Comment choisir un modèle et calculer des probabilités conditionnelles ?

Une situation réelle ne porte pas seule ses probabilités. Le modèle précise l’univers Ω, les événements et une loi. Dire qu’un dé est équilibré ou qu’un individu est tiré au hasard dans une population justifie une hypothèse d’équiprobabilité ; cette hypothèse n’est pas démontrée par le seul nombre d’issues.

Pour un phénomène réel, une longue série peut suggérer un modèle : lorsque le nombre d’essais est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. Elle fluctue toutefois d’une série à l’autre et ne prédit pas chaque essai.

Une issue est un résultat possible ; un événement est un sous-ensemble de Ω. L’événement certain est Ω et l’impossible est ∅. Pour deux événements A et B, « A et B » devient A∩B ; « A ou B » devient A∪B, avec un ou inclusif.

Le complémentaire de A rassemble les issues de Ω qui ne sont pas dans A et vérifie P(non $\text{A)=1−P(A)}$. Deux événements incompatibles ont une intersection vide. Cela ne signifie pas qu’ils sont indépendants : incompatibilité et indépendance répondent à des questions différentes.

Dans un univers fini, une loi associe à chaque issue un nombre compris entre 0 et 1 et la somme de tous ces nombres vaut 1. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qu’il contient.

Si toutes les issues sont équiprobables, $\text{P(A)=Card(A)/Card(Ω)}$. Sans équiprobabilité, compter les issues ne suffit pas : il faut additionner leurs poids. Pour une réunion, $\text{P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)}$, car l’intersection serait sinon comptée deux fois.

Conditionner par A signifie que l’on sait A réalisé. Le nouvel univers est donc A. Si $\text{P(A)>0}$, $\text{P₍A₎(B)=P(A∩B)/P(A)}$. Dans un tirage équiprobable d’un individu, cela devient Card(A∩B)/Card(A).

Dans un tableau, le dénominateur est le total de la ligne ou de la colonne correspondant à la condition. La même intersection figure au numérateur de P₍A₎(B) et P₍B₎(A), mais les dénominateurs sont différents. Lis donc la phrase de gauche à droite : parmi A, quelle part vérifie B ?

Les premières branches portent des probabilités comme $\text{P(A)}$. Depuis le nœud A, les branches suivantes portent des probabilités conditionnelles comme P₍A₎(B). Les pondérations issues d’un même nœud forment une loi et leur somme vaut 1.

Le chemin A puis B représente A∩B et vaut $\text{P(A)×P₍A₎(B)}$. Dans le lancer de deux pièces équilibrées et indépendantes, les secondes branches valent encore $\frac{1}{2}$ ; c’est un cas particulier justifié, pas une règle à recopier sur tout arbre. Le programme demande de calculer des chemins, mais pas la formule générale des probabilités totales relative à une partition.

La sensibilité $\text{P₍M₎(+)}$ est la probabilité d’un test positif parmi les personnes malades. La probabilité $\text{P\_+(M)}$ regarde au contraire les personnes positives et demande quelle part est malade. Ces deux questions inversent condition et événement.

Un faux positif est un résultat positif chez une personne non malade ; un faux négatif est un résultat négatif chez une personne malade. Pour éviter l’inversion, construis un tableau d’effectifs sur une population fictive, puis entoure la ligne ou la colonne correspondant au mot « parmi ». Le calcul reste descriptif du modèle et ne remplace jamais un avis médical.