Additionner les espérances sans inventer l'indépendance

La variable $\text{S=X+Y}$ associe à chaque issue la somme des valeurs prises par X et Y sur cette même issue. Sa loi dépend de la loi conjointe, pas seulement des deux lois marginales.

Exemple guidé : Deux dés donnent S compris entre 2 et 12 ; plusieurs couples conduisent à une même valeur.

Pour construire la loi de S, liste les couples (x,y), calcule $\text{x+y}$ puis additionne les probabilités des couples donnant la même somme. Avec deux dés équilibrés, $\text{S=7}$ possède six antécédents tandis que $\text{S=2}$ n’en possède qu’un : la loi de la somme n’est donc pas uniforme.

Pour toutes variables d'espérance finie, $\text{E(X+Y)=E(X)+E(Y)}$, sans hypothèse d'indépendance. Plus généralement, l'espérance est linéaire.

Exemple guidé : Si $\text{E(X)=3}$ et $\text{E(Y)=5}$, alors $\text{E(2X−Y)=1}$.

La linéarité s’étend aux coefficients : $\text{E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c}$. Dans l’exemple, $\text{E(2X−Y)=2×3−5=1}$. Il n’est pas nécessaire de connaître la loi de $\text{2X−Y}$ ni de supposer X et Y indépendantes pour calculer cette espérance.

Si X et Y sont indépendantes, $\text{V(X+Y)=V(X)+V(Y)}$. Sans indépendance, un terme de covariance intervient et la formule réduite n'est pas justifiée.

Exemple guidé : Pour deux variables indépendantes de variances 4 et 9, l'écart-type de la somme vaut $\text{√13}$, pas $\text{2+3}$.

Avec $\text{V(X)=4}$ et $\text{V(Y)=9}$, l’indépendance donne $\text{V(X+Y)=13}$ puis $\text{σ(X+Y)=√13}$. Écrire $\text{2+3}$ confondrait les écarts-types avec les variances. Pour une différence $\text{X−Y}$ indépendante, la variance vaut encore $\text{4+9}$, car le coefficient $\text{−1}$ est mis au carré.

Si X₁,…,Xₙ sont indépendantes, de même espérance μ et variance ${\sigma }^2$, alors $S_n$ a pour espérance nμ et variance nσ².

Exemple guidé : La moyenne $M_n\text{=}\frac{S_n}{n}$ a pour espérance μ et variance $\frac{{\sigma }^2}{n}$.

On utilise $\text{E(aX)=aE(X)}$ et $\text{V(aX)=a}{}^{2}V\text{(X)}$. Ainsi $M_n\text{=}\frac{S_n}{n}$ a pour espérance $\frac{\text{nμ}}{n}\text{=μ}$ et variance $\frac{\text{n}{\sigma }^2}{n^2}\text{=}\frac{{\sigma }^2}{n}$. Le carré du coefficient $\frac{1}{n}$ explique pourquoi la moyenne se disperse moins lorsque l’échantillon grandit.

Le nombre X de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes est la somme de n indicatrices $\text{Iᵢ}$ valant 1 en cas de succès.

Exemple guidé : Comme $\text{E(Iᵢ)=p}$ et $\text{V(Iᵢ)=p(1−p)}$, on retrouve $\text{E(X)=np}$ et $\text{V(X)=np(1−p)}$.

Définis $\text{Iᵢ=1}$ si la iᵉ épreuve réussit et 0 sinon. Alors $\text{X=}{I}_1\text{+…+}{I}_n$ compte exactement les succès. Chaque indicatrice a pour espérance p et variance $\text{p(1−p)}$ ; leur indépendance autorise l’addition des variances et retrouve les formules de la loi binomiale.

L'écart-type de la somme de n variables indépendantes de même variance vaut $\text{√n}$ σ, tandis que celui de leur moyenne vaut $\frac{\sigma }{\text{√n}}$.

Exemple guidé : Multiplier n par 4 double l'écart-type de la somme mais divise par 2 celui de la moyenne.

Le rapport écart-type sur espérance éclaire les deux échelles. Pour une somme, la moyenne est proportionnelle à n tandis que l’écart-type est proportionnel à $\text{√n}$ : l’incertitude relative décroît comme $\frac{1}{\text{√n}}$. Pour la moyenne, l’espérance reste μ et l’écart-type devient directement $\frac{\sigma }{\text{√n}}$.