Choisir l'écriture qui rend l'intersection calculable

La droite passant par $\text{A(xA;yA;zA)}$ et dirigée par $\overrightarrow{u}\text{=(a;b;c)}$ non nul est donnée par $\text{x=xA+at}$, $\text{y=yA+bt}$, $\text{z=zA+ct}$ avec t réel.

Exemple guidé : Par $\text{A(1;2;0)}$ et $\overrightarrow{u}\text{=(2;−1;3)}$, on obtient $\text{x=1+2t}$, $\text{y=2−t}$, $\text{z=3t}$.

Chaque valeur de t fournit un point de la droite et $\text{t=0}$ redonne A. Le vecteur entre deux points correspondant à $t_1$ et $t_2$ vaut $\text{(}{t}_2\text{−}{t}_1\text{)}\overrightarrow{u}$, donc il est colinéaire au vecteur directeur. Multiplier u⃗ par un réel non nul ou choisir un autre point de la droite change la représentation, pas l’ensemble géométrique.

Un point M appartient à une droite paramétrée s'il existe une même valeur de t qui satisfait les trois équations.

Exemple guidé : Pour $\text{M(3;1;3)}$ dans l'exemple précédent, x donne $\text{t=1}$, puis y et z confirment.

Dans l’exemple, $\text{x=3}$ donne $\text{t=1}$. On doit encore vérifier $\text{y=2−1=1}$ et $\text{z=3×1=3}$. Si une seule coordonnée échoue, il n’existe pas de paramètre commun. Résoudre séparément trois équations sans comparer leurs valeurs de t est l’erreur classique.

Un plan passant par A et dirigé par deux vecteurs u⃗,v⃗ non colinéaires se décrit par $\text{M=A+s}$ $\overrightarrow{u}\text{+t}$ v⃗.

Exemple guidé : Avec $\text{A(0;0;1)}$, $\overrightarrow{u}\text{=(1;0;0)}$, $\overrightarrow{v}\text{=(0;1;1)}$, on a $\text{x=s}$, $\text{y=t}$, $\text{z=1+t}$.

Les paramètres s et t sont indépendants et parcourent $\text{ℝ}$. La non-colinéarité de u⃗ et v⃗ garantit que deux directions sont disponibles. Si l’on fixe $\text{t=0}$, on obtient une droite du plan ; si l’on fait varier les deux paramètres, leurs combinaisons remplissent le plan entier.

Dans $\text{ax+by+cz+d=0}$ avec (a;b;c) non nul, le triplet (a;b;c) est normal au plan. Une seule équation linéaire décrit un plan, pas une droite de l'espace.

Exemple guidé : $\text{2x−y+z−3=0}$ a pour vecteur normal $\text{(2;−1;1)}$.

Pour tester un point, on substitue ses coordonnées dans l’équation. Pour construire une équation à partir d’un point A et d’un normal $\overrightarrow{n}\text{=(a;b;c)}$, on écrit $\overrightarrow{n}\text{·}\overrightarrow{AM}\text{=0}$ puis on développe. Les coefficients (a;b;c) ne peuvent pas être tous nuls, sinon l’équation ne décrit aucun plan.

Pour intersecter une droite paramétrée et un plan cartésien, on substitue x(t),y(t),z(t) dans l'équation du plan. L'équation obtenue en t peut avoir une, aucune ou une infinité de solutions.

Exemple guidé : Une solution unique $t_0$ donne le point d'intersection en remplaçant t par $t_0$ dans la droite.

Après substitution, une équation $\text{αt+β=0}$ apparaît. Si $\text{α≠0}$, une solution unique fournit un point d’intersection. Si $\text{α=0}$ et $\text{β≠0}$, la droite est strictement parallèle au plan. Si $\text{α=β=0}$, tous les points de la droite satisfont l’équation : la droite est incluse dans le plan.

Des vecteurs directeurs colinéaires indiquent des droites parallèles ou confondues. S'ils ne le sont pas, un système cherche un point commun ; sans solution, les droites sont non coplanaires.

Exemple guidé : Deux droites non parallèles peuvent ne jamais se rencontrer dans l'espace.

Utilise deux paramètres distincts, par exemple t et s, puis égalise les trois coordonnées. Une solution commune donne le point d’intersection. Si les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires et que le système est incompatible, les droites sont gauches, donc non coplanaires. Le dessin en perspective ne suffit pas à trancher.