Comment choisir la bonne écriture d’un nombre réel ?

On utilise ici $\text{ℕ}$ = {0, 1, 2, …}, $\text{ℤ}$ pour les entiers relatifs, 𝔻 pour les nombres à écriture décimale finie, $\text{ℚ}$ pour les quotients $\frac{p}{q}$ d’entiers avec q ≠ 0, et $\text{ℝ}$ pour toutes les abscisses de la droite réelle. Ils sont emboîtés : $\text{ℕ}$ ⊂ $\text{ℤ}$ ⊂ 𝔻 ⊂ $\text{ℚ}$ ⊂ $\text{ℝ}$.

Un nombre appartient donc souvent à plusieurs ensembles. 5 appartient aux cinq, mais son plus petit ensemble est $\text{ℕ}$ ; $\text{−3}$ est dans $\text{ℤ}$ ; 0,125 est dans 𝔻 ; $\frac{1}{3}$ est dans $\text{ℚ}$ sans être dans 𝔻 ; $\text{√2}$ est dans $\text{ℝ}$ sans être rationnel. Donne le plus petit ensemble demandé, puis justifie par une écriture ou une preuve.

Un nombre décimal s’écrit $\frac{a}{{10}^{\mathrm{n}}}$ avec a entier et n naturel. Il est donc rationnel. La réciproque est fausse : si $\frac{1}{3}$ était décimal, on aurait $\frac{1}{3}$ = $\frac{a}{{10}^{\mathrm{n}}}$, donc 10ⁿ = 3a. Or aucune puissance de 10 n’est divisible par 3 ; contradiction. Son écriture 0,333… est illimitée et périodique.

Pour $\text{√2}$, supposons $\text{√2}$ = $\frac{p}{q}$ avec p et q entiers premiers entre eux. Alors $p^2$ = 2q² : $p^2$ est pair, donc p est pair, p = 2k. On obtient $q^2$ = 2k², donc q est pair aussi. p et q auraient un facteur commun 2, contradiction. Ainsi $\text{√2}$ est irrationnel. Une calculatrice affiche seulement une approximation finie de ces réels.

L’intervalle [a ; b] contient les x tels que a ≤ x ≤ b ; ]a ; b[ correspond à a < x < b. Un crochet tourné vers l’intérieur indique une borne incluse, un crochet tourné vers l’extérieur une borne exclue. En notation française, on n’utilise pas les parenthèses pour ouvrir un intervalle.

Les symboles −∞ et +∞ ne sont pas des nombres réels : ils ne sont jamais inclus. On écrit donc ]−∞ ; a], [a ; +∞[ ou ]−∞ ; +∞[ = $\text{ℝ}$. Contrôle chaque extrémité séparément, puis place un point plein pour une borne incluse et un point vide pour une borne exclue.

L’intersection A ∩ B contient les nombres présents dans A et dans B : sur la droite, c’est la zone de recouvrement. La réunion A ∪ B contient les nombres présents dans A ou dans B, éventuellement dans les deux. Le mot ou est inclusif en mathématiques.

Commence par dessiner les deux intervalles sur une même droite. Pour l’intersection, garde seulement la superposition et vérifie les bornes ; pour la réunion, colore tout ce qui appartient à au moins un ensemble. Si deux intervalles sont disjoints, leur intersection est ∅ et leur réunion ne devient pas artificiellement l’intervalle qui comblerait le trou.

La valeur absolue |a| est la distance entre a et 0 ; elle est toujours positive ou nulle. La distance entre x et a vaut $\text{|x−a|}$ : l’ordre de la soustraction ne change pas la distance puisque $\text{|x−a|}$ = $\text{|a−x|}$.

Pour r ≥ 0, $\text{|x−a|}$ ≤ r signifie que x se trouve à une distance au plus r du centre a. Les extrémités sont $\text{a−r}$ et $\text{a+r}$, donc l’ensemble des solutions est $\text{[a−r}$ ; $\text{a+r]}$. Réciproquement, pour [u ; v], le centre est $\text{(u+v)/2}$ et le rayon est $\text{(v−u)/2}$. Ce chapitre limite la valeur absolue à cette lecture par distance, conformément au programme.

Pour encadrer x à $\text{10^−n}$ près, pose k = $\text{⌊x×}{10}^{\mathrm{n}}\text{⌋}$. Alors $\frac{k}{{10}^{\mathrm{n}}}$ ≤ x < $\text{(k+1)/}{10}^{\mathrm{n}}$ : l’amplitude vaut exactement $\text{10^−n}$. Cette méthode fonctionne aussi si x est négatif. Par exemple, avec x = $\text{−1,234}$ et n = 2, on a $\text{−1,24}$ ≤ x < $\text{−1,23}$ ; tronquer vers zéro à $\text{−1,23}$ ne donnerait pas la borne inférieure.

Un arrondi à n décimales choisit le multiple de $\text{10^−n}$ le plus proche ; son erreur absolue est au plus la moitié d’une unité du dernier rang, hors convention particulière sur les égalités. Les chiffres significatifs commencent au premier chiffre non nul et doivent refléter les données et l’usage. Conserve la valeur exacte pendant les calculs, puis annonce approximation, unité et précision au résultat.