rôle selon le contrat.

La forme développée $\text{a}{x}^2\text{+bx+c}$ expose les coefficients et facilite certaines substitutions. La forme factorisée $\text{a(x−}{x}_1\text{)(x−}{x}_2\text{)}$ expose les racines réelles et prépare le signe. La forme canonique $\text{a}{\text{(x−α)}}^2\text{+β}$ expose l’axe $\text{x=α}$, le sommet $\text{(α;β)}$ et l’extremum.

Aucune forme n’est supérieure en soi. Pour contrôler une conversion, développe la forme obtenue et compare terme à terme les coefficients. Pour résoudre, commence par la structure déjà disponible au lieu de calculer automatiquement un discriminant.

Un réel $r$ est racine de $P$ lorsque $\text{P(r)=0}$. Alors $\text{x−r}$ est un facteur. Si les deux racines réelles sont $x_1$ et $x_2$, $\text{P(x)=a(x−}{x}_1\text{)(x−}{x}_2\text{)}$. Le facteur $a$ est indispensable : il conserve le coefficient de $x^2$.

En développant, on obtient $x_1\text{+}{x}_2\text{=}\frac{\text{−b}}{a}$ et $x_1{x}_2\text{=}\frac{c}{a}$. Ces relations servent à contrôler des racines ou à détecter mentalement des racines entières simples. Elles ne dispensent ni de vérifier le produit ni de traiter le cas où les racines réelles n’existent pas.

Pour transformer $x^2\text{+6x+5}$, reconnais ${\text{(x+3)}}^2\text{=}{x}^2\text{+6x+9}$, puis ajoute et retire 9 : $x^2\text{+6x+5=}{\text{(x+3)}}^2\text{−4}$. Si $\text{a≠1}$, factorise d’abord $a$ devant les termes en $x$. Chaque étape doit être une identité contrôlable par développement.

Dans $\text{a}{\text{(x−α)}}^2\text{+β}$, le carré est positif ou nul. Si $\text{a>0}$, $\beta$ est un minimum ; si , c’est un maximum. Le programme 2026 demande de savoir que cette forme existe et de la déterminer dans des cas simples par complétion, sans transformer toute question en conversion générale mécanique.

À partir de $\text{a}{x}^2\text{+bx+c=0}$ avec $\text{a≠0}$, la complétion du carré conduit à $\text{(x+}\frac{b}{\text{2a}}\text{)²=}\frac{b^2\text{−4ac}}{\text{4}{a}^2}$. On note $\text{Δ=}{b}^2\text{−4ac}$. Le signe de $\Delta$ indique si ce carré réel peut égaler le membre de droite.

Si $\text{Δ>0}$, il existe deux solutions $x_1\text{=}\frac{\text{−b−}\sqrt{\Delta }}{\text{2a}}$ et $x_2\text{=}\frac{\text{−b+}\sqrt{\Delta }}{\text{2a}}$. Si $\text{Δ=0}$, la racine double est $x_0\text{=}\frac{\text{−b}}{\text{2a}}$. Si , il n’existe aucune solution dans $\text{ℝ}$. Cette chaîne est la démonstration demandée par le programme, pas seulement une fiche de cas.

Si sont deux racines simples, le signe de $\text{a(x−}{x}_1\text{)(x−}{x}_2\text{)}$ est celui de $a$ à l’extérieur de $\text{[}{x}_1\text{;}{x}_2$] et son opposé à l’intérieur. À chaque racine simple, la courbe traverse l’axe et le signe change.

Avec une racine double, $\text{a}{\text{(x−}{x}_0\text{)}}^2$ garde le signe de $a$ et s’annule seulement en $x_0$ : la parabole touche l’axe. Sans racine réelle, le signe est constant et égal à celui de $a$. Le graphique contrôle le tableau, mais le calcul en justifie les bornes exactes.

Cherche d’abord produit nul, identité remarquable, carré égal à un nombre, racine apparente ou couple somme-produit. Utilise le discriminant quand aucune structure plus courte n’est disponible. Chaque solution est vérifiée dans l’équation initiale et rassemblée dans un ensemble adapté au domaine.

Pour une inéquation, les racines ne sont que des frontières : construis le signe, sélectionne les zones correspondant à $\text{>}$, $\text{≥}$, ou $\text{≤}$, puis écris l’union d’intervalles avec les bonnes inclusions. Une réponse composée seulement de deux nombres ne résout pas une inéquation.

Définis variable, unité et domaine avant d’optimiser. Pour $\text{A(x)=x(20−x)=−}{\text{(x−10)}}^2\text{+100}$ sur $\text{[0;20}$], le maximum 100 atteint en $\text{x=10}$ est admissible. Si le sommet sort du domaine, compare les valeurs aux bornes ou aux contraintes entières du problème.

Une trajectoire quadratique suppose par exemple un champ uniforme et une résistance de l’air négligée ; un profit suppose prix, coûts et capacité dans un intervalle défini. Une parabole ajustée à quelques données ne garantit ni causalité ni extrapolation. Termine par unité, arrondi éventuel et interprétation dans les mots de la question.